(完整版)初三圆的复习讲义
圆的复习
知识要点
第一部分：【圆的知识点复习】
1、圆有关的公式：
周长：2c R π=面积2s R π=弧长180n R
l π=扇形面积2
360n R l π= 2、圆的有关概念：
<1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，
其中，定点为圆心，定长为半径。
同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。
等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。
圆既是轴对称图形<经过圆心的任一条直线都是对称轴），
又是中心对称图形<圆心是对称中心）。
<2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
<3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做
圆周角．
<4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧
称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
<5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
3、点与圆的位置关系：
点P 与圆心的距离为d ，则点在直线外?r d >；
点在直线上?r d =；
点在直线内?r d <。
4、圆的确定：
确定圆的基本条件：<1）圆心——确定圆的位置
<2）半径——确定圆的大小
确定圆的方式：<1）已知圆心的位置与半径的长度
<2）已知直径及其位置
<3）不在同一直线上的三点
5、三角形的外心和内心：
1、三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。b5E2RGbCAP
2、三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。如图：⊙O为△ABC的内切圆，O为△ABC的内心。
p1EanqFDPw
说明：<1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。DXDiTa9E3d
<2）三角形的内心到三边的距离是相等的。
注：锐角三角形的外心在该三角形的内部
直角三角形的外心为斜边的中点
钝角三角形的外心在该三角形的外部
6、圆的有关性质：
<1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
<2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的
圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．RTCrpUDGiT
<3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角等于它所对的国心角的一半．
7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优弧<或劣弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组相等，那么他们所
对应的其他三组量也分别相等。5PCzVD7HxA
运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论的注意事项
<1）条件“在同圆或等圆中”不能丢，它是等弦、等弧的必不可少
的大前提
<2）弦所对的“弧相等”，指的是“弦所对的劣弧与劣弧、优弧与
优弧相等”
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等
8、垂径定理及推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦<不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．1、如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。
2、如果圆的直径平分弦<这条弦不是直径），那么这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。
3、如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。
4、如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线必经过圆心，并
平分这条弦所对的弧。
5、如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并垂直于这条弦。
6、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直
线经过圆心，并平分这条弦。
注：在圆中，当一条直线：<1）过圆心；<2）垂直于弦；<3）平分弦；<4）平分弦所对的弧<包括优弧和劣弧）.在这四种关系中，只
要有两种关系成立，则其余两种关系也成立。其中当<1）<3）成立时，注意只有在这条弦不是直径的情况下，才有<2）<4）成立。口决：jLBHrnAILg
垂径定理不一般；
题设结论二推三；
定理推论也重要，
总结起来共十条；
求半径，连半径，
弦的计算与证明；
巧作垂线过圆心，构造直角三角形
第二部分：【直线与圆的位置关系】
一、直线与圆的位置关系的定义及有关概念：
1、相交、相切、相离
直线与圆的位置关系：①当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆。
②当直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆。这时直线叫做圆的。
③当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆。这时直线叫做圆的。
2 、直线与圆的位置关系的性质和判定。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d
<1）直线l与⊙O相交＜＝＞；
<2）直线l与⊙O相切＜＝＞；
<3）直线l与⊙O相离＜＝＞；
3 、切线的性质定理：
<1）文字语言：圆的切线垂直于过切点的半径
<2）符号语言：∵直线l切⊙O于点A，∴l⊥AO
4、切线的判定定理：
<1）文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线。
<2）符号语言：∵OA⊥AB，A在⊙O上，∴AB是⊙O的切线。
说明：一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时，才是圆
的切线，千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线。xHAQX74J0X
5 、切线的判定方法。
判定切线有三种方法：
方法：<1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
<2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
<3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线。
说明：在证明切线的过程中，有时需添加半径，有时需添加垂线段，这两种方法简记为：
<1）“连半径，证垂直”<2）“作垂直，证半径”
第三部分：【圆与圆的位置关系】
1、圆与圆的位置关系：
①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫
做这两个圆。
②两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的点都
在另一个圆的外部，叫做这两个圆。这
个唯一的公共点叫做。LDAYtRyKfE
③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆。
④两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的
点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆。这个唯一的公共点叫做。
Zzz6ZB2Ltk
⑤两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫
做这两个圆。当两个圆的圆心重合时，称它们为。dvzfvkwMI1
2、如果两个圆的半径长分别为1R、2R，圆心距为d,那么两圆的位
置关系可用1R、2R和d之间的数量关系表达
① 两圆内含：。
② 两圆内切：。
③ 两圆相交：。
④ 两圆外切：。
⑤ 两圆外离：。
3、相交两圆的连心线垂直平分。
4、相切两圆的连心线经过。
第四部分：【多边形的外接圆】
如果一个圆经过多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外
接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形
注意：多于三边的多边形不一定有外接圆
正多边形的中心角的度数=n ο
360
正多边形常用的计算公式：
设正n 边形的中心角、半径、边心距、周长、面积分别是n α、
R 、n a 、n r 、n p 和n S ，则：
<1）正n 边形的内角和是
<2）正n 边形的内角是，即
<3）正n 边形的外角是
<4）正n 边形的对角线的条数是
习题讲解与演练
1：．如图，⊙O 的半径是10cm ，弦AB 的长是12cm ，OC 是⊙O 的半
径且OC AB ⊥，垂足为D ，CD=__________cm.rqyn14ZNXI
2：Rt△ABC，∠A=90°，AB=6，AC=8，以A 为圆心，
AB 为半径的圆
交BC 于D ，求弦BD 的长。EmxvxOtOco
3：在半径为5cm 的圆内，有两条平行弦长分别为6cm,8cm,则这两
条平行弦之间的距离是多少？
4、矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相
切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围
是SixE2yXPq55、 已知半径分别是17cm 和10cm ，⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，
如果公共弦AB 的长是16cm ，求圆心距0102的长.6ewMyirQFL
6：<2004年上海中考）
在△ABC 中,
∠BAC=90°,AB=AC=2错误!,圆A 的半径为1,
如图5所示,若点O 在
BC 边上运动(与点B 、C 不重合>,设BO=x,△AOC 的面积为y,<1）求
y 关于x 的函数解读式,并写出函数的定义域。kavU42VRUs <2）以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切
时,△AOC 的面积.
7
年上海中考）已知：如图6，圆O 是
的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD
上，E 、F 分别是边AC 和BC 的中点，求
证：四边形CEDF 是菱形.y6v3ALoS89
A ，
B ，
C 三根木柱，使得A ，B
B C O
图5-2图5-1
之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240M ，A 到BC
的距离为5M ，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半
径．M2ub6vSTnP 9：<2007年上海中考）已知：60MAN =o ∠，点B 在射线AM 上，
4AB =<如图10）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ <点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心．0YujCfmUCw <1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上；
<2）当点P 在射线AN 上运动<点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于
点C ，设AP x =，AC AO y =g ，求y 关于x 的函数解读式，并写出函数
的定义域；
<3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ
△的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．
10：<2008年上海中考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚<如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交
点．eUts8ZQVRd
<1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；
A B
M Q N P O 图10 A B M Q N
P O
备用图 O C
A B
C 图5
<2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息<图纸
中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．
课后练习
1：<2008年上海中考）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=o
，AD BC ∥<
如图13）．E 是射线BC 上的动点<点E 与点B 不重合），M 是线段
DE 的中点． <1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解读式，并写
出函数的定义域；
<2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线
段BE 的长；
<3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形
与BME △相似，求线段BE 的长．
2.已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠B=30o，BC=6，点D 在边BC 上，
点E 在线段DC 上，DE=3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．sQsAEJkW5T <1）求证：△BDM∽△CEN；
<2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD=x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积
为y ，求y 关于x 的函数解读式，并写出定义域．GMsIasNXkA <3）是否存在点D ，使以M 为圆心,BM 为半径的圆与直线EF 相切,
如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理
由．TIrRGchYzg B A D
M E C 图13
B A D
C 备用图 A F M N