方程与不等式之分式方程全集汇编附答案

方程与不等式之分式方程全集汇编附答案

一、选择题

1．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）

A ．

()006060-30x 125x =+ B ．

()

6060

-30125%x x =+ C ．()60125%60

-30x x

?+=

D ．

()60125%60-30x x

?+= 【答案】A 【解析】 【分析】

根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可

列出方程． 【详解】

解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：

()006060

30125x x

-=+， 故答案为：A ． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

2．下列说法中正确的是（ ）

A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形

B ．9的平方根为3

C ．抛物线21

(1)32

y x =-

++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程1

21

m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A 【解析】 【分析】

根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】

A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；

B 、9的平方根是±3，该选项错误；

C 、抛物线21

(1)32

y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误； D 、由方程

121

m x -=-去分母得：1

2m x +=，

∵关于x 的分式方程的解为非负数，

∴

102m +≥且1

12

m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误； 故选：A ． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．

3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x 个零件，根据题意可列方程为（ ）

A ．

600450

25x x =- B ．

600450

25

x x =- C ．

600450

25x x

=+ D ．

600450

25

x x =+ 【答案】C 【解析】 【分析】

原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程. 【详解】

由题意得：现在每天生产（x+25）个，

∴

600450

25x x =+， 故选：C. 【点睛】

此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.

4．如果关于x 的分式方程

11

222a x x

-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211

(1)22x x x x a ≥-?

?

?-+<-??

有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2

C ．-3

D ．2

【答案】A

【解析】 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】

解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：2

2a x +=

，且

222

a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，

不等式组整理得：3

4x a x ≥-??

???

＜，

由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，

可得0＜

4

a

≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ． 【点睛】

此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．若关于x 的分式方程

2x

x -﹣

12m x

--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()52

212

6m y y y ?-≤???

+?+>??至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1 B ．0

C ．5

D ．6

【答案】A 【解析】 【分析】

先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可． 【详解】

解：化简不等式组为25632y m y y -≤??+>+?，

解得：﹣2＜y ≤5

2

m +，

∵不等式组至多有六个整数解，

∴

5

2m +≤4， ∴m ≤3，

将分式方程的两边同时乘以x ﹣2，得 x +m ﹣1=3（x ﹣2）， 解得：x =

5

2

m +， ∵分式方程的解为正整数， ∴m +5是2的倍数， ∵m ≤3，

∴m =﹣3或m =﹣1或m =1或m =3， ∵x ≠2，

∴

5

2

m +≠2， ∴m ≠﹣1，

∴m =﹣3或m =1或m =3，

∴符合条件的所有整数m 的取值之和为1， 故选：A ． 【点睛】

本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．

6．已知关于x 的分式方程211x k x x

-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-

D ．2k <且1k ≠

【答案】B 【解析】 【分析】

先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】 解：211x k

x x

-=--Q

， 21

x k

x +∴

=-， 2x k ∴=+，

Q 该分式方程有解，

21k ∴+≠， 1k ∴≠-，

0x Q >， 20k ∴+>， 2k ∴>-，

2k ∴>-且1k ≠-， 故选：B ． 【点睛】

本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.

7．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是

A ．

120100

x x 10=- B ．

120100

x x 10

=+ C ．

120100

x 10x

=- D ．

120100

x 10x

=+ 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，

所以，

120100

x x 10

=-. 故选A.

8．关于x 的分式方程2x a

1x 1

+=+的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a 1> B ．a 1<

C ．a 1<且a 2≠-

D ．a 1>且a 2≠

【答案】D 【解析】 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围． 【详解】

分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-， 因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-， 解得：a 1>且a 2≠， 故选D ． 【点睛】

本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．

9．方程

10020x +＝60

20x

-的解为（ ） A ．x ＝10 B ．x ＝﹣10

C ．x ＝5

D ．x ＝﹣5

【答案】C 【解析】 【分析】

方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ），解得，x ＝5，经检验，x ＝5是方程的根． 【详解】

解：方程两边同时乘以（20+x ）（20﹣x ）， 得100（20﹣x ）＝60（20+x ）， 整理，得8x ＝40， 解得，x ＝5，

经检验，x ＝5是方程的根， ∴原方程的根是x ＝5； 故选：C ． 【点睛】

本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．

10．已知关于x 的分式方程13222mx x x

-+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且 B ．2m ≠

C ．1m =或2m =

D ．1m ≠或2m ≠

【答案】A 【解析】 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可. 【详解】

13222mx x x

-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2) 整理得，（m-2）x=-2

∵分式方程13222mx x x

-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，

∴2

2

x m -=

- ∵分式方程

13222mx x x

-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2，

∴

2

22

m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠ 故选：A. 【点睛】

此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.

11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（ ） A ．10001000

30

x x -+=2 B ．10001000

30x x -+=2 C ．

10001000

30x x --=2 D ．

10001000

30x x

--=2 【答案】A 【解析】

分析：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．

详解：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米， 根据题意，可列方程：10001000

30

x x -+=2， 故选A ．

点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．

12．若关于x 的方程333x m m x x

++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜

92 B ．m ＜

92

且m≠32

C ．m ＞﹣

9

4

D ．m ＞﹣

9

4且m≠﹣34

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

解：去分母得：x+m ﹣3m=3x ﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=29

2

m -+， 已知关于x 的方程

333x m m

x x

++--=3的解为正数，

所以﹣2m+9＞0，解得m ＜92

， 当x=3时，x=

292m -+=3，解得：m=3

2

， 所以m 的取值范围是：m ＜92

且m≠3

2．

故答案选B ．

13．已知关于x 的分式方程213

x m

x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m <

C ．3m >-

D ．3m ≥-

【答案】A 【解析】 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可 【详解】

213

x m

x -=-， 方程两边同乘以3x -，得

23x m x -=-，

移项及合并同类项，得

3x m =-，

Q 分式方程213x m

x -=-的解是非正数，30x -≠，

30(3)30m m -≤?∴?--≠?， 解得，3m ≤， 故选：A ． 【点睛】

此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值

14．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程正确的是

A ．

354515x x =- B ．

3545

+15x x

= C ．

3545

-15x x = D ．

3545+15

x x = 【答案】D 【解析】 【分析】

首先根据甲车的速度为x 千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关

键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．

【详解】

解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：3545

，

x x

+15

故选D．

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．

15．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组

无解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A．﹣2 B．0 C．1 D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．

【详解】

由关于y的不等式组，可整理得

∵该不等式组解集无解，

∴2a+4≥﹣2

即a≥﹣3

又∵得x＝

而关于x的分式方程有负数解

∴a﹣4＜0

∴a＜4

于是﹣3≤a＜4，且a为整数

∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3

则符合条件的所有整数a的和为0．

故选B．

【点睛】

本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．

16．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）

A．10000

x

﹣

9000

5

x-

=100 B．

9000

5

x-

﹣

10000

x

=100

C．10000

5

x-

﹣

9000

x

=100 D．

9000

x

﹣

10000

5

x-

=100

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．

【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：

9000 x5 -﹣

10000

x

=100，

故选B．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

17．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）

A．180

6

x+

=

120

6

x-

B．

180

6

x-

=

120

6

x+

C．180

6

x+

=

120

x

D．

180

x

=

120

6

x-

【答案】A

【解析】

分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．

详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：

180

6 x+=

120

6

x-

．

故选A．

点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．

18．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ） A ．16501610

840x x

-=+

B ．16501610

840

x x -=+ C ．

16101650

840x x -=+ D ．

16101650

840x x

-=+ 【答案】C 【解析】 【分析】

设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多

8个”即可得到方程． 【详解】

解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，

16101650

840x x -=+． 故选：C 【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．

19．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）

A ．

120150

8x x =- B ．

120150

8x x

=+ C ．

120150

8x x

=- D ．

120150

8

x x =+ 【答案】D 【解析】 【分析】

首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】

解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴120150

8

x x =+， 故选D. 【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.

20．关于x 的分式方程230+=-x x a

解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =

C ．4a =

D ．10a =

【答案】D 【解析】 【分析】

根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】

解：把x=4代入方程

230+=-x x a

，得 23044a +=-， 解得a=10．

经检验，a=10是原方程的解 故选D ．

点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．