2014全国新课标卷Ⅰ(理科数学)精准解析

2014高考真题2全国新课标卷Ⅰ(理科数学)

1．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( )

A ．[－2，－1]

B ．[－1，2) B ．[－1，1] D ．[1，2)

1．A [解析] 集合A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A ∩B ＝[－2，－1]． 2．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3

（1－i ）2＝( )

A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

2．D [解析] （1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）2＝2i （1＋i ）

－2i

＝－1－i.

3．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则

下列结论中正确的是( )

A ．f (x )g (x )是偶函数

B ．|f (x )|g (x )是奇函数

C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数

3．C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C. 4．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )

A. 3 B ．3 C.3m D ．3m

4．A [解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x ＋my ＝0.根据双曲线方程得a 2＝3m ，b 2＝3，所以c ＝3m ＋3，双曲线的右焦点坐标为(3m ＋3，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|3m ＋3|1＋m

＝ 3.

5．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A.18

B.38

C.58

D.78

5．D [解析] 每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－216＝78

图11

6．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )

A B

C D

6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为1

2|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，

根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝1

2|sin 2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立，故函数

f (x )的图像为选项C 中的图像．

7．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )

图12

A.203

B.165

C.72

D.158

7．D [解析] 逐次计算，依次可得：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；M ＝158，a ＝83，

b ＝158，n ＝4.此时输出M ，故输出的是15

8．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈????0，π2，β∈????0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )

A ．3α－β＝π2

B ．3α＋β＝π

C ．2α－β＝π2

D ．2α＋β＝π

8．C [解析] tan α＝1＋sin β

cos β

＝

????

cos β2

＋sin β2cos

2β

－sin

2β

＝

cos β2＋sin β2cos β2－sin β2＝1＋tan

21－tan

2＝tan ????π4＋β2，因为β∈????0，π2，所以π4＋β2∈????π4，π2，又α∈????0，π

2且tan α

＝tan ???

?π4＋β2，所以α＝

π4＋β

2，即2α－β＝π2.

9．、[2014高考真题2新课标全国卷Ⅰ] 不等式组?

????x ＋y ≥1，

x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：

p 1：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，

p 2：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 3

9．B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假．

10．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若＝4，则|QF |＝( )

A.7

2 B ．

3 C.5

D ．2 10．B [解析] 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ＝(－4，t )，＝(x 0－2，y 0)，由FP ＝4FQ ，得－4＝4(x 0－2)，解得x 0＝1，根据抛物线定义得|QF |＝x 0＋2＝3.

11．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－1)

11．C [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.

由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2

若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且f (x )极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a ，且f (x )极小值＝f ????2a ＝a 2－4a 2，

此时只需a 2－4

2>0，即可解得a <－2；

若a >0，则f (x )极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)． 12．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )

图13

A ．6 2

B ．6

C ．4 2

D ．4

12．B [解析] 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E CC 1D 1(其中E 为BB 1的中点)，其中最长的棱为D 1E ＝（4 2）2＋22＝6.

13．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)

13．－20 [解析] (x ＋y )8的展开式中xy 7的系数为C 78＝8，x 2y 6的系数为C 68＝28，故(x －y )(x ＋y )8

的展开式中x 2y 8的系数为8－28＝－20.

14．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．A [解析] 由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市．

15．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若＝1

2(＋)，则与的夹角为________．

15．90° [解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.

16．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．

16.3 [解析] 根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的

最大值为123433

＝ 3.

17．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中

λ为常数．

(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.

(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．

17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.

(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.

若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；

{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 18．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图14所示的频率分布直方图：

图14

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2.

(i)利用该正态分布，求P (187.8

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX .

附：150≈12.2.

若Z ～N (μ，σ2)，则p (μ－σ

18．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s 2分别为

＝17030.02＋18030.09＋19030.22＋20030.33＋21030.24＋22030.08＋23030.02＝200.

s 2＝(－30)230.02＋(－20)230.09＋(－10)230.22＋030.33＋10230.24＋20230.08＋30230.02＝150. (2)(i)由(1)知，Z ～N (200，150)，从而P (187.8

(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以EX ＝10030.682 6＝68.26.

19．G 5、G 11[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图15，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .

图15

(1)证明：AC ＝AB 1；

(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A A 1B 1 C 1的余弦值．

19．解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．

又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AO ?平面ABO ，故B 1C ⊥AO . 又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.

(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .

又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直．

以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则A ?

???0，0，

33，B (1，0，0)，B 1???

?0，3

3，0，

C ?

???0，－

33，0. ＝?

0，

33，－

33，＝AB ＝?

1，0，－

33， 1＝BC ＝

???

?－1，－33，0.

设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则

即???33y －33z ＝0，

x －33z ＝0.

所以可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则

同理可取m ＝(1，－3，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n 2m |n ||m |＝1

所以结合图形知二面角A A 1B 1 C 1的余弦值为1

20．、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，F 是

椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23

，O 为坐标原点．

(1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 20．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝23

3，得c ＝ 3.

又c a ＝3

2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)当l ⊥x 轴时不合题意，

故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．

将y ＝kx －2代入x 24＋y 2

＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，

当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>3

4时，

x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，

从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.

又点O 到直线l 的距离d ＝2

k 2＋1

. 所以△OPQ 的面积

S △OPQ ＝1

2d 2|PQ |＝44k 2－34k 2＋1

设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4

＝4

t ＋4t

因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7

时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－7

x －2.

21．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e x

ln x ＋b e x －

，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程

为y ＝e(x －1)＋2.

(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.

21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x

e x －

由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －

1，

从而f (x )>1等价于x ln x >x e －

x －2e .

设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，

所以当x ∈????0，1

e 时，g ′(x )<0；当x ∈????1e ，＋∞时，g ′(x )>0.

故g (x )在????0，1e 上单调递减，在????1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ????1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －

x (1－x )．

所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.

故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1

e .

因为g min (x )＝g ????

1e ＝h (1)＝h max (x )，

所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 22．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲

如图16，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .

图16

(1)证明：∠D ＝∠E ；

(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．

22．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .

(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ，所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .

又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E ，由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．

23．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修44：坐标系与参数方程

已知曲线C ：x 24＋y 2

9＝1，直线l ：?

????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．

(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．

23．解：(1)曲线C 的参数方程为?

????x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)，

直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.

(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离 d ＝

|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝

d sin 30°

＝25

5|5sin(θ＋α)－6|，

其中α为锐角，且tan α＝4

当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为225

当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为25

24．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修45：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1

b ＝ab .

(1)求a 3＋b 3的最小值．

(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.24.解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2

ab ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b

＝2时等号成立．

故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥4 2，当且仅当a ＝b ＝ 2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.

(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.

由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.