立体几何题型总结
立体几何题型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
立体几何——点线面的位置关系
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
1、公理的理解与应用
例1
已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线，
下列推理错误的是 （ ）
A. ,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈??
B. ,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈?=
C. ,,A A A αβα
β∈∈?=
D. ,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ?、重合
例2
下列条件中，能得到平面α∥平面β的是（ ）
A. 存在一条直线a a ααβ，∥，∥
B. 存在一条直线a a a αβ?，，∥
C. 存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥
D. 存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥
例3
对于直线,m n 和平面α，下列命题中的真命题是（）
A. 如果,,,m n m n αα??是异面直线，那么//n α
B. 如果,,,m n m n αα??是异面直线，那么n 和α相交
C. 如果,//,,m n m n αα?共面，那么//m n
D. 如果//,//,,m n m n αα共面，那么//m n
例4 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的
中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13
B
．3
C
D ．23
2、 共线、共面、共点问题
例5
如图所示，四边形ABCD 中，已知,,,,AB CD AB BC DC AD ∥(或延
长线)分别与平面α交于E 、F 、G 、H 必在同一直线上。
3、 直线与直线之间的关系
例6
给出下列四个命题：
① 垂直于同一直线的两条直线互相平行； ② 平行于同一直线的两条直线平行； ③ 若直线c b a ,,满足a ⊥∥b,b c,则⊥a c ；
④ 若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。 其中假命题的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
立体几何--空间中的平行问题
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
定理：空间中如果两个角的两边分别对于平行，那么这两个角相等或互补。 定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 定理：一个平面与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。 证明平行的方法：
线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）
线面平行：依定义采用反证法；根据定理证明（面线线线////?）；面面平行的性质定理（面线面面////?）
面面平行的：依定义采用反证法；用判断定理或推论；用“垂直与同一条直线的两个平面平行”这一性质证明。 1、平行关系的概念 例1 若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是
A ．相交
B ．异面
C ．平行
D ． 异面或相交 例2
垂直于同一平面的两条直线一定
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
2、 线面平行
例3
在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若
AE ：EB=CF ：FB
=1：3,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、相交 C 、在内 D 、不能确定
例4
如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC 、
11C D 的中点。
求证：EF ∥平面11BDD B .
1
A
例5 如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别在
PA 、BD 上，且PE ：EA=BF ：FD. 求证：EF ∥平面
PBC
A
例 6 有下列几个命题
① 平面α内有无数个点到平面β的距离相等，且αβ∥； ② ,a b α
γαβ==，且a b ∥（,,αβγ为平面；a,b 为直线），则γβ∥；
③ 平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三边，则
αβ∥；
④ 平面α内一个平行四边形的两边分别与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则αβ∥。其中正确的有
例7
如图所示，B 为ACD ?所在平面外一点，M,N,G 分别为ABC ?，
ABD ?，BCD ?的重心。
（1） 求证平面MNG ∥平面ACD ；
（2） 求:MNG ADC S S ??.
A
例8 ABCD 是平行四边形，点P 事平面ABCD 外一点，M 是PC 的中
点，在DM 上取一点G ，过G 做AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH
A
C
立体几何第四讲--空间中的垂直问题
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。