高考数学压轴题秒杀共10页

第五章压轴题秒杀

很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。关于秒杀法的最难掌握的一层，便是对于高考数学压轴题的把握。压轴题，各省的难度不一致，但毫无疑问，尤其是理科的，会难倒很多很多很多人。

不过，压轴题并不是那般神秘难解，相反，出题人很怕很怕全省没多少做出来的，明白么？他很怕。那种思想，在群里面我也说过，在这里就不多啰嗦了。

想领悟、把握压轴题的思路，给大家推荐几道题目。

全是数学压轴题，且是理科（09的除山东的外我都没做过，所以不在推荐范围内）。08全国一，08全国二，07江西，08山东，07全国一

一年过去了，很多题目都忘了，但这几道题，做过之后，虽然一年过去了，可脉络依然清晰。都是一些可以秒杀的典型压轴题，望冲击清华北大的同学细细研究。

记住，压轴题是出题人在微笑着和你对话。

具体的题目的“精”，以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值，会在以后的视频里面讲解的很清楚。

不过，我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）\

1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者问老师，这里必考。尤其推荐我押题的第一道数列解答题。）

2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式，一般会在第二问考）

3：数学归纳法、不等式缩放

基本所有题目都是这几个的组合了，要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。

开始解答题了哦，先来一道最简单的。貌似北京的大多挺简单的。

这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释，只能说不大。意义在于，提醒大家四个字，必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！

下面07年山东高考的这道导数题，对分类讨论的考察尤为经典，很具参考性，类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。

(22)(本小题满分14分)

设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.

(Ⅰ)当b> 时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立.

这道题我觉得重点在于前两问，最后一问..有点鸡肋了~

这道题，太明显了对吧？

看压轴问的形式，想想我之前关于压轴题思路的讲解，看出来么？第三问其实就是直接利用第一问和第二问的结论，很明显的令 1/n 为 x 这道题就出来了。这也证明了我之前对压轴题的评述吧。当然这只是例子之一了，绝大多数压轴题都是这样的。

下面，下面，下面，重点来了。

大家是否眼熟这个不等式呢？ln X<= X--1 你可以利用导数去证明这个不等式的正确性，但我想说的是，这个小小的不等式，太有用了。

什么用？将一个对数形式的函数转化为一个 X--1 这样简单的线性函数，多么漂亮的一个式子！可以说，导数不等式证明中，见到自然对数，我第一个想的就会是这个不等式，看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。

这也是一种很重要而且经典的缩放！不信的话大家去看07--10年的全国各地高考题，看看有多少省用到了这个不等式的！

而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法，就是用了这个不等式！

再次强调：压轴题中，见到对数函数式的不等式证明，第一个要想的是这个不等式！

再举几个例子：

1. 一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于__

解：

这个题真算的话有点难度也挺麻烦

但考试的时候完全可以秒杀

直接特殊化为等边三角形答案就出来了

等边三角形满足题意么？满足，只要不违背题意条件随你加，随你加强

所以公差为0

几秒钟一道很难的题这就是秒杀的目的所在

这个题条件很强，既有角的限制又有边的限制，就说明答案唯一

可是，那是考试现场时的秒杀。

对一道能秒杀的题，不仅要秒杀，还要真正做出来才算

详解：

假设A<=B<=C

A+C=2B b平方=ac

用正弦定理得出COS(A-C)=1

也可用余弦定理求出ABC。

第六章再说秒杀和压轴题

以下为视频讲解内容：

秒杀也分几类：最常用的一般是特殊性（有些人理解的特殊值，其实特殊值也是特殊化的一种罢了，还有其实技巧不在这里，而在于这个特殊值你如何取，取得好，那叫艺术，取得不好.......嗯！）

第一题：A[N]是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和，前3n项和分别是x,y,z,则下列等式恒成立的是

1.X+Y=2Y

2.Y(Y-X)=Z(Z-X)

3.Y平方=XZ

4.Y(Y-X)=X(Z-X)

如何秒杀呢，很明显，取特殊值，如何取呢？以前说过，见到A[N]是任意等比数列的等等或者说见到任意两字的，往往就是我们发挥的地方。

我们令A[N]=1，呵呵，很特殊了吧，还不止，我们这里再令N=1，这样题目变成什么了呢？我翻译一下：已知A[N]是任意等比数列，它的前1项和x，前2项和Y，前3项和是z,则下列等式恒成立的是?

你猜，呵呵，这样直接可以排除2,3了，那么1，4呢？

我们假设A[1]=1，A[2]=2，A[3]=4，这样符合题意吧？

很明显1不正确，4任然正确，答案是4

第二题：如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．

向量如何秒杀呢，其实就只说向量，也有两三钟秒杀的方法，我觉得好用的就是特殊化+坐标化！！

呵呵，就是把三角形特殊化为等腰直角三角形，这意思也是任意三角形吧，

按照题意，我们画出MN的直线，若，，根据上面的两个公式，可以求出，大家记得吗---是直线的截距式（不记得的都面壁去吧，这可是基础）

根据截距式我们得出MN的直线方程为MX+NY=1，我们还有个条件没有用，直线MN过中点，明显BC中点为（1/2,1/2）,对吧，带入得M+N=2

这个是07年江西的一道高考题，常规方法要比这个麻烦的多，而且可能大部分同学还不会做，而换成秒杀的—就是最基本的加减运算啦！！

其实秒杀呢，每张卷子都能用到的是那种集合，求范围等等的题目，就不举例子了！！

还有就是三角函数，解析几何（这个主要是取特殊位置的直线），至于三角函数，也分好多种吧，比如，题目让你求一个三角函数表达式的值，而且是道选择题。

比如哦：tanA*tanB+conA*sinB等等的算式吧，然后选择项里面都是常数，也就是和AB无关，那么很明显，不管AB取什么，结果都一样，这时候，我们就可以随便给AB值，就可以得出最后结果，这样的题我见过不少！！

上面说的都是一些简单但很常用的，难一点的应该算是变换，或者用到复指数等，比如函数旋转等等，就可以利用复向量的旋转特性去解决，哦，对了，还有一种很常用的，我随便出题：

X平方+Y平方=1，求X+Y的取值范围

常规的方法肯定是画图等等，或者消元了呗，但我们可以用三角函数去做，X平方+Y平方=1，令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范围，明显是正负根2，是吧？一眼就看出来了，当然，一般题目不会这么简单，比如：

3X平方+4Y平方=1，求X,Y取值范围，，这时候画图就不好使了哦，因为不是园，但三角函数依然可以，我们令3X平方=conA平方，4Y平方=sinA平方，然后是不是和上面一样了呢！！好了秒杀就这样吧！

压轴题

下面这道是我高考的压轴题，是道椭圆的题，不算难。

大家应该知道，压轴题一般会在数列不等式，解析几何两者之间选一道，数列的也想整一道例题，可时间有限，就算了。

下面是09年的山东理科数学压轴题：

第一问：送分

第二问：，呵呵，我还记得在考场上，我看到时就笑了，高考题考来考去也就是这些基本的不变的东西。

这个代表什么呢？这个是题眼，其实我们都很清楚。

OA*OB=0（向量点乘），其实看到这里，后面的不用想也能再脑中出来一推东西，我大概说下：

首先OA*OB=0，所以X1X2+Y1Y2=0

明显韦达定理要用了，然后要连立直线了，比如设直线AB为：

Y=KX+M （设出来这个直线的时候，脑子里面应该本能的想到一个词“分类”，就是K

不存在的情况，一定要分类，给大家说，只要能分类的，一定要分类，因为每一个分类就有一定的分，我们的目的就是拿分！！）

然后可以得出K和M的一个等式，（有一个式子，那肯定能根据题目其它的一个条件得出另外一个式子，这两个式子联立，一般就可以做出来了）

哦，这个说明下，这是看到OA*OB=0后出来的一推东西，后面的还没看呢，继续看，呵呵出来了，切线，我们都知道，根据切线，肯定能得出一个等式，这样题目思路就清晰了！

上面这些，大家是不是都能熟练的背下来呢，其实这道题难得不是这些，难在你是不是明白题意。

还有对圆锥曲线问题，大家心里一定一定要坚定一个信念----那就是直线和曲线联立！！这句话很重要，只有你能找到直线和曲线联立（一定要找对哦，比如说这道题，你总不能OA和椭圆联立吧？！只有你能想到用AB去联立，那么后面的一直到韦达定理，一般就可以得8分了。大家可能会想，谁都知道用AB联立，可是到了高考那样的氛围，你还能像平时一样大脑清醒吗？而且万一不是一条直线呢等等的情况，你真不一定找到）

题目还要：并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由

玄长公式，对吧，因为知道了K和M的关系，所以玄长公式里面只有一个K，而K又有一定的范围，所以再结合不等式的知识，可以求出范围，当然还要考虑K不存在的情况，不然又要扣分！

啰嗦了这么多，想告诉大家的：其实就是一定要有思路。思路哪里来的？是不是从OA*OB=0这里展开一系列的想法呢？可以说，思路就是一个题眼，得出一个总体框架，然后在实际做题中把各个细节填满，问题在于，你如何知道哪里是题眼？就是知道，你如何正确处理？

嗯，问到点子上了，我记得我高二高三的时候，每做一道很典型的题，我都会把这道题想的很透很透，然后，闲暇时，脑子里想的就是最近做过的和新学得知识，时间上了，基本上见些东西，就能本能的搜索到相应的应对方法。

大家可能会问，高考题是会变的，而且数学又是一门很灵活的东西，随便一点变化，都可以出来很多很多的题目。其实高考是在变，而且变的很灵活。

但是高考中更多的是不变，所谓不变就是知识点不变，考点不变（相对来说吧），以及更重要的是难题的入手点不变！！或者就是说题眼不变，最多就是变个说法！！

就拿OA*OB=0来说，可以衍生出很多不同的说法，比如中点，角分线等等，还有比如向量AF=3FB向量，这个也是大题中常见的。

这样的如何出处理？，带入坐标，会得到两个式子，这两个式子中的一个比较简单比如：X2=3X1，还有一个关于Y 的，如何用，任何时候，都只用其中一个，你如果两个都用，那你就...

用哪个呢？很显然啊，用X2=3X1，这个对吧，因为这个简单。

然后再如何做呢？这个可以用韦达定理了吗？其实可以，只要对这个式子做几次变化，就可以用韦达定理了，从而又要联立直线。

或者你可以联立后，解除X1，X2，然后带入X2=3X1，一样可以得到一个等式。

我上面说的这些，都是需要你平时不断的积累！

我之前说过，重复的做试卷----，要做的是什么？是像圆锥曲线，数列不等式，立体几何等等的很复杂的解答题。。。。

我高三的时候，一张卷子看过去，基本上所有题的思路都立马出来了，那时候我在干嘛？我就做圆锥计算....就是为了训练自己的卷面，速度和正确率。

不知道大家有什么收获，其实每一个题目（就算是最难的数列，圆锥曲线等），都是有着明显的切入点的，所谓切入点，我觉得就是命题人和考生之间的一种约定。

一定要把这个切入点（暗示）抓出来！！

如何一眼就看出来呢？这要靠平时积累，很累，但收获很大.....

比如B+C=6，或者B+C=BC 等等，一看就是余弦定理

还有很多很多.....做题积累吧！！

“秒杀”高考综合题系列之(一)——

点差法在解析几何综合题中的应用

优能中学从强

到高三的同学都知道，浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综合题，一般多是椭圆和抛物线，按照命题的规律和趋势，我们发现以下两点：（1）理科数学在此章节一般考察椭圆，文科数学一般考察抛物线；（2）考察的题型一般是直线与解析几何的位置关系。诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。

上过从老师高考班的同学应该记得，在解决解析几何图形与直线相切这个位置关系的题型的时候，“抄一个，代一个”这六个字可以帮助大家快速提升做题速度。如果大家要用判别式、位置关系等通法解决此类问题时，耗费5~10分钟不说，5~10分钟的计算量还不一定能保证结果正确。但诸位如果知道“抄一个，代一个”，一旦看到直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等相切问题时，应做到能在10秒钟以内准确地写出切线的方程。

当然，直线与上面图形的位置关系除了相切以外，另外一种更常考的位置是相交。在相交的题型中，一旦看到“弦长”或者“面积”等关键词时，应立即想到“设直线、代曲线、根与系数搞定一切”（弦长公式）。相信大家对这种题型应该有较深的体会了。

今天我在这里要跟大家探讨的是：题目中出现“直线与椭圆交于两点A、B”（即AB是椭圆内的一条弦）、“AB中点M”等关键词时的解题方法。“点差法”精髓在于“设而不求”，通过点差法有个重要的结论要求大家记住。

设椭圆方程为，任意一条直线交

椭圆于，两点，则

两式相减得到，移向整理后得到：

即：（M为AB中点）

同样的道理，对于长轴在y轴上的椭圆，结论为. 也就是说：椭圆内任意弦AB所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积

为一个常数。

【再拓展】当A、B两点离的非常近时，可以将这个结论看做：过椭圆上某点P有一条切线，

则

请看2009年浙江高考第21题

已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

也许很多同学都看过所谓“标准答案”给我们的解题过程，设出直线方程后代入，经过两次判别式来确定h的取值范围。这也是很多参考书上给出的参考解题思路。不过按照此种通法解题思路，计算量和整理的工作至少需要7~10多分钟。

第一问很简单，结果为：

按照我们上面讲到的“点差法”，在第二问中一旦看到“弦”、“中点”等关键词，就应立即想到：（T为MN中点）

首先想到MN的斜率即是点P处的切线斜率，设点P横坐标为，则点P纵坐标为

根据导函数可得：

MN中点T的横坐标即PA中点横坐标，

根据“抄一个，代一个”的技巧，很容易直接就得到过点P切线直线方程

，将的值代入直线方程，得：所以

于是，整理，得：，显然这是一个基本不等式，非常容易就得到或者

很显然，对于，此时的抛物线内部包含了椭圆，切线与椭圆没有交点，排除掉；

所以。的最小值为1。

【总结一下】注意题目中出现的“弦”、“中点”等关键词，利用点差法推导出来的这个结论，不仅可以提供解决题目的思路，很顺畅地进行“需要什么就写什么”数学解题，而且可以大大减少运算量，提高速度和正确率。

对于抛物线，利用点差法也可以有类似的结论，由于篇幅关系，不再赘述。

【课外练习】利用常规方法解决下面问题，再用上面的小结论分析解决一次。比较一下两种方法所需的时间。

【练习I】如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点

的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=。（I）求椭圆方程；（II）设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AF T。

【解答提示】如果利用常规解法，第一问需要5-10的时间，我们可以将这个结论

扩充到直线与椭圆相切的模型，利用该结论很快得到OT直线的斜率，进而得到点T的坐标，问题得解。在第一小问解决后，根据相似或者余弦定理都可得证第二小问。

【练习II】已知，直线，椭圆，分别为椭圆

的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点

在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围。

【解答提示】重心是三角形中线的交点，出现“中点”，同时，注意在“圆内”这个词，我会跟同学强调，看到“圆内”这个词，有两个角度可以考虑：第一，圆心到该点的距离小于半径，这个思路最直观，但在此题中，这个方法比较繁琐；第二，说明该点和直径两端点所成的夹角大于90°，可考虑使用向量，向量点积小于0即可。

（湖北省八校高2019第二次联考）已知A,B是抛物线（P>0）【练习III】

上的两个动点，为坐标原点，非零向量,满足。

（Ⅰ）求证：直线经过一定点；

（Ⅱ）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值。

【解答提示】从老师强调，看到，立即想到，则立即想到老师讲的一个结论——直线AB通过一个定点；第一问的证明即证出。第二问出现“中点”，即可考虑点差法。

【练习IV】（温州市2019届高三第一次适用性测试）已知为椭圆:

短轴的两个端点，为椭圆的一个焦点，为正三角形，

（I）求椭圆的方程；（II）设点P在抛物线:上，在点P处的切线与椭圆交于A、C两点，若点P是线段AC的中点，求AC的直线方程。

【解答提示】第一问对一般学生来说，不是问题；可求出椭圆的方程。在第二问中又出现“弦”（其实就是线段AC）、“中点”，想想老师讲的结论。

【练习V】（2019）嘉兴市高三教学测试

【练习VI】（2019金华十校）

已知抛物线

（1）设是C1的任意两条互相垂直的切线，并设，证明：点M的纵坐标为定值；

（2）在C1上是否存在点P，使得C1在点P处切线与C2相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C1的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。