2019-2020年高考数学复习 第82课时第九章 直线、平面、简单几何体-球与多面体名师精品教案 新人教A版
2019-2020年高考数学复习第82课时第九章直线、平面、简单几何体-
球与多面体名师精品教案新人教A版
一．复习目标：
1.了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；
2.了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的
概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．
二．主要知识：
1．欧拉公式；
2．球的表面积；球的体积公式；
3．球的截面的性质：．
三．课前预习：
1．一个凸多面体的顶点数为，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为( )
2．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是 ( )
3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( )
4．地球表面上从地(北纬，东经)到地(北纬，东经)的最短距离为（球的半径为）（）
5．设是球面上的四点,且两两互相垂直,若则球心到截面的距离是 . 四．例题分析：
例1．已知三棱锥内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.
例2．在北纬圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于 (为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。
例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，是截面圆的直径,是圆周上一点，是球的直径，
(1) 求证：平面平面；
(2) 如果球半径是，分为两部分, 且，求与所成的角；
(3) 如果，求二面角的大小。
五．课后作业：
1．给出下列命题：①正四棱柱是正多面体；②正四棱柱是简单多面体；③简单多面体是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体；其中正确的命题个数为 （ ） 1个 2个 3个 4个
2．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数与面数满足的关系是（ ）
3．棱长为的正方体中，连接相邻两个面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为 （ ）
5．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ） 3:1
6．地球半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为，则两地的经度之差的绝对值为 （ ）
7．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为（ ） 2 3 12
8．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ）
9．如图，是表面积为的球面上三点，2,4,60AB BC ABC ==∠=，为球心，则直线与截面所成的角是 （ ）
10．一个多面体共有10个顶点, 每个顶点处都有四条棱, 面的形状只有三角形和四边形,求该多面体中三角形和四边形的个数分别是 .
11．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是____ ___．
G
P
D
C
B
A
O
C 1
B 1
A 1
C
B
A
12．球面上三点组成这个球的一个截面的内接三角形，， 且球心到该截面的距离为球的半径的一半，
(1) 求球的体积； (2) 求两点的球面距离。
2019-2020年高考数学复习 第83课时第九章 直线、平面、简单几何体-立体几何小结名师精品教案 新人教A 版
一．课前预习：
1．已知两条异面直线所成的角为，直线与，直线与所成的角为，则的范围是 （ ）
2．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
BD 与平面ABC 所成的角的大小为（ ） 90° 60° 45° 30°
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别为，该长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为
4．直角三角形的斜边在平面内，与平面分别成的角，若，则在平面内的射影构成的三角形的面积为 5 二．例题分析：
例1．已知斜三棱柱中，112,,2
33
BAC BAA CAA π
ππ∠=
∠=
∠= ，点是与的交点，
（1）基向量表示向量；（2）求异面直线与所成的角； （3）判定平面与平面 解：设
（1）11
()2
AO AB BO AB BC CC =+=++ （2）由题意，可求得，， ，，，
∴异面直线与所成的角为 （3）取的中点，连结，则11
()()22
AE AB AC a b =
+=+ ∵，∴，且11
()02
AE BB a b c ?=+?=，∴
∴，平面，∴平面与平面
例2．如图在四棱锥中，底面是，且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面。
（1）若为边的中点，求证：平面； （2）求二面角的大小；
（3）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面，并证明你的结论。 （1）∵为正三角形，为边的中点，∴，
∵平面垂直于底面，∴底面，∴ 在菱形中，，
O 1
D 1C 1
B 1
A 1
D
C
B
A ∴22
22113
2cos60424
BG a a a a a =+
-??=， ∴为直角三角形，
且，，∴平面
（2）由（1）知底面，， ∴，
∴是二面角的平面角， ∵，∴，∴
（3）∵为边的中点，∴，∴，取的中点，连结，
则，∵，∴平面，∴平面平面，∴点存在，且为的中点。
例3．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，侧棱长为 （1）与能否垂直？请证明你的判断；（2）当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围。 解：∵菱形中，于，设，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设
2211(,0,0),(0,,0)(1)B a C b a b +=，则11(,0,0),(0,,0),(,0,2)D a A b D a ---
（1）∵11(2,0,0),(,,2)DB a A D a b ==-， ∴
∴与不能垂直。 （2）∵，∴，
∵∴2
11111(,,0),2A B a b AC A B b =∴?=，
2
2
111||2
1,||1AC b A B a =+==，2111
cos ,AC A B ∴<>=
∵，∴设，又，
tan 1,64
ππ
αα≤≤∴≤≤
2111cos ,
AC A B ∴<>=
2
=
=
∵，∴111cos ,[
,106
AC A B <>∈ ∴直线与所成角的取值范围是。 三．课后作业：
1．直线，和不同平面满足：和那么必有（ ） 且且且且
2．在棱长为的正四面体中，分别是的中点，则（ ）
3．在空间直角坐标系中，已知(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，平面，垂足为，
E D O
C B A S
直线交平面于点，则点的坐标为（ ）
4．．给出下列四个命题：①如果直线平面，且，则直线与平面的距离等于平面与平面的距离；②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平行平面间的距离；③异面直线分别在两个平行平面内，则的距离等于这两个平面的距离；④若点在平面内，平面//平面，则到平面的距离等于平面与平面的距离。则其中所有正确的命题的序号是
5．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧棱长为2，底面△ABC 中，∠B=90°，AB=1，BC=，D 是侧棱CC 1上一点，且BD 与底面所成角为30°. （1）求点D 到AB 所在直线的距离. （2）求二面角A 1－BD －B 1的度数.
6．已知三棱锥中，与是两个共斜边的等腰直角三角形，为上一点，平面，点分别是的中点， （1）求的长；
（2）求直线与直线夹角的余弦值；
（3）求证：
7．如图，已知正四面体P －ABC 中，棱AB 、PC 的中点分别是M 、N ． （1）求异面直线BN 、PM 所成的角；（2）求BN 与面ABC 所成的角．
C
B M
P
N
A