最优化求解法在实际问题中的应用
本科毕业论文
（2014届）
题目：最优化求解法在实际问题中的应用学院：计算机与科学技术学院
专业：数学与应用数学
班级：10数本班
学号：1006131084
姓名：严慧
指导老师：孙钢钢
目录
1．摘要 (3)
2．关键字 (3)
3．引言 (3)
4．最优化求解法在实际问题中的应用 (4)
4.1．无约束最优化问题的求解............................................... .......
4.2．有约束最优化问题的求解............................................... .......
4.3．线性规划问题的求解............................................... ........... ...
4.4．非线性规划问题的求解............................................... ........... 5．结束语................................................................................................参考书目
1.摘要：本文介绍最优化及相关知识在实际生活中的应用，主要是利用运筹
学来研究解决在实际生活中所遇到的一些问题，找到最优的解决方案，帮助人们提供最好的最有科学依据的最佳方法。
2.关键字：最优化，运筹学，生活，应用。
Abstract：This paper introduced the Optimization in the real life
application，this is use of Operations research to solve the problem in real life，finding the
best solution，and provide the best and scientifically valid solution to the people .
Key words: Optimization, Operations research, life, application.
3.引言
随着社会迅速发展，各行各业中的竞争日益激烈，我们日常生活中好多事情都会牵扯到最优化，比如运输成本问题、效益分配问题等等。
什么是数学最优化问题，就是利用合理的安排和规划在一件事情或者问题上取得利润最大，时间最少，路线最短，损失最少的方法。所以最优化解决方法对实际生活现实社会的帮助作用很大。现如今，最优化解决问题已经渗透到生活中的方方面面。
一个好的决策也许会让你绝处逢生，反败为胜，譬如中国历史上田忌赛马的故事，田忌的聪明之处在于在已有的条件下，经过策划安排，选择了最好的方案，所以最后就是自己看似劣势也能取胜，筹划是非常重要的，这就是运筹学的魅力。
我们在中国的古代史上就可以看到中国古人已经具有很好的运筹学思想了，在战争中，两兵交战，各方都会有自己的军师，历史上有很多著名的军师，比如诸葛亮，刘伯温等。他们在战争中所起到的作用就是“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”，运筹学二字也是来源于此，了解敌方的军情，以此做出相应的对策，筹划最佳作战计划，做到“知己知彼百战不殆”，历史上也不乏一些以少胜多以弱胜强的战争，由此可见运筹学在军事中的力量有多强大。
现代社会中运筹学不仅在军事方面发挥着重要作用，同样在企业经营管理方面也是非常重要的，最优化理论最早是在工业领域产生的，它的对象可以是产
品生产的全过程，也可以是产品配件的生产或加工，同时也是一个完整的项目管理过程。它是通过对项目一系列的过程分析，建立数据模型，最终达到结果的最优化。
最优化问题广泛存在于工业，农业，商业，和国防等领域。什么是最优化方法？ 在众多的可行方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标。我们用 数学的方法建立数据模型使得目标函数极大或极小，这样达到最优目标的方案称为 最优方案或最优决策。
在最优化求解过程中matlab 起到不可小觑的作用，利用matlab 优化工具箱可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划等问题。
最优化有很好的发展前景，在学术方面可以为学习其他课程奠定基础；它的应用可以带来巨大的经济效益；而且一些优化软件具有非常高的价值。
4．最优化求解法在实际问题中的应用
4.1无约束最优化问题求解
无约束顾名思义就是没有约束条件，不需要考虑其他外在问题就可以直接去求解最优化结果，这是一种相对简单的最优化求解，而且解决的方法有很多，可以用matlab 来解无约束最优化问题，在现实生活中也有很多问题可以用无约束最优化来求得最佳方案。
公式：标准形式：min ()n X E
f X → 其中 1
:n f E E ??→
max ()min[()]f X f X =-
无约束法指寻求 n 元实函数f （x ）在整个n 维向量空间n 上的最优值点的方法。这类方法的意义在于：虽然实用规划问题大多是有约束的，但许多约束最优化方法可将有约束问题转化为若干无约束问题来求解。
无约束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。这类迭代算法可分为两类。一类不涉及导数，只用到函数值，称为直接法。另一类需要用目标函数的导函数，称为解析法。这些迭代算法的基本思想是：在一个近似点处选定一个索方
向，沿这个方向进行一维寻查，得出新的近似点。然后对新点施行同样手续，如此反复迭代，直到满足预定的精度要求为止。根据搜索方向的取法不同，可以有各种算法.属于直接型的算法有交替方向法（又称坐标轮换法）、模式搜索法、旋转方向法、鲍威尔共轭方向法和单纯形加速法等.属于解析型的算法有：梯度法：又称最速下降法.这是早期的解析法，收敛速度较慢。牛顿法：收敛速度快，但不稳定，计算也较困难。共轭梯度法：收敛较快，效果较好.变尺度法：这是一类效率较高的方法.其中达维登-弗莱彻-鲍威尔变尺度法，简称 DFP法，是最常用的方法.本文主要研究无约束最优化问题中主要的几种解析法的算法理论，并对各个方法进行了举例分析和matlab软件实现.
最优化方法的应用最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制等四个方面。①最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展(见优选法)。②最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策。③最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。④最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件。最优控
制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制
参考书目
《运筹学模型与方法教程》程理民、吴江、张玉林清华大学出版社
《程最优化方法及应用》孙德敏中国科技大学出版社
《优化技术方法及matlab的实现》曹卫华、郭正化学工业出版社
生活中的优化问题举例
高二数学◆选修2-2◆导学案编写：刘方贵张晓丽审核：仇国宗陈兆平袁全升2011-03-21 1 建立数学模型§1.4生活中的优化问题举例 教学目标： 1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作 用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节， 我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有 以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函 数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是 建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决， 在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 三．典例分析 例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 本节课精华记录预习心得：解决数学模型 作答用函数表示的数学问题 优化问题用导数解决数学问题 优化问题的答案
用《乘除法解决实际问题》的教学反思
用《乘除法解决实际问题》的教学反思 池西一小孙志坤 《用乘除法解决实际问题》是二年级下册第二单元的内容。本节课我以新课标倡导的理念为指导，在教学设计上主要体现以下几点： 1、数学问题生活化、情境化。数学来源于生活，数学学习中解决问题是很重要一部分，就是要解决现实生活中的实际问题。本节课在组织教学材料时，围绕逛超市的事情，创设一个现实的生活情景，将学生置身于现实问题的情景中，把学生的学习活动同现实生活紧密联系起来，激发了学生的好奇心和求知欲望，体验到生活是数学的源泉，了解了数学的价值，增强了应用数学的意识。 2、学生主动建构新知。本课为学生提供了自主探究、主动获取新知识的时间和空间，充分让学生通过看、想、说、算等实践活动，感知新知和旧知的内在联系，教师穿针引线，适时点拨，帮助学生完成新知的主动建构。引发学生的主体意识，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力。 3、加强合作学习。学生要从小学会与人交往，与人沟通，与人协作。本节课我在设计教学时，把合作学习作为一种主要的学习方式，通过学生之间讨论、交流，每一位学生充分地参与认知活动，提高了课堂教学效率，保证每一位学生都得到应有的发展，增强了学生的合作意识和合作能力。
当然，教学中也发现了一些不足： 1、对于书中的插图，他们弄不明白，哪些该做为已知条件，哪个该做为要求的问题。 如：练习七的第4题，图上画的是草地上有3组小兔子，每组是3只，问：每只吃2个萝卜，一共需要多少个萝卜？这是一道两步计算的应用题：3x3x2，而他们则直接把第一步给省略了，写成一步算式：9x2。 2、前后知识不能融会贯通。练习题中，如果把乘法应用题和除法应用题放在一起，让他们做，他们就似乎搞不明白倒底该用什么方法去列算式。 如：树苗图——每行载6棵，一共4行，问，有3个小朋友给它们浇水，平均每人浇几棵？这是一个先乘后除的应用题，必须要先求出总数，然后再平均分。极个别学生面对两步计算的应用题，头脑一片空白，无处下手似的。 因为是刚接触，每个孩子接受能力是不同的，还需要多多练习巩固，掌握各种题型后才熟能生巧，游刃有余。 总之，以上是我在教学本课过程中几点不成熟的思考，在教学之后，及时记下，不断反思。在教学工作中，及时对课堂教学设计和实践进行反思，作为改进教学、总结经验和探索规律的依据，对指导今后的教学实践，促进教学水平的不断提高会有很大帮助。
常微分方程作业欧拉法与改进欧拉法
P77 31.利用改进欧拉方法计算下列初值问题，并画出近似解的草图：dy + =t = t y y ≤ ≤ ,2 ;5.0 0,3 )0( )1(= ,1 ? dt 代码： %改进欧拉法 function Euler(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y+1; 调用：Euler(0,3,[0,2],0.5) 得到解析解：hold on; y=dsolve('Dy=y+1','(y(0)=3)','t'); ezplot(y,[0,2]) 图像：
dy y =t - t y ;2.0 t = ≤ )0( 0,5.0 ,4 )2(2= ≤ ? ,2 dt 代码： function Euler1(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y^2-4*t; 调用： Euler1(0,0.5,[0,2],0.2) 图像：
3.4生活中的优化问题举例
二、预习内容 ：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小
二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题 阅读例1，回答以下问题： （1）是不是汽车速度越快，汽油消耗量越大？ （2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？ （3）如何根据图3.4-1中的数据信息，解决汽油的使用效率最高的问题？ 2.磁盘最大存储量问题 阅读背景知识，思考下面的问题： 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？ （2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识，思考下面的问题： （1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。 （2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 （3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？ 三、反思总结 通过上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
收集一下各种型号打印纸的数据资料，并说明其中所蕴含的设计原理。【资料】打印纸型号数据（单位：厘米）
§3.4 生活中的优化问题举例教学目标： 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式()y f x =，根据实际问题确定函数()y f x =的定义域； 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论 值应予舍去。 难点：在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值 在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。 教学方法：尝试性教学 教学过程： 前置测评： （1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。 【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题 例1.汽油的使用效率何时最高 材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？ 通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高？ 解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v 这样，问题就转化为求g/v 的最小值，从图象上看，g/v
二年级数学下册《用乘除法解决实际问题》教案
二年级数学下册《用乘除法解决实际问 题》教案 第十时 用乘除法解决实际问题 教学内容： 授日期： 年 月 日 星期 本P31页例4，练习七相应的习题。 教学目标： 、 使学生初步学会利用乘法和除法两步计算解决简单的实际问题。 2、 使学生进一步感知数学与生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣。
3、 培养学生认真观察、独立思考等良好的学习习惯。 教学重点： 、 使学生初步学会利用乘法和除法两步计算解决简单的实际问题。 2、 引导学生探索解决乘除两步应用题的方法。 教学难点： 引导学生探索解决乘除两步应用题的方法。 教学准备：主题图或等。 教学过程： 一、创设情境，激发兴趣 今天，让我们一起到儿童商场逛一逛。出示例4的主题图。 问：你们瞧，这个柜台里有什么？ 学生观察主题图后回答。 【设计意图】：把学生带入商场，身临其境，提高参与学习的积极性和主动性。 二、合作交流、探索新知 、 教学例4。
（1）、出示情境图：从他们的议论中你知道了什么？ （2）、学生观察情境图，找出里面的数学问题。 （3）、小明想买辆小汽车。，应该付多少钱？ 引导学生得出：12÷3=4（元）是求1辆小汽车多少钱。因为要知道小明买辆小汽车应付多少钱，必须要先知道1辆小汽车多少钱。 （4）、鼓励学生再提出问题。 2、小结：揭示题。 【设计意图】：把探索知识的主动权交给学生，通过思考、讨论、交流、汇报的形式，找出解决问题的方法，让学生真正成为学习的主人。为学生提供选择的空间，引发主体意识，培养学生发现问题、分析问题的能力。 三、拓展应用 、 引导学生完成练习七第1题。问：要完成这道题必须先知道什么？ 2、 引导学生完成第2题。 3、 教师巡视。指名汇报并说说是怎样想的。 【设计意图】：多种形式的练习，使学生巩固并掌握利用乘法和除法的实际问题。
欧拉及改进的欧拉法求解常微分方程
生物信息技术0801 徐聪U200812594 #include
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．内接于半径为的圆的矩形的面积的最大值是（ ） A ．32 B ．16 C ．16π D ．64 2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ，那么其表面积最小时，底面边长为（ ） D ．3．若商品的年利润y （万元）与年产量x （百万件）的函数关系式为y ＝－x 3 ＋27x ＋123（x>0），则获得最大利润时的年产量为（ ） A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件 D ．4百万件 4．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（ ） A ．1∶ 2 B ．1∶π C ．2∶1 D ．2∶π 5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为（ ） A cm B ．100cm C ．20cm D ．20 cm 3 6．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关数据统计显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示：3 213368 4y t t t =-- +-6294 ，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是（ ） A ．6时 B ．7时 C ．8时 D ．9时 7．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为（ ） A ．4 B ．8 C ． 43 D ．83 8．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入R （x ）元与年产量x 的关系是()R x =3 400,0390,90090090,390,x x x x ?- +≤≤???>? 则当
3.4生活中的优化问题举例(含答案)
§3.4 生活中的优化问题举例 课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决 实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________． 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 3．解决优化问题的基本思路是： 用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案←用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程． 一、选择题 1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2?? ?? 60－x 2 (0
实验8欧拉法_改进欧拉法_线性多步法
西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法A 年级：2010级 上机实践成绩： 指导教师：严常龙 姓名：李国强 上机实践名称：解常微分方程初值问题 学号：362011********* 上机实践日期：2013.12.25 上机实践编号：8 上机实践时间：14:00 一、目的 1．通过本实验加深对欧拉法、改进欧拉法、线性多步法的构造过程的理解； 2．能对上述四种方法提出正确的算法描述编程实现，观察计算结果的改善情况。 二、内容与设计思想 自选常微分方程的初值问题，分别用欧拉法、改进欧拉法求解。 分别用以上两种方法求解常微分方程初值问题： 2 '()1,([0.0,1.4],0.1)(0)0.0 y x y h y ?=+=?=?求解区间取步长 三、使用环境 操作系统：Win 8 软件平台：Visual C++ 6.0 四、核心代码及调试过程 #include
int i; float y[n+1]; y[0]=m;//赋初值 printf("改进欧拉法\n"); for(i=0;i 小学二年级下册数学教案：用乘除法解决实际问题用乘除法解决实际问题 教学内容： 课本P31页例4，练习七相应的习题。 教学目标： 使学生初步学会利用乘法和除法两步计算解决简单的实际问题。 使学生进一步感知数学与生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣。 培养学生认真观察、独立思考等良好的学习习惯。 教学重点： 使学生初步学会利用乘法和除法两步计算解决简单的实际问题。 引导学生探索解决乘除两步应用题的方法。 教学难点： 引导学生探索解决乘除两步应用题的方法。 教学准备：主题图或课件等。 教学过程： 一、创设情境，激发兴趣 今天，让我们一起到儿童商场逛一逛。出示例4的主题图。 问：你们瞧，这个柜台里有什么? 学生观察主题图后回答。 【设计意图】：把学生带入商场，身临其境，提高参与学习的积极性和主动性。 二、合作交流、探索新知 教学例4。 (1)、出示情境图：从他们的议论中你知道了什么? (2)、学生观察情境图，找出里面的数学问题。 (3)、小明想买5辆小汽车。，应该付多少钱? 引导学生得出：12÷3=4(元)是求1辆小汽车多少钱。因为要知道小明买5辆小汽车应付多少钱，必须要先知道1辆小汽车多少钱。 (4)、鼓励学生再提出问题。 2、小结：揭示课题。 【设计意图】：把探索知识的主动权交给学生，通过思考、讨论、交流、汇报的形式，找出解决问题的方法，让学生真正成为学习的主人。为学生提供选择的空间，引发主体意识，培养学生发现问题、分析问题的能力。 三、拓展应用 引导学生完成练习七第1题。问：要完成这道题必须先知道什么? 引导学生完成第2题。 教师巡视。指名汇报并说说是怎样想的。 【设计意图】：多种形式的练习，使学生巩固并掌握利用乘法和除法的实际问题。 四、课堂总结。今天的学习你有什么收获? 教学反思： 用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u(0≤t≤1)，u(0)=1的数值解，步长h=0.1，0.05，并比较两个算法的精度。 解： 1)当步长h=0.1时 编写程序如下所示 clf clear clc %直接求解微分方程 y=dsolve('Dy=-5*y','y(0)=1','t') %Euler法 h=0.1; t=0:h:1; n=length(t); u=zeros(1,n); u(1)=1; zbu(1,1)=t(1); zbu(2,1)=u(1); for i=2:n f=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f; zbu(1,i)=t(i); zbu(2,i)=u(i); end zbu %改进的Euler法 v=zeros(1,n); v0=zeros(1,n); v(1)=1; zbv(1,1)=t(1); zbv(2,1)=v(1); for i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i)); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i); end zbv plot(t,u,'r*','markersize',10) hold on, plot(t,v,'r.','markersize',20) hold on, ezplot(y,[0,1]) hold on, title('Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）), grid on legend('Euler法','?改进的Euler法','解析解') %解真值 h=0.1; t=0:h:1; n=length(t); for i=1:n y(i)=1/exp(5*t(i)); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)=t(i); zby(2,i)=y(i); end zby 我们可以得到计算后的结果图像如图一所示 图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1） 同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示： t坐标0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 改进欧拉 1.0000 0.6250 0.3906 0.2441 0.1526 0.0954 0.0596 0.0373 0.0233 0.0146 0.0091 第10课时练习课（一） 教学内容： 课本P24-25页，练习五4~7题。 教学目标： 1、使学生能够熟练运用所学乘、除法知识解决问题。 2、进一步培养学生数学应用意识和解决问题能力。 教学重点： 提高学生解决问题技能。 教学难点： 进一步培养学生数学应用意识和解决问题能力。 教学准备：图片、题卡或课件等。 教学过程： 一、谈话引入 1、我们已经学了利用乘法和除法两步计算解决简单实际问题，你们都有哪些收获？把你收获再组里交流一下。 2、教师巡视，指名汇报。 3、今天我们继续来研究这个问题。 【设计意图】：使学生明确学习目标。 二、探索学习 1、引导学生完成练习五第5题。 （1）出示情境图，学生看图，想想应该先算什么，再算什么？ （2）还有其他想法吗？学生思考、回答并独立完成。 2、引导学生完成第8题。 （1）让学生完成前两个问题。然后交流汇报。 （2）引导学生再提出问题。 3、引导学生完成第6题。夺红旗比赛并评比优秀。 4、引导学生完成第7题。学生看图思考并独立完成。 【设计意图】：练习与生活实际联系在一起，扩大用除法计算解决问题空间，让学生感受生活中处处用数学同时，提高学生解决实际问题能力。 三、拓展应用 1、补充拓展性练习。 （1）妈妈分苹果，分给家里每人1个后还剩1个，如果每人分2个，还少2个，家里有几个人？妈妈拿来几个苹果？ （2）盒子里有一些饼干，它们块数比20多比30少，如果把它们平均分，那么平均分成份数和每份块数同样多。你知道盒子里有多少块饼干吗？ 2、先让学生独立思考，再讨论、交流，教师指导。 【设计意图】：拓展性练习培养学生思维灵活性，并在交流中分享成功喜悦。 四、课堂总结。 今天学习你有什么收获？ 第11课时练习课（二） 教学内容： 课本P25页，练习七8、9、10题。 教学目标： 1、使学生能够熟练运用所学乘、除法知识解决问题。 2、进一步培养学生数学应用意识和解决问题能力。 《用乘除法解决实际问题》教学反思 《新课程标准》中指出：学生只有在自主探究、合作交流的过程中，才能真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法。因此，这单元，我本着“让学生的自主探究活动贯穿于课的始终”的原则，给学生提供了充分探究的时间与空间我认为成功之处在于做到了三个突出：突出主体性，充分让学生自主探究；突出实践性，发展学生的数学应用意识；突出发展性，注重一些基本的数学思想、方法的渗透，关注学生今后的发展。 具体体现在以下几个方面：如在突破找中间问题这个难点时，我让学生根据信息提出可能会遇到的数学问题，小组讨论应先解决什么问题，再解决什么问题，让学生自主去探索解决问题的方法；在巩固新知时，让三个人数不同的游玩项目小组分别根据已有信息，探索并解决自己组的购票问题；在活动拓展时，又让学生组内合作交流，根据已有信息提出两步计算的乘除法问题。营造了一个让学生自己发现问题、解决问题的良好氛围，发展了学生的探究意识和合作意识，培养了学生良好的合作习惯，并帮助学生形成了一定的探究、合作性学习的经验与技巧。借助一个简单的自制课件，把学生带入商场，身临其境，提高参与学习的积极性和主动性。我开始上课了。 为将课通过一个主题连接起来，我改变了例题，第一环节：先让孩子们认识单价，我起先没有写出小汽车的价钱，从而引出第一步：12元钱可以买3辆小汽车。那么一辆小汽车的价钱是多少？根据这些条件，不是吹的，孩子们都回答得很好，进而我再问：买5辆车多少钱？大部分孩子想到的，合作学习与独立思考相结合。如在例题教学“两道题之间有什么关系？”这个问题，你是怎么想的，我采用了小组合作讨论的形式，而在做一做这题中，我让学生直接回答。小组讨论的形式给了学生更宽裕的时间，有利于学生组织更好的语言，并培养了学生的合作精神。而独立思考的形式发挥了学生学习的自主性，对于学生思 第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。 3．单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法 在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要 讨论常微分方程初值问题?????==00 )() ,(y x y y x f dx dy 的数值解法。 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程),(y x f y ='变为() *+=?++1 1))(,()()(n x n x n n dt t y t f x y x y 1．欧拉法（欧拉折线法） 欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。 欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：N a b h N n y x hf y y n n n n -= -=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差 11121 )(2 ++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。 数学教学设计模板 课题名称：用乘除法两步计算解决问题 教学年级：二年级 一、教学内容分析 本课时内容由人教版小学二年级下册第31页例4及练习七习题。它是结合现实生活使学生初步理解数学问题的基本含义。在掌握了一些数与计算的知识后，学习用所学的知识解决一些简单的实际问题，初步培养学生在实际生活中发现问题, 提出问题,解决问题的能力。 二、学生分析 我给学生创设了购物的场景，让学生“进入”商店看一看，接着，让学生关注售货员与孩子的对话，吸引孩子的学习兴趣。学生已经学习了乘除法的初步认识，用一步计算解决问题已不成问题。但在用乘除法解决两步计算的实际问题时，先确定算哪一步有一些困难。教学时，可先提出中间问题进行过渡。 三、学习目标（以学生为主语） 1.借助购物的生活经验及动手实践活动学习探讨用乘除两步计算解决问题的方法。 2.会从多角度提出问题和用不同方法解决问题。 3.感受到数学与现实生活的密切联系，体会数学在生活中的巨大作用。 四、教学活动 一、创设情境，引入新知 师：同学们，你们去过商店吗？今天老师带着大家一起去儿童商店看一看。 出示例4主题图：（题目中设计到的商品都不标出价钱） 售货员阿姨介绍： 20元可以买5只熊猫玩具；买4个钟表要用24元钱。 师：请同学们根据售货员阿姨给我们提供的信息，自己提出数学问题并解答。 全班交流：（学生可能说出以下答案。） 如：（1）买一只熊猫玩具多少钱？算式：20÷5=4（元） (2) 买一个钟表要用多少钱？算式：24÷4=6（元） 【设计意图】：情境导入呈现例4主题图，把学生带入生动真实的生活情境中去，激发学生的学习兴趣，同时为学生根据已知信息提出数学问题创造了条件，并为后面新知识的学习巧妙地做出铺垫。 第三章第4节 生活中的优化问题举例 课前预习学案 一、预习目标 了解解决优化问题的思路和步骤 二、预习内容 1．概念： 优化问题：_______________________________________________________ 2.回顾相关知识： （1）求曲线y=x 2+2在点P(1,3)处的切线方程. （2）若曲线y=x 3上某点切线的斜率为3, 求此点的坐标。 3：生活中的优化问题, 如何用导数来求函数的最小(大)值？ 4.解决优化问题的基本思路是什么？ 三、提出疑惑 同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系, 正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x , 把实际问题转化为数学问题, 即列出函数解析式()y f x =, 根据实际问题确定函数()y f x =的定义域； 2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤, 细心运算, 正确合理地做答. 重点：求实际问题的最值时, 一定要从问题的实际意义去考察, 不符合实际意义的理论值应予舍去。 难点：在实际问题中, 有()0f x '=常常仅解到一个根, 若能判断函数的最大（小）值在x 的变化区间内部得到, 则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。 二、学习过程 1.汽油使用效率最高的问题 阅读例1, 回答以下问题： （1）是不是汽车速度越快, 汽油消耗量越大？ （2）“汽车的汽油使用效率最高”含义是什么？ （3）如何根据图3.4-1中的数据信息, 解决汽油的使用效率最高的问题？ 2.磁盘最大存储量问题 阅读背景知识, 思考下面的问题： 问题：现有一张半径为的磁盘, 它的存储区是半径介于r与R的环形区域。（1）是不是r越小, 磁盘的存储量越大？ （2）r为多少时, 磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 阅读背景知识, 思考下面的问题： （1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。 （2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。 （3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？ 三、反思总结 通过上述例子, 我们不难发现, 解决优化问题的基本思路是： 常微分方程作业欧拉法与改进欧 拉法 P77 31.利用改进欧拉方法计算下列初值问题，并画出近似解的草图： (1) 3 =y 1,y(0) =3,0汀岂2, ：t=0.5; dt 代码： %改进欧拉法 fun cti on Euler(t0,y0,i nv,h) n=rou nd(i nv(2)-in v(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1: n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y (i)+1/2*h*(fu n( t(i),y(i))+ fun( t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') fun cti on y=fun (t,y); y=y+1; 调用：Euler(0,3,[0,2],0.5) 得到解析解：hold on; y=dsolve('Dy=y+1','(y(0)=3)', 't'); ezplot(y,[0,2]) 图像： (2)女=y2—4t,y(0) =0.5,0 叭乞2, ：t =0.2; dt 代码： function Euler1(t0,y0,inv,h) n=rou nd(i nv(2)-in v(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1: n y1(i+1)=y(i)+h*fu n(t(i),y(i)); t(i+l)=t(i)+h; y(i+1)=y (i)+1/2*h*(fu n( t(i),y(i))+ fun( t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') fun cti on y=fun (t,y); y=y A2-4*t; 调用： Euler1(0,0.5,[0,2],0.2) 图像: 分数乘除法解决实际问题 一、教学目的： 1、让学生结合生活中具体情境经历探索分数乘除混合运算的计算方法的过程，掌握计算方法，并能解答有关的实际些简单的实际问题。 2、使学生掌握分数连除和分数乘除混合运算的计算方法，计算时能根据具体数据选择合适的约分程序。 3、进一步培养学生独立思考、主动与他合作交流、自觉检验等学习习惯，获得一些成功体验，增强学好数学的信心。 二、教学重难点： 1、教学重点：使学生经历探索分数乘除混合运算的计算过程，理解乘除复合应用题的数量关系，掌握计算方法，正确解答一些简单的实际问题。 2、教学难点：正确分析分数连除、乘除复合应用题的数量关系，确定解题方法。 三、教学过程： （一）激趣引入 1、谈话：同学们喜欢过生日吗？你的生日是怎么过的？（让几位学生简单说说）而小明过生日的时候，约了几个同学到家里一起庆祝，他准备了一个蛋糕和几盒果汁，准备与同学们好好地分享一下生日的快乐。 2、引入：小明首先拿了一盒果汁，要倒进杯子里，你能知道这盒果汁可以倒满几杯吗？（有的可能说：不能，很难判定）那为什么呢？（生：缺少条件。不知道杯子有多大，这盒果汁有多少升）好！现在把这两个条件补充完整“每个可装3/10升；一盒有4/5升”，再添加一个条件“果汁有3盒”（电脑显示），你能求出3盒果汁可以倒满几杯吗？ （二）新授 1、出示例6。小明把一盒4/5升的果汁，倒入每个可装3/10升的杯子里。3盒果汁可以倒满几杯？ 2、整理信息。 （1）谈话：要正确解答应用题，首先就要做到认真审题，整理好有关数据，仔细分析题中的数量关系。 （2）提问：从题目中我们可以知道哪些信息？要我们解决什么问题。 （电脑显示） 3盒果汁 每杯3/10升可以倒满几杯？ 每盒4/5升 3、小组讨论解决问题的策略。 （1）提出：怎样解决这个问题？学生先独立思考。 （2）学习小组合作，讨论交流，说说自己的思路，再整理出解决问题的方法。（师巡视辅导） （3）学习小组汇报解决问题的方案，边展示边说说解决问题的思路和方法。 第九章 解常微分方程初值问题 4. 改进Euler 方法 我们先用Euler 公式求的一个初步的近似值,再用梯形公式将它校正一次,即按(5)迭代一次得y 1+n ,这个结果称为校正值,这样建立的校正系统通常成为改进Euler 公式. y 1+n = y n +h /2(f (n n y x ,) + f (x n +1, n y + h* f (n n y x ,))) (6) 即迭代公式为: ? ???? +=+=+),,(*),,(*1p n n c n n n p y x f h y y y x f h y y (7) 进过计算得出改进Euler 法比Euler 法 明显改善了精度. 上机实验⑷ 上机题目：贬值求一阶常微分方程的初值问题 实验目的：掌握各种Euler 方法和梯形法。 进过计算结果来分析四种方法的优缺点，掌握规律。 分析结果。 实验要求：用不同的方法来解同一个例子。 ① 上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程 序。②改进Euler 法在Matlab 环境中运算，并分析出最好的方法，再给出它的流程图。③实验结束后写出完整的实验报告。 算法说明：①经过所给出的方程组和初值初步改变方程组。 ②由以上四种方法的计算公式来逐步计算y 的每个值。 ③最后为了方便比较列为表最适合。 上机例题：例1.后退Euler 方法解初值问题,h =0.1 ? ??=??='1y(0)1x 0 2x/y, -y y Matlab 程序： function[x,y]=gaijing(f,x0,y0,a,b,n) h=(b-a)/n; %定义并计算步长 for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h; %计算x(k) end y(1)=y0; for i=1:n yp=y(i)+h*subs(subs(f,x(i)),y(i)); %由改进Euler 的公式计算. yc=y(i)+h*subs(subs(f,x(i+1)),yp); y(i+1)=(1/2)*(yp+yc); end disp(sprintf(' i x(i) y(i)')); %为了方便以规定格式先输出 i,x(i),y(i). for i=1:n disp(sprintf(' %d %f %f',i,x(i+1),y(i+1))); %为了方便观察结果在先输出的 格式下输出结果 end s=y(i); 运行结果： [x,y]=gaijing('y-2*x/y',0,1,0,1,10) i x(i) y(i) 1 0.100000 1.095909 3.4生活中的优化问题举例（教学设计）（1）（2）（2课时） 教学目标： 知识与技能目标： 会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。 过程与方法目标： 在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。 情感、态度与价值观目标： 在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题． 教学过程： 一．创设情景、新课引入 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．师生互动，新课讲解 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 例1（课本P101例1）．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm 2 ,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128 x dm,此时四周空白面积为 128512 ()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。 求导数，得 '2 512()2S x x =- 。 令' 2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128 816x ==。 当(0,16)x ∈时，' ()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，' ()S x >0. 因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：小学二年级下册数学教案：用乘除法解决实际问题
Euler法和改进的Euler法实验报告
人教版二年级数学下册《用乘除法解决实际问题》练习教案
《用乘除法解决实际问题》教学反思
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法、改进欧拉法 2
第二单元-用乘除法实际解决问题
3.4生活中的优化问题举例
常微分方程作业欧拉法与改进欧拉法
分数乘除法解决实际问题
改进Euler方法
生活中的优化问题举例(教学设计)