初中数学.圆的概念及性质.学生版
中考内容
中考要求
A B C
圆的有关概念理解圆及其有关概
念
会过不在同一直线
上的三点作圆;能利
用圆的有关概念解
决简单问题
圆的性质知道圆的对称性,了
解弧、弦、圆心角的
关系
能用弧、弦、圆心角
的关系解决简单问
题
能运用圆的性质解
决有关问题
圆周角了解圆周角与圆心
角的关系;知道直径
所对的圆周角是直
角
会求圆周角的度数,
能用圆周角的知识
解决与角有关的简
单问题
能综合运用几何知
识解决与圆周角有
关的问题
垂径定理会在相应的图形中
确定垂径定理的条
件和结论
能用垂径定理解决
有关问题
点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系了解直线与圆的位
置关系;了解切线的
概念,理解切线与过
切点的半径之间的
关系;会过圆上一点
画圆的切线;了解切
线长的概念
能判定直线和圆的
位置关系;会根据切
线长的知识解决简
单的问题;能利用直
线和圆的位置关系
解决简单问题
能解决与切线有关
的问题
圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置
关系
能利用圆与圆的位
置关系解决简单问
题
中考内容与要求
圆的概念及性质
弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题
扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积
和全面积
能解决与圆锥有关
的简单实际问题
圆是北京中考的必考内容,主要考查圆的有关性质与圆的有关计算,每年的第20题都会考查,第1小题一般是切线的证明,第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题,有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化,理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定方法,会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年
题号11,20 20,25 8,20,25
分值9分13分17分
考点垂径定理的应用;
切线判定、圆与解
直角三角形综合
圆的有关证明,计
算(圆周角定理、
切线、等腰三角形、
相似、解直角三角
形);直线与圆的
位置关系
圆的基本性质,圆
的切线证明,圆同
相似和三角函数的
结合;直线与圆的
位置关系
中考考点分析
定 义
示例剖析
圆:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆. 固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径. 由圆的定义可知:
⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长;在一个平面内,到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上.因此,圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形. ⑵ 要确定一个圆,需要两个基本条件,一个是圆心的位置,另一个是半径的长短,其中,圆心确定圆的位置,半径长确定圆的大小. 圆O
半径
圆心
A
O
表示为“O ⊙”
圆心相同且半径相等的圆叫做同圆;
圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆; 能够重合的两个圆叫做等圆.
等圆
O‘
O
同心圆
O
知识互联网
模块一 圆的基本概念
知识导航
O
E
D
C
B A 弦和弧:
1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,并且直径是同一圆中最长的弦,直径等于半径的2倍.
2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A B 、为端点的弧记作AB ,读作弧AB . 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆
的弧叫做劣弧. C
m
劣弧
优弧
弦B
A
O
表示:劣弧AB
优弧ACB 或AmB
圆心角和圆周角:
1. 顶点在圆心的角叫做圆心角.
2. 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
O D
C B
A 圆周角
圆心角
下面这些都不是圆周角:
【例1】 如图,若点O 为O ⊙的圆心,则线段_________________是圆O 的
半径;线段___________是圆O 的弦,其中最长的弦是________;________是劣弧;___________是半圆.若40A ∠=?,则ABO ∠=_________,C ∠=_______,ABC ∠=_______.
【例2】 如图,AB 为O ⊙的直径,CD 是O ⊙的弦,AB CD 、的延长线
交于点E ,若2AB DE =,18E ∠=?,求AOC ∠的度数.
能力提升
夯实基础
O
C
B
A
D C
B
A N
M O
定 理
示例剖析
1. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
2. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如图,AB 是O ⊙的直径,CD 是弦
E D
C
B
A
O
1. 若AB CD ⊥于E ,则CE DE =; AC AD =;BC BD =.
2. 若CE DE =,则AB CD ⊥; AC AD =;BC BD =.
【例3】 1.如图,M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点.
求证:AMN CNM ∠=∠.
2.如图,∠P AC =30°,在射线AC 上顺次截取AD =3cm ,DB =10cm ,以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点,则线段EF 的长是 cm .
F
E A
D
O
B C
P
3.如图,⊙O 的半径为2,弦32=AB ,点C 在弦AB 上,
AB AC 4
1
=
,则OC 的长为( )
A .
2 B .
3 C . 23 D . 7
知识导航
模块二 垂直于弦的直径
B
C
A
O
【例4】⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,且AB=8 cm,CD=6cm,求AB与C之间的距离.
定理示例剖析
弧、弦、圆心角之间的关系:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对
的弧相等,所对的弦也相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等.
O
D
C
B
A
如图,由定理可知:
若AOB COD
∠=∠,则AB CD
=、AB CD
=;若AB CD
=,则AOB COD
∠=∠、AB CD
=;若AB CD
=,则AB CD
=、AOB COD
∠=∠.
圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径.
C
B
A
O
2 AOB ACB ∠=∠
E
O
D
C
B
A
能力提升知识导航
若ACB AED ∠=∠,则AB AD =
直角
直径
O
C
B A
圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补.
如图,A B C D 、、、四点都在圆上,
O
D C
B
A
则180A C ∠+∠=?,180B D ∠+∠=?
、
【例5】 ⑴ 已知,A B C 、、分别为O ⊙圆周上任意三点,请你判断同弧所对的ACB ∠与AOB
∠的大小关系.
O O
O
根据上面的推理,可以发现:
__________________________________________________.
⑵ 若点D 是优弧AB 上任意一点,试判断ADB ∠与ACB ∠的大小关系. 根据上面的推理,可以发现:
__________________________________________________.
⑶ 如果点D 在劣弧AB 上,此时ADB ∠和ACB ∠的大小关系还一样吗?可 以得到什么结论?
夯实基础
O
D
C
A
O
D
C A
E O B D
F
C
A
【例6】 ⑴ 如图,△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆,则
∠ADC +∠AEB +∠BAC =
⑵ 在⊙O 中,直径AB ⊥CD 于点E ,连接CO 并延长交AD 于点F , 且CF ⊥AD .则∠D = .
⑶ 如图,点A 、B 、C 、D 在⊙O 上,O 点在∠D 的内部,四边
形OABC 为平行四边形,则∠OAD +∠OCD = °.
⑷ 如图,A B C D 、、、是O ⊙上的点,直径AB 交CD 于点E ,已知 57C ∠=?,45D ∠=?,则CEB ∠=________.
⑸ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径,则该弦所对的圆周角为 .
【例7】 已知:在半径为52的⊙O 内,有互相垂直的两条弦AB ,CD ,它们相交于P 点.
(1)求证:P A ·PB =PC ·PD ;
(2)设BC 的中点为F ,连接FP 并延长交AD 于E ,求证:EF ⊥AD ; (3)如果AB =8,CD =6,求O 、P 两点之间的距离.
能力提升
探索创新
E
D
C
B
A O
C
B
A
D
C
B E
D A
P
E
D
O
B
F
C
A
O
G
F
E D
C B
A
O
E
D
C
B A
判断正误 ⑴ 半圆是弧
⑵ 半径相等的两个圆是等圆
⑶ 过圆心的线段是直径
⑷ 两个端点能够重合的弧是等弧
⑸ 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分 ⑹ 长度相等的弧是等弧 ⑺ 直径是最大的弦 ⑻ 半圆所对的弦是直径 ⑼ 两个劣弧的和是半圆
⑽ 圆的半径是R ,则弦长的取值范围是大于0且不大于2R
.
训练1. 如图,CD 是O ⊙的直径,87EOD ∠=?,AE 交O ⊙于B ,且AB OC =,求A ∠的度数.
训练2. 图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、,8cm GB =,1cm AG =,2cm DE =,则EF =_________.
思维拓展训练(选讲)
训练3. ⑴ 如图,O ⊙的直径为
10,弦8AB =,P 是线段AB 上一点,则OP 的
取值范围是________________.
⑵ 如图,将O ⊙沿着弦AB 翻折,劣弧恰好经过圆心O ,若O ⊙的半
径为6,则弦AB 的长度等于_________.
训练4. 如图,O ⊙中,AB 为直径,弦CD 交AB 于P ,且OP PC =,试猜想AD 与BC 之间的
关系,并证明你的猜想.
O D
C
B
A E
知识模块一 圆的基本概念 课后演练
【演练1】 已知:如图,在同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C D ,两点.
⑴ 求证:AOC BOD ∠=∠;
⑵ 试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系,并证明你的结论.
知识模块二 垂直于弦的直径 课后演练
【演练2】 如图所示,在Rt ABC △中,90C ∠=?,2AC =,1BC =,若以C 为
圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ,则AP = .
【演练3】 如图所示,已知AB 为O ⊙的直径,CD 是弦,
且AB CD ⊥于点E ,连接AC OC BC 、、, ⑴ 求证:ACO BCD ∠=∠,
⑵ 若8cm 24cm EB CD ==,,求O ⊙的直径.
知识模块三 弧、弦、圆心角和圆周角 课后演练
实战演练
D
C
A
O
P A B C
【演练4】已知如图,在O
⊙中,AB是O
⊙的直径,AC、BC分别交O
⊙于E、D,D是BE 的中点,40
A
∠=?,求C
∠的大小.
【演练5】如图,ABC
△内接于O
⊙,OD AC
⊥于D,2
OD=,4
OC=,则B
∠=________.