高考年真题汇总函数

历年高考试题汇编Ⅰ——集合与函数

考试内容：

集合.子集、交集、并集、补集. 映射.函数(函数的记号、定义域、值域). 幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图象间的关系.

指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程. 二次函数.

考试要求：

(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.

(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系. (3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.

(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程. 一、选择题

1.在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，π

2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)

＝x 2

＝|sinx | ＝cos 2x ＝e

sin 2x

2.函数y ＝－x

＋1的反函数是(86(2)3分) ＝log 5x ＋1

＝log x 5＋1

＝log 5(x －1)

＝log 5x －1

3.在下列各图中，y ＝ax 2

＋bx 与y ＝ax ＋b 的图象只可能是(86(9)3分)

A .

B .

C .

D .

4.设S ，T 是两个非空集合，且S T ，T S ，令X ＝S ∩T ，那么S ∪X ＝(87(1)3分)

C .Φ

5.在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)

x

y

x

y

x

y

x

y

＝－(－x ) ＝

x

1－x

＝－(x ＋1)2

＝1＋x ２

6.集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分) 个 个

个

个

7.如果全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，M ＝{a ，c ，d }，N ＝{b ，d ，e }，则M －∩N －＝(89(1)3分)

A .φ

B .{d }

C .{a ，c }

D .{b ，e }

8.与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是(89(2)3分) ＝x ＝x 2

x

＝a

x

log a (a ＞0且a ≠1) ＝log a a x

(a ＞0且a ≠1)

9.已知f (x )＝8＋2x －x 2

，如果g (x )＝f (2－x 2

)，那么g (x )(89(11)3分)

A .在区间(－1，0)上是减函数

B .在区间(0，1)上是减函数

C .在区间(－2，0)上是增函数

D .在区间(0，2)上是增函数

10.方程24

13

log x 的解是(90(1)3分)

＝19 ＝

33

＝ 3 ＝9

11.设全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，M ＝{(x ，y )|

y －3

x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则M —∪N —＝(90(9)3分) A .φ

B .{(2，3)}

C .(2，3)

D .{(x ，y )|y ＝x ＋1}

12.如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2

＝3，那么y x

的最大值是(90(10)3分)

A .12

B .

33

C .

32

D . 3

13.函数f (x )和g (x )的定义域为R ，“f (x )和g (x )均为奇函数”是“f (x )与g (x )的积为偶函数”的(90上海)

A .必要条件但非充分条件

B .充分条件但非必要条件

C .充分必要条件

D .非充分条件也非必要条件

14.如果log a 2＞log b 2＞0，那么(90广东) ＜a ＜b

＜b ＜a ＜a ＜b ＜1 ＜b ＜a ＜1

15.函数y ＝(x ＋4)2

在某区间上是减函数，这区间可以是(90年广东)

A .(－∞，－4]

B .[－4，＋∞)

C .[4，＋∞)

D .(－∞，4]

16.如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)

A .增函数且最小值为－5

B .增函数且最大值为－5

C .减函数且最小值为－5

D .减函数且最大值为－5

17.设全集为R ，f (x )＝sinx ，g (x )＝cosx ，M ＝{x |f (x )≠0}，N ＝{x |g (x )≠0}，那么集合{x |f (x )g (x )＝

0}等于(91年⒂3分)

A .M －∩N －

B .M －∪N

C .M －∪N

D .M －∪N －

18.

log 89

log 23

等于(92(1)3分) A .23

C .32

19.图中曲线是幂函数y ＝x n

在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线c 1，c 2，c 3，c 4

的n 依次是(92(6)3分)

A .－2，－12,12，2 ，12,－1

2

，－2 C .－12

，－2，2，12

D .12

，2，－2，－12

20.函数y ＝

e x －e －x

2

的反函数(92(16)3分)

A .是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数

B .是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数

C .是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数

D .是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数

21.如果函数f (x )＝x 2

＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么(92(17)3分) (2)＜f (1)＜f (4) (1)＜f (2)＜f (4) (2)＜f (4)＜f (1)

(4)＜f (2)＜f (1)

22.当0＜a ＜1时，函数y ＝a x

和y ＝(a －1)x 2

的图象只可能是(92年上海)

A

B

C

D

3 4

23.设全集I ＝R ，集合M ＝{x |x 2

＞2}，N ＝|log x 7＞log 37}，那么M ∩N －＝(92年三南)

A .{x |x ＜－2＝

B .{x |x ＜－2或x ≥3＝

C .{x |x ≥3}

D .{x |－2≤x ＜3

24.对于定义域为R 的任何奇函数f (x )都有(92年三南) (x )－f (－x )＞0(x ∈R )

(x )－f (－x )≤0(x ∈R )

(x )f (－x )≤0(x ∈R ) (x )f (－x )＞0(x ∈R )

25.F (x )＝[1＋2

2x －1

]f (x )，(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于0，则f (x )(93(8)3分)

A .是奇函数

B .是偶函数

C .可能是奇函数也可能是偶函数

D .不是奇函数也不是偶函数

26.设a ，b ，c 都是正数，且3a

＝4b

＝6c

，那么(93(16)3分)

A .1c ＝1a ＋1

b

B .2c ＝2a ＋1

b

C .1c ＝2a ＋2

b

D .2c ＝1a ＋2

b

27.函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象可能是(93年上海)

A .

B .

C .

D .

28.集合M ＝{x |x ＝k π2＋π

4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π4＋π2

，k ∈Z }，则(93年三南) ＝N M N

∩N ＝φ

29.设全集I ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{2，3，4}，则A ∪B － －＝(94(1)4分)

A .{0}

B .{0，1}

C .{0，1，4}

D .{0，1，2，3，4} 30.设函数f (x )＝1－1－x 2

(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1

(x )的图象是(94(12)5分)

A . y

B . y 1

C . y

D . y 1 x

1 1 O －1

－1 O x O 1 x －1

－1 1

. .1

.1

－1 1

.

.

－1 1

.1

－1 1

.1

31.定义在R 上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )之和，如果f (x )＝lg (10x

＋1)，x ∈R ，那么(94(15)5分) (x )＝x ，h (x )＝lg (10x

＋10－x

＋1) (x )＝

lg (10x ＋1)＋x

2

，h (x )＝

lg (10x ＋1)－x

2

(x )＝x

2，h (x )＝lg (10x

＋1)－x

2

(x )＝－x 2

，h (x )＝

lg (10x ＋1)＋x

2

32.当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a )x 的图像只可能是(94上海)

A . y

B . y

C . y

D . y

0 1 x 0 1 x 0 1 x

0 1 x

33.设I 是全集，集合P ，Q 满足P Q ，则下面结论中错误的是(94年上海) ∪Q ＝Q B .P －∪Q ＝I ∩Q －＝φ D .P ∩Q ＝P － － －

34.如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)

A .(1－a )31

＞(1－a )2

1 (1－a )(1＋a )＞0

C .(1－a )3＞(1＋a )2

D .(1－a )1＋a ＞1

35.已知I 为全集，集合M ，N I ，若M ∩N ＝N ，则(95(1)4分)

A .M N － －

B .M －N

C .M N － －

D .M －N

36.函数y ＝－1

x ＋1

的图象是(95(2)4分) A . y B . y C . y D . y

O 1 x －1 O x O 1 x －1 O x

37.已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是(95(11)5分)

A .(0，1)

B .(1，2)

C .(0，2)

D .[2，＋∞)

38.如果P ＝{x |(x －1)(2x －5)＜0}，Q ＝{x |0＜x ＜10}，那么(95年上海)

∩Q ＝φ

Q

P

∪Q ＝R

39.已知全集I ＝N ，集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x |x ＝4n ，n ∈N }，则(96(1)4分)

＝A∪B＝A－∪B＝A∪B－＝A∪B

－－40.当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a－x

41.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f＝(96(15)5分)

B.－D.－

42.如果log a3＞log b3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)

＜a＜b＜1 ＜a＜b＜b＜a＜1 ＜b＜a

43.在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝(

b

a

)x的图像只可能是(96上海)

B C. D.

44.设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)

A.{x|0≤x＜1}

B.{x|0≤x＜2}

C.{x|0≤x≤1}

D.{x|0≤x≤2}

45.将y＝2x的图象

A.先向左平行移动1个单位

B.先向右平行移动1个单位

C.先向上平行移动1个单位

D.先向下平行移动1个单位

再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)

46.定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)

③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)

其中成立的是(97(13)5分)

A.①与④

B.②与③

C.①与③

D.②与④

47.三个数，，的大小关系为(97上海)

48.函数y ＝a |x |

(a ＞1)的图像是(98(2)4分)

A . y . y C . y D . y

1 1 1 o x o o x o x

49.函数f (x )＝1x

(x ≠0)的反函数f －1

(x )＝(98(5)4分)

(x ≠0) B .1

x

(x ≠0) C .－x (x ≠0)

D .－1

x

(x ≠0)

50.如果实数x ，y 满足x 2

＋y 2

＝1，那么(1－xy )(1＋xy )有(98年广东)

A .最小值12

和最大值1 B .最大值1和最小值34

C .最小值34

而没有最大值

D .最大值1而没有最小值

51.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

A .(M ∩P )∩S

B .(M ∩P )∪S

C .(M ∩P )∩S －

D .(M ∩P )∪S －(99(1)4分)

52.已知映射f :A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是(99(2)4分)

53.若函数y ＝f (x )的反函数是y ＝g (x )，f (a )＝b ，ab ≠0，则g (b )＝(99(3)4分) －1 －1

54.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n

＋n ，则在映射f 下，象20的原象是(2000⑴5分)

55.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.

P M

S

某人一月份应交纳此项税款元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)

～900元 ～1200元

～1500元

～2800元

56.设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，c ，d }，N ＝{b ，d ，e }，那么M ∩N － －是(2000春京、皖(2)4分)

A .Φ

B .{d }

C .{a ，c }

D .{b ，e }

57.已知f (x 6

)＝log 2x ，那么f (8)等于(2000春京、皖)

A .43 D .12

58.函数y ＝lg |x |(2000春京、皖(7)4分)

A .是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B .是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C .是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

D .是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

59.已知函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋cx ＋d 的图象如右图，则(2000春京、皖(14)5分) ∈(－∞，0) ∈(0，1) ∈(1，2) ∈(2，＋∞)

60.若集合S ＝{y |y ＝3x

，x ∈R }，T ＝{y |y ＝x 2

－1，x ∈R }，则S ∩T 是(2000上海(15)4分) C .Φ D .有限集

61.已知集合A ＝{1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是(2000广东)

62.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈

R ，y ∈R }，映射f :A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)

A .(3，1)

B .(32,12

)

C .(32,－12

)

D .(1，3)

63.集合M ＝{1，2，3，4，5}的子集个数是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)

64.函数f (x )＝a x

(a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有(2001春京、皖、蒙(2)5分) (xy )＝f (x )f (y )

(xy )＝f (x )＋f (y ) (x ＋y )＝f (x )f (y )

(x ＋y )＝f (x )＋f (y )

65.函数y ＝－1－x 的反函数是(2001春京、皖、蒙(4)5分)

＝x 2

－1(－1≤x ≤0) ＝x 2

－1(0≤x ≤1) ＝1－x 2(x ≤0)

＝1－x 2

(0≤x ≤1)

66.已知f (x 6)＝log 2x ，那么f (8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)

A .43

D .12

67.若定义在区间(－1， 0) 内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1) 满足f (x )＞0， 则a 的取值范围是(2001年(4)5分)

A .(12

，＋∞)

B .(0，12

]

C .(0，12

)

D .(0，＋∞)

68.设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题:(2001年(10)5分) ①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增; ②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增; ③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减; ④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减; 其中，正确的命题是

A .②③

B .①④

C .①③

D .②④

69.满足条件M ∪{1}＝{1，2，3}的集合M 的个数是(2002年北京(1)5分)

70.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π

2，π)上为减函数的是(2002年北京(3)5分)

＝cos 2

x

＝2|sinx |

＝(13

)cosx ＝－cotx

71.如图所示，f i (x )(i ＝1，2，3，4)是定义在[0， 1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0， 1]中任意的x 1和x 2，任意∈[0， 1]， f [x 1＋(1－)x 2]≤f (x 1)＋(1－)f (x 2)恒成立”的只有(2002年

北京(12)5分)

(x )， f 3(x ) (x ) (x )， f 3(x ) (x )

72.一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，用图(1)表示某年12个月中每月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是(2002年上海(16)4分)

图(1) 图(2)

A .气温最高时，用电量最多

B .气温最低时，用电量最少

C .当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加

D .当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

73.集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋1

2

，k ∈Z }，则(2002年全国(5)、广东(5)、天津(6)5分)

＝N N M ∩N ＝φ

74.函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是(2002年广东(7)5分) ＝0 ＋b ＝0

＝b

＋b 2

＝0

75.函数y ＝1－

1

x －1

(2002年广东(9)5分) A .在(－1，＋∞)内单调递增 B .在(－1，＋∞)内单调递减 C .在(1，＋∞)内单调递增

D .在(1，＋∞)内单调递减

76.函数y ＝x 2

＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(2002年全国(9)、天津(8)5分) ≥0 ≤0

＞0

＜0

77.据2002年3月9日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长%”，如果“十·五”期间(2001年——2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份

30

25

20 15 10 5

140 120 100 80 60 40 20

0 气温

那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为(2002年全国(12)、广东(12)、天津(12)5分) 000亿元 000亿元

000亿元

000亿元

78. 函数y ＝1－1

x －1

的图像是(2002年全国(10)5分)

A ．

B .

C .

D .

79.若集合M ＝{y |y ＝2－x

}，P ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩P ＝(2003年春北京(1)5分)

A ．{y |y ＞1}

B ．{y |y ≥1}

C ．{y |y ＞0}

D ．{y |y ≥0}

80.若f (x )＝

x －1

x

，则方程f (4x )＝x 的根是(2003年春北京(2)5分) A ．12

B ．－12

C ．2

D ．－2

81.关于函数f (x )＝(sinx )2

－(23)|x |＋12，有下面四个结论：

(1)f (x )是奇函数 (2)当x ＞2003时， f (x )＞1

2恒成立

(3)f (x )的最大值是3

2

(4)f (x )的最小值是－1

2

其中正确结论的个数为(2003年春上海(16)4分) 个

个

个

个

83．设函数的取值范围是则若0021

,1)(,.

0,,0,12)(x x f x x x x f x >???

??>≤-=-（2003年全国（3）5分） A ．（－1，1）

B ．（－1，+∞）

C ．),0()2,(+∞?--∞

D ．),1()1,(+∞?--∞

二、填空题

1. 设函数f (x )的定义域是[0，1]，则函数f (x 2

)的定义域为________.(85(10)4分)

2. 已知圆的方程为x 2＋(y －2)2

＝9，用平行于x 轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东) 3. 方程40.5

x x

5252

=-+的解是__________.(86(11)4分)

4. 方程9－x

－2·31－x

＝27的解是_________.(88(17)4分)

5. 函数y ＝e x －1

e x ＋1

的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)

6. 函数y ＝x 2

－49的值域为_______________(89广东) 7. 函数y ＝x ＋4

x ＋2

的定义域是________________(90上海)

8. 设函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≤1时，y ＝x 2

＋1，则当x ＞1时，y ＝_________(91年上海)

9. 设函数f (x )＝x 2

＋x ＋12的定义域是[n ，n ＋1](n 是自然数)，那么在f (x )的值域中共有_______个整数(91

年三南)

10. 方程1－3

x

1＋3x ＝3的解是___________.(92(19)3分)

11. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S

的值为__________.(92(21)3分)

12. 已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1

(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为_________(92上海)

13. 设f (x )＝4x

－2

x ＋1

(x ≥0)，f －1

(0)＝_________.(93(23)3分)

注:原题中无条件x ≥0，此时f (x )不存在反函数. 14. 函数y ＝x 2

－2x ＋3的最小值是__________(93年上海)

15. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…a n ，共n 个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，…a n 推出的a ＝_______. (94(20)4分)

16. 函数y ＝lg 10x

－2的定义域是________________(95上海)

17. 1992年底世界人口达到亿，若人口的年平均增长率为x %，2000年底世界人口数为y (亿)，那么y 与x 的关系式为___________(96上海)

18. 方程log 2(9x

－5)＝log 2(3x

－2)＋2的解是x ＝________(96上海) 19. 函数y ＝1

2－x

)的定义域为____________(96上海)

20. lg 20＋log 10025＝________(98上海)

21. 函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a

2，则a ＝______(98上海)

22. 函数y ＝?

????2x ＋3 (x ≤0)

x ＋3 (0＜x ≤1)－x ＋5 (x ＞1)的最大值是__________(98年上海)

23. 函数y ＝log 22x －1

3－x 的定义域为____________(2000上海(2)4分)

24. 已知f (x )＝2x

＋b 的反函数为y ＝f －1

(x )，若y ＝f －1

(x )的图像经过点Q (5，2)，则b ＝_______(2000上海(5)4分)

25. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP (GDP 是值国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)

(按：1999年本市常住人口总数约1300万)

26. 设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，f (x )＝_____(2000上海(8)4分)

27. 函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f ______．(2001年春上海(1)4分)

28. 关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下命题：(2001年春上海(11)4分) (1)对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； (2)不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数； (3)存在φ，使f (x )是奇函数； (4)对任意的φ，f (x )都不是偶函数.

其中一个假命题的序号是_______.因为当φ=_______时，该命题的结论不成立.

29. 方程log 3(1－2·3x

)＝2x ＋1的解x ＝_____________.(2002年上海(3)4分)

30. 已知函数y ＝f (x )(定义域为D ，值域为A )有反函数y ＝f －1

(x )，则方程f (x )＝0有解x ＝a ，且f (x )＞

x (x ∈D )的充要条件是y ＝f －1(x )满足___________(2002年上海(12)4分)

31. 函数y ＝2x

1＋x (x ∈(－1，＋∞))图象与其反函数图象的交点坐标为________.(2002年天津(13)4分)

32. 函数y ＝a x

在[0，1]上的最大值和最小值之和为3，则a ＝______(2002年全国(13)4分)

33. 已知函数f (x )＝x 21＋x 2

，那么f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (1

4

)＝________(2002年全国(16)、广东(16)、天津(16)4分)

34. 若存在常数p ＞0，使得函数f (x )满足f (px )＝f (px －p

2)(x ∈R )，则f (x )的一个正周期为

_________.(2003年春北京(16)4分)

35. 已知函数f (x )＝x ＋1，则f －1

(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)

36. 已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≥a }且A B ，则实数a 的取值范围是____________.(2003年春上海(5)4分)

37. 若函数y ＝x 2

＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝__________.(2003年春上海(11)4分)

38. 使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .（2003年全国（14）.4分）

三、解答题

1. 解方程 log 4(3－x )＋(3＋x )＝log 4(1－x )＋(2x ＋1).(85(11)7分)

2. 设a ，b 是两个实数，A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n 是整数}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2

＋15，m 是整数}，C ＝{(x ，y )|x 2

＋y 2

≤144}是xoy 平面内的集合，讨论是否存在a 和b 使得①A ∩B ≠φ，②(a ，b )∈C 同时成立.(85(17)12分)

3. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数:①C A ∪B ，且C 中含有3个元素，②C ∩A ≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)

4. 给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝

x －1ax －1(x ∈R 且x ≠1

a

)，证明: ①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴； ②这个函数的图象关于直线y ＝x 成轴对称图形.(88(24)12)

5. 已知a ＞0且a ≠1，试求使方程log a (x －ak )＝log a 2(x 2

－a 2

)有解的k 的取值范围.(89(22)12分)

6. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用I k 表示区间(2k －1，2k ＋1]，已知当x ∈I 0时，

f (x )＝x 2.(89(24)10分)

①求f (x )在I k 上的解析表达式；

②对自然数k ，求集合M k ＝{a |使方程f (x )＝ax 在I k 上有两个不相等的实根}

7. 设f (x )＝lg 1＋2x

＋……＋(n －1)x

＋n x

a

n

，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数，且n ≥2.

①如果f (x )当x ∈(－∞，1]时有意义，求a 的取值范围；

②如果a ∈(0，1]，证明2f (x )＜f (2x )当x ≠0时成立.(90(24)10分

8. 已知f (x )＝lg 1＋2x

＋4x

a 3

，其中a ∈R ，且0＜a ≤1(90广东)

①求证：当x ≠0时，有2f (x )＜f (2x )；

②如果f (x )当x ∈(－∞，1]时有意义，求a 的取值范围

9. 根据函数单调性的定义，证明函数f (x )＝－x 3

＋1在R 上是减函数.(91(24)10分)

10.已知函数f (x )＝2x

－1

2x ＋1

(91三南)

⑴证明：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数； ⑵证明：对不小于3的自然数n 都有f (n )＞n

n ＋1

11.已知关于x 的方程2a 2x －2－7a

x －1

＋3＝0有一个根是2，求a 的值和方程其余的根.(92三南)

12. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系:

P ＝1000(x ＋t －8) (x ≥8，t ≥0) Q ＝50040－(x －8)2 (8≤x ≤14)

当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格.

①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

②为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?(95(25)12分)

13. 已知二次函数y ＝f (x )在x ＝2t ＋1处取得最小值－4

t 2(t ＞0)，f (1)＝0(95上海)

⑴求y ＝f (x )的表达式；

⑵若任意实数x 都满足等式f (x )g (x )＋a n x ＋b n ＝x

n ＋1

(其中g (x )为多项式，n ∈N )，试用t 表示a n 和b n ；

⑶设圆C n 的方程为：(x －a n )2

＋(y －b n )2

＝r n 2

，圆C n 与圆C n ＋1外切(n ＝1，2，3…)，{r n }是各项都为正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 和S n .

14. 设二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ＞0)，方程f (x )－x ＝0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜1a .

Ⅰ.当x ∈(0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1；

Ⅱ.设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明:x 0＜x 1

2.(97(24)12分)

15. 解方程3lgx －2－3lgx ＋4＝0(99年广东10分)

16. 已知二次函数f (x )＝(lga )x 2

＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值(2000春京、皖)

17. 设函数f (x )＝|lgx |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )，证明：ab ＜1(2000春京、皖(21)12分)

本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力.满分12分.

18. 已知函数f (x )＝???f 1

(x ) x ∈[0，1

2

)f 2

(x ) x ∈[12

，1] 其中f 1

(x )＝－2(x －1

2

)2

＋1，f 2

(x )＝－2x ＋2.(2000春京、皖

(24)14分)

(I )在下面坐标系上画出y ＝f (x )的图象；

(II )设y ＝f 2(x )(x ∈[1

2

，1])的反函数为y ＝g (x )，a 1＝1，a 2＝g (a 1)， ……，

a n ＝g (a n －1)，求数列{a n }的通项公式，并求lim n →∞

a n ；

(III )若x 0∈[0，1

2)，x 1＝f (x 0)，f (x 1)＝x 0，求x 0.

19. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红

柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；物线段表示. (2000(21)12分)

⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P ＝f (t )； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；

⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg ，时间单位：天)

20. 已知函数:f (x )＝x 2

＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)(2000上海(19)6＋8＝14分)

⑴当a ＝1

2

时，求函数f (x )的最小值；

⑵若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围

21. 设函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0.(2000年广东(20)12分) (1)解不等式f (x )≤1；

(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调函数.

22. 设函数f (x )＝

x ＋a

x ＋b

(a ＞b ＞0)，求f (x )的单调区间，并证明f (x )在其单调区间上的单调性．(2001年春京、皖、蒙(17)12分)

23. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为

x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为．已知年利润＝(出厂价－

投入成本)×年销售量．(2001年春京、皖、蒙(21)12分)

(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；

(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？

24. 已知R 为全集，A ＝{x|(3－x)≥－2}，B ＝{x|5x －2≥1}，求A －∩B(2001年春上海(17)12分)

25. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1、x 2[0，1

2]，都有f (x 1＋x 2)

＝f (x 1)f (x 2).(2001年(22)14分) (Ⅰ)设f (1)＝2，求f (12)，f (1

4);

(Ⅱ)证明f (x )是周期函数.

(Ⅲ)记a n ＝f (2n ＋1

2n

)，求lim n →∞(lna n ).

26. 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：(2002年北京(20)12分)

用计算机求n 个不同的数v 1，v 2，…，v n 的和∑n

i ＝1

v i ＝v 1＋v 2＋v 3＋……＋v n .计算开始前，n 个数存贮在n

台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数.计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.

为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n ＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：

机器

号 初始

时 第一单位时间

第二单位时间

第三单位时间

初读机号

结果

被读机号

结果 被读机号

结果 1 v 1 2 v 1＋v 2 2

v 2

1

v 2＋v 1

(I) 当n ＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表

(II )当n ＝128时，要使所有机器都得到∑n

i ＝1

v i ，至少需要多少个单位时间可完成计算？(结论不要求证明)

27. 已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ， b ∈R 都满足： f (a ?b )＝af (b )＋bf (a )(2002年北京(22)13分) (I )求f (0)， f (1)的值；

(II )判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论；

(III )若f (2)＝2，u n ＝f(2－n

)n (n∈N)，求数列{u n }的前n 项的和S n .

28. 已知函数f (x )＝x 2

＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈(－π2，π

2).(2002年上海(19)14分)

(1)当θ＝－ π

6

时，求函数f (x )的最大值与最小值；

(2)求θ的取值范围，使得y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数.

29. 已知a ＞0，函数f (x )＝ax －bx 2

(2002年广东(22)14分) (1)当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；

(2)当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ； (3)当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件.

30. 设a 为实数，函数f (x )＝x 2

＋|x －a |－1，x ∈R (2002年全国(21)12分) (1)讨论f (x )函数的奇偶性 (2)求函数f (x )的最小值.

31. 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维

护费50元.(2003年春北京(20)12分)

(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

32. 已知函数.5

)(,5

)(3

13

13

13

1-

-

+=

-=

x x x g x

x x f (2003年春上海(20)7＋7＝14分)

(1) 证明f (x )是奇函数；并求f (x )的单调区间；

(2) 分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明. 33．（2003年（19）.12分）

已知.0>c 设

P ：函数x

c y =在R 上单调递减.

Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.