向量应用举例(1)

宝鸡市金台高级中学导学案

年级：高一年级学科：数学章节：第二章第7节

主备人：高伟霞审核人：杨宝华使用时间：2014年4月3日

2.已知直线=

-k

l斜率

:，其方向向量v=，若），

（3-,4

n则v与n的关系为，向量n与直线l关系为。

3.已知直线,0

l其方向向量v=，若），

（b

=则v与n的关系为，向量n与直线l关系为；故称向量n为直线l的法向量。与n向量

同向的单位向量n0=

=。

二、合作探究，共同提高

例1.如下图所示，直线,0:=++c by ax l M ),(00y x 是直线外一点，任取P ),(y x 是直线上任意一点，则PM = ,直线l 的法向量n= ,PM 在法向量n 的单位向量n 0方向上射影的长度d

0n ?= .

例2.认真完成预习导引各题，书写例1题证明过程：

1.求点P （

3.已知三点程。

四、回顾小结，全面概括

人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例

一、选择题 1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( ) A ．(9,1) B ．(1,9) C ．(9,0) D ．(0,9) 解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)．答案：A 2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为1 2v 0，则发射角θ应为( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 解析：炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0?cos θ＝12?θ＝60°. 答案：D 3．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB D ．AC 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝12a ＋1 2 b ， BE ＝BA ＋12AC ＝－a ＋1 2b ， CF ＝CA ＋1 2AB ＝－b ＋1 2a . ∴AD ＋BE ＋CF ＝0. 答案：B 4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( ) A.a ＋b |a ＋b | B.a |a |＋b |b | C.a －b |a －b | D.a |a |－a |b | 解析：AD ＝12AB ＋12AC ＝1 2(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b | 是与a ＋b 同方向的单位向量．

答案：A 二、填空题 5．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y 2)，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________．解析：AB ＝(2，－y 2)，BC ＝(x ，y 2 )． ∵AB ⊥BC ，∴A AB ·BC ＝2x －1 4y 2＝0，即y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC · CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°， AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－5 2. 答案：－5 2 7．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为________．解析：水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12at 2＝12F ·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×1 2×42×32 ＝36(J)．答案：36 J 8．设坐标原点为O ，已知过点(0，12)的直线交函数y ＝1 2x 2的图像于A 、B 两点，则OA · OB 的值为________．解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝1 2x 2联立得12x 2＝kx ＋1 2 ， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ， y 1y 2＝(kx 1＋12)(kx 2＋12) ＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2) 2 ＝－k 2＋k 2＋1 4 ＝14 ， ∴OA · OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－3 4.

2.5.2向量在物理中的应用举例(教学设计)

2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1. 运用向量方法解决某些简单的物理问题. 二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点. [教学重点] 运用向量方法解决某些简单的物理问题. [教学难点] 运用向量方法解决某些简单的物理问题. 一、新课引入物理学家很早就在自己的研究中使用向量概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。数学家在物理学家使用向量的基础上，对向量又进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用. 二、师生互动，新课讲解 ()() 1212122,457,020,151,2,. A B =+=-已知两个力（单位：牛）作用于同一质点，此质点在这两个力的共同作用下，由移动到（单位：米），试求：（）分别对质点所做的功；（）求的合力对质点所做的功例1f i j f i j f f f f ()()112212125,3, 13,15, ·43,23, ·20 4323AB W AB W AB W AB ==?+=-======--解：和所做功分别为焦和焦，它们的合力所做功为20所以焦.f f f f f f f f 变式训练1： ()()()12312333,42,5,. x y ==-=++=0已知三个力，，的合力，求F F F F F F F ()33205,145051x x y y ++=?=-=-???-+=???=?解：由平面向量的加法的坐标运算，则 F .

2.5平面向量应用举例教案

2.5.1 平面向量应用举例一．【教材分析】前面已学习了向量的概念及向量的线性运算以及向量的数量积，本节课应用向量的知识来解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题！二．【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究几何结论和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 三．【教学重难点】重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 四．【教学过程】 (一). (二).【新课引入】平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．本节课，我们就通过几个具体实例，来研讨建议说明向量方法在平面几何中的运用（三）【典例精讲】例1. 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：2222 2() AC BD AB BC +=+ 证明：不妨设AB=a，AD=b，则 AC=a+b，DB=a-b，2 || AB=|a|2，2 || AD=|b|2．得2 || AC AC AC =?=( a+b)·( a+b) = a·a+ a·b+b·a+b·b =|a|2+2a·b+|b|2．① 同理,2 || DB=|a|2-2a·b+|b|2．② ①+②得2 || AC+2 || DB=2(|a|2+|b|2)=2(2 || AB+2 || AD)．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．对比其他方法：建系设坐标法和做辅助线勾股定理等方法体验向量法的优越性. 跟踪练习应用上述结论解题引导学生归纳，用向量方法解决平面几何问题“三步曲”： ⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系．简述为：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化

北师大版数学高一 2.7《平面向量应用举例》教案(必修4)

2.7平面向量应用举例一.教学目标： 1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【探究新知】同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P118练习1、2、3题例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C

2.5 平面向量应用举例(3课时)

第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系. 教学过程：一、复习准备： 1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的? 2.讨论：① 若o 为ABC ?的重心，则OA +OB +OC =0； ②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? 二、讲授新课： 1.教学平面几何的向量： (1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝，则+=+= （平移），-=-=， 2 2 b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则 =，且,所在直线平行或重合”相类比，你有什么体会？ ②由学生举出几个具有线性运算的几何实例． (3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题： ①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积． ② 例2：如图，平行四边行ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC 之间的关系吗？分析：设,,,,n m ====分别求向量,,即可。 ③ 例3、如图，在OBCA 中，b OB a OA ==,-=+，求证四边形OBCA 为矩形分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角． C F

北京四中数学必修四平面向量应用举例基础版

平面向量应用举例编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?=a b a b ．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：

高一数学平面向量应用举例教案

高一数学平面向量应用举例教案一、教学分析 1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为: 则向量方法的流程图可以简单地表述为: 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点. 2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括: 综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论; 解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等. 前三种方法都是中学数学中出现的内容. 有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化. 二、教学目标 1．知识与技能：通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 2．过程与方法：明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示. 3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 四、教学设想（一）导入新课

平面向量应用举例(教学案)

2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。三、教案重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：1课时八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。）（三）合作探究、精讲点拨。

数学：平面向量应用举例教案北师大版必修

7．２平面向量应用举例一.教学目标：１．知识与技能（１）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （２）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. ２．过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. ３．情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点重点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点：（体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具学法：（１）自主性学习法+探究式学习法（２）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【探究新知】

[展示投影] 同学们阅读教材的相关内容思考：１．直线的向量方程是怎么来的？２．什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P １0３练习１、２、３题 [展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例１．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。证：设BE 、CF 交于一点H ， ?→ ?AB = a , ?→?AC = b , ?→ ?AH = h , 则?→ ?BH = h a , ?→ ?CH = h b , ?→ ?BC = b a ∵?→ ?BH ?→ ?AC , ?→?CH ?→ ?AB ∴ 0)()()(0)(0)(=-???-=?-?? ?? =?-=?-a b h a b h b a h a a h b a h ∴?→ ?AH ?→ ?BC 又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识：１．设P １, P ２是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P １, P ２的任一点，存在实数λ，使?→ ?P P 1=λ?→ ?2PP ，λ叫做点P 分?→ ?21P P 所成的比，有三种情况： λ>0（内分）（外分） λ<0 （λ<—１）（外分）λ<0 （—１<λ<0） A B C E F H P P P 222P P P

平面向量应用举例

平面向量应用举例【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?= a b a b ．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．（4）夹角问题：利用公式cos |||| θ?= a b a b ．要点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积．（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．【典型例题】类型一：向量在平面几何中的应用

新人教A版《平面向量应用举例》word教案

2.5 平面向量应用举例 [教学目标] 一、知识与能力： 1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.运用向量方法解决某些简单的物理问题. 二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题的过程；体会向量是一种处理几何问题和物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点. [教学重点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题. [教学难点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题. [教学时数] 2课时． [教学要求] 教师应该引导学生运用向量解决一些物理和几何问题，例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题. [教学过程] 第一课时一、复习回顾 1．向量的概念； 2．向量的表示方法：几何表示、字母表示； 3．零向量、单位向量、平行向量的概念； 4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动； 5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量； 6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量. 7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；

8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量. 10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系； 11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线. 二、讲授新课由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题. 例1 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 1111 ,2222 ,/./. ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DC AB D C O D === +=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形， 1 //. 2 DE ABC DE BC DE BC ?=已知是的中位线，用向量的方法证明：，且例2 () 11,,22 11 .22 1 //. 2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC = ==-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以例3 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.

第4讲平面向量应用举例

第4讲平面向量应用举例一、选择题 1．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB → ＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )． A ．等腰直角三角形 B ．非等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3 . 答案 C 2. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．2 D ．无法确定，与C 点位置有关解析 (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2. 答案 A 3. 函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝ ( )． A ．4 B ．6 C ．1 D ．2 解析由条件可得B (3,1)，A (2,0)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B 4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则

AE →·AF →＝( )． A.53 B.54 C.109 D.158 解析法一依题意，不妨设BE →＝12 E C →，B F →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13 AC →； AF →－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23 AC →. 所以AE →·AF →＝? ????23AB →＋13AC →·? ?? ??13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →) ＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC →) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A. 法二由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ? ????－233，0，F ? ?? ??－33，0， ∴AE →·AF →＝? ????－233，－1·? ????－33，－1＝? ????－233·? ????－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A 5．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ， N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC → ，则x ·y x ＋y 的值为( )．

北师大版必修4高中数学第二章向量应用举例教案

向量应用举例一.教学目标： 1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。证：设BE 、CF 交于一点H ， ?→ ?AB = a , ?→?AC = b , ?→ ?AH = h , 则?→ ?BH = h - a , ?→ ?CH = h - b , ?→ ?BC = b - a ∵?→ ?BH ⊥?→?AC , ?→?CH ⊥?→ ?AB ∴ 0)()()(0)(0)(=-???-=?-?? ?? =?-=?-a b h a b h b a h a a h b a h ∴?→ ?AH ⊥?→ ?BC 又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识： 1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使?→?P P 1=λ?→ ?2PP ，λ叫做点P 分?→ ?21P P 所成的比，有三种情况： λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 注意几个问题： ①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在 ②始点终点很重要，如P 分?→ ?21P P 的定比λ=2 1 则P 分?→?12P P 的定比λ=2 2．线段定比分点坐标公式的获得：设?→ ?P P 1=λ?→ ?2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算 ?→?P P 1=(x-x 1,y-y 1) ?→ ?2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1) A B C D E F H P 1 P 1 P 1 P 2 P 2 P 2 P P P O P 1 P P 2

高中数学-2.5《平面向量应用举例》教学设计

2.5《平面向量应用举例》教学设计【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 【导入新课】回顾提问：（1）若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0. （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来. 新授课阶段探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行 ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=-，2 22||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．

平面向量的应用举例

平面向量应用举例课型：新课设计人：设计时间：2011.3.2 使用时间：学习目标： 1.通过应用举例，学会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强积极主动的探究意识，培养创新精神。重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 学习过程：例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DA +=+++．利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面几何与向量的联系，（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3）把运算结果“翻译”成几何关系。变式训练：ABC ?中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b == （1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,.a b 表示向量AO 。例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？例3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到 0.1min)？变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。当堂检测 1.已知0 60,3,2===?C b a ABC 中，，求边长c 。 2.在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长。 3.在平面上的三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态， 2121,2 2 6,1F F N F N F 与+= =的夹角为o 45，求：（1）3F 的大小；（2）1F 与3F 夹角的大小。课后练习与提高一、选择题 1.给出下面四个结论： ① 若线段AC=AB+BC ，则向量AC AB BC =+； ② 若向量AC AB BC =+，则线段AC=AB+BC ； ③ 若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC; ④ 若向量AB 与BC 反向共线，则 BC AB BC AB +=+.其中正确的结论有（） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.河水的流速为2s m ，一艘小船想以垂直于河岸方向10s m 的速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为（） A.10s m B. 262s m C. 64s m D.12s m 3.在ABC ?中，若)()(CB CA CB CA -?+=0，则ABC ?为（） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定二、填空题 4.已知ABC ?两边的向量21,e AC e AB ==，则BC 边上的中线向量AM 用1e 、2e 表示为 5.已知10321321=++=++OP OP OP ，OP OP OP ，则1OP 、 2OP 、3OP 两两夹角是反思总结：

平面向量应用举例#精选.

平面向量应用举例一.教学目标： 1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P118练习1、2、3题 [展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C