第五章数列质量检测

第五章数列

（时间120分钟，满分150分）

-、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知实数列一1, x , y , z,— 2成等比数列，则 xyz 等于（

）

A. — 4

B. ±

C. — 2 2

D.塑 2

解析：■/ xz = （— 1） 2） = 2, y 1 2 = 2,「. y =— 2（正不合题意），二 xyz =— 2 2. 答案：C

2.等差数列｛a n ｝的通项公式是a n =

1 — 2n ，其前n 项和为S *，则数列｛石｝的前11项和为

二｛半｝的前11项的和为一66. 答案：D

1 BQ

解析：??? ｛an ｝是等差数列, 二 S 5= 5a 3= 55,「. a 3= 11. --a 4 — a 3 = 15 — 11= 4, .,

a 4— a 3 4 ,

?? k pQ

4. PQ

4— 3

答案：A

在

4.等

差数列

｛a n ｝中，若a 2 + a 4 + a 6+ a 8 + a 10= 80,则a 7— [ a 8的值为

1 111

为 a 1,公差为 d ,则 a 7 — ?a 8= a 1+ 6d — ^(a 1 + 7d)= ~(a 1+ 5d) =歹6 = 8.

A.4

解析： B.6 C.8 D.10

由已知得：（a 2+ a 10） + （a 4 + a 8） + a 6= 5a 6= 80?牝一16,又分别设等差数列首

A. — 45

B. — 50

C. — 55

D. — 66

解析：S n =

⑻,

.S n

a 1+ a n

=—n ,

，

3.已知｛a n ｝是等差数列，a 4= 15, S 5= 55,则过点 P(3,

a s ）, Q （4, a 4）的直线斜率为（

A.4

C. — 4

(

答案：C

5.记数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n = 2n(n — 1),则该数列是 ( )

A.公比为2的等比数列

B.公比为Q 的等比数列

C.公差为2的等差数列

D.公差为4的等差数列

解析：由条件可得 n >2 时，a n = S n — S n -1= 2n(n — 1)— 2(n — 1)(n — 2)= 4(n — 1)，当 n =1时，a 1 = S 1= 0，代入适合，故 a n = 4(n — 1),故数列｛a n ｝表示公差为4的等差数列. 答案：D

6.定义：在数列｛a n ｝中，a n > 0且a n ^1若aa n + m 为定值，则称数列｛a “｝为"等幕数列”. 已知数列｛a n ｝为"等幕数列”，且 a 1 = 2, a 2= 4, S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，贝U S 2019 =

A.6026

B .6024

C.2

解析：a ；2 = 24= 16= aa 32 = 4a 3，得 a 3= 2，同理得 a 4= 4， a 5= 2，…，这是一个周期数列. 二 S 2019 = 200

； — 1

已2 + 4) + 2 = 6026.

答案：A

7.在古希腊，毕达哥拉斯学派把

1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，这是因为这

些数目的点可以排成一个正三角形(如图).

试问三角形数的一般表达式为 A. n

B?2n(n + 1)

解析：由 1+ 2+ 3 +??? + n 1

=2n(n + 1)可得. 答案：B

8.在数列｛a n ｝中，a 1= 1， a 2 = 2， a n + 2

—

n = 1

+ (

—

，那么 S 100 的值等于

(

解析：据已知当n 为奇数时， a n + 2

—

n = 0

n = 1，

当 n 为偶数时，a n +2— a n = 2

? a n

= n ，

( )

D.4

(

D.^n(n — 1)

A.2500

B.2600

C.2700

D.2800

故an 二 1 l n 故 S 100 =仁_y (1)

+ 2+4+6： . +100

=50 + 50，+ J 0

= 2600.

2 答案：B

9.在函数y = f(X )的图象上有点列｛x n , y n ｝，若数列｛x n ｝是等差数列，数列｛y n ｝是等比数列, 贝y 函数y = f(x)的解析式可能为

解析：结合选项，对于函数f(x)= (4)x 上的点列｛x n , y n ｝，有y n = (^X n .由于｛X n ｝是等差数

3 "=(4)X n + 1- X n = (3)d ，这是一个与n 无关的常

(严

数，故｛y n ｝是等比数列. 答案：D

+ ???+ 丄

a 2008

a n n(n +1)

」+ 1 + 1 +???+丄 a 1 a 2 a 3 a 2oo8

1 , 1 1 , 1 1

2(1

— 2 + 2 - 3+ …+ 2008- 2009)= 2(1 - 答案：D

解析：设｛a n ｝的公比为 q(q >0)，由 a 3= a 2 + a j ，得 q 2- q - 1= 0,

(n 奇数) (n 这偶数)，

A.f(x)= 2x + 1

B.f(x)= 4x 2

C.f(x)= log 3x

3 x

D.f(x) = (4)

列，所以 X n + 1-X n = d ,因此 yn ^-(

4^-

y n

10.数列｛a n ｝满足: a 1= 1,且对任意的

m , n € N *都有: a m +n = a m + a “+ mn ,则丄+丄+丄

a 1 a 2 a 3

A 20°7 A.

2008

2007 B.

而

C 2008 C.

2009

D 业 D .2009

解析：因为 a n +m = a n + a m + mn ，则可得 a i = 1, a 2 = 3, a 3= 6, a 4= 10,…，则可猜得

数列的通项 n(n + 1)

n = 2 ,

11.各项都是正数的等比数列｛a n ｝中, a 2,

2a 3, a 1成等差数列，则 aSJ 的值为()

5- 1 A h

5+ 1 B h

C.-宁

D.号或号

2 2

4016 2009

解得q = 宁.从而竺存=q = 1±

严.

2 a

3 + a

4 2

答案：B

12.已知等比数列｛a n ｝的各项均为不等于 1的正数，数列｛b n ｝满足b n = lga n , 12,则数列｛b n ｝前n 项和的最大值等于 A.126

B.130

C.132

D.134

解析：由题意可知，lga 3= b 3, lga 6= b 6.

又■/ b 3= 18, b 6= 12，贝V a j q 2= 1018, a 1q 5= 1012, ???q 3= 10「6.

即 q = 10「2,「. a 1= 1022.

又??? ｛a n ｝为正项等比数列，二

｛b

n ｝为等差数列，且d =- 2, b 1 = 22.

故 b n = 22+ (n — 1)入—2) =- 2n + 24. ? Sn = 22n + 咛 X( — 2)

23 2 529

=—n + 23n =— (n —

)+ . 2 4

又??? n € N *，故 n = 11 或 12 时， (S n )max = 132. 答案：C

:■、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上 13.设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 1= 1, S 6= 4S 3,则a 4 = ________________ 解析：设等比数列的公比为 q ,则由S 6= 4S 3知q z 1.

b 3= 18, b 6 =

( )

.? q 3= 3.二 ag 3= 3.

答案：3

a n +1 n + 2 * —r

14.已知数列｛a n ｝满足 = (n € N ),且a 1= 1,贝V a “= _____________ a n n

解析:

由已知得业 a n —

1 n + 1

n — a n —

1 = n a n —2

n — 2’

a 2= 3 a 1=1‘ a 1= 1,

左右两边分别相乘得

4(1 - q)

1 — q

^13/ / *

- /

解析：注意到数1,9,17,25,…，分别都对应着大拇指，且数到2 008时对应的指头是食指.对应中指的数依次是: 通项公式是 a n = 3+ (n — 1) >4 = 4n — 1. 答案：食指 4n — 1

16. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且a 4— a 2= 8, a 3+ a 5= 26.记T n =爭，如果存在正整数 M ，使得对一切正整数 n , T n < M 都成立，则 M 的最小值是 ____________ . 解析：■/ ｛a n ｝为等差数列，由 a 4— a 2= 8, a 3+ a 5= 26, 可解得S n = 2n 2— n ,

??? T n = 2 - 1,若2 M

对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值三M 即可.

又T n = 2 —肩<2 ,???只需2< M ，故M 的最小值是2. 答案：2

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）已知｛a n ｝是一个等差数列，且 a 2= 1, a 5=— 5. （1）求数列｛a n ｝的通项a n ；（2）求｛a n ｝前n 项和S n 的最大值. 解：（1）设｛a n ｝的公差为d ,

a<）+ d = 1,

由已知条件得，丿解得a^, = 3,d = -2,

? +4d =弋

6L 4

5-3 4L2

』

n — 1 n n +1

n — 3 n — 2 n —

15.“欢欢” 按如图所示的规则练习数数，

记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的

数列为｛a n ｝，则数到 2 008时对应的指头是 __________ .（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、

_,数列｛a n ｝的通项公式

a n

食指、中指、无名指、小指).

￡ \ 广\ \

1 + 8 凡251 — 1) =

2 001，因此 3,7,11,15,…，因此数列｛a n ｝的

所以 a n = a i + (n — 1)d = — 2n + 5.

n( n 一 1) 2 2

(2)S n = na i + 2 d =— n + 4n = 4 — (n — 2). 所以n = 2时，S n 取到最大值4.

18.(本小题满分 12 分)已知数列｛a n ｝满足：a i = 4，a 2= 4，a n +1 = 2a n — a n -i (n >2, n € N ), 数列｛b n ｝满足 b 1< 0,3b — b n -1= n(n >2, n € N )，数列｛b n ｝的前 n 项和为 S n . (1) 求数列｛a n ｝的通项a n ；

(2) 求证：数列｛b n — a n ｝为等比数列.

解：(1)证明??? 2a n = a n +1+ a n -1(n >2, n € N *), 二｛a n ｝是等差数列. 1 2n — 1 ? = 4

1 n *

(2)证明：T b n = 3b n -

1 + 3(n >2, n € N ),

1 n + 1 2n + 1 1

2n — 1

bn +1

— an +

=3bn

"V — ~~T =3bn

—

1 2n — 1 1

=3(&

—

)

= 3(b n

— a

n ).

八 b1

— a1

= b1

—

4刊

?I ｛b n — a n ｝

是以 b

1 1 31 - 4为首项，以1为公比的等比数列.

19.（本小题满分12分）（2019苏北三市联考）已知数列｛a n ｝是等差数列，a 2= 3, a 5= 6,数列 □ 1

｛b n ｝的前n 项和是T n ,且T n + ?b n = 1.

（1）求数列｛a n ｝的通项公式与前 n 项的和M n ； ⑵求数列｛b n ｝的通项公式.

解：(1)设｛a n ｝的公差为 d ,则：a 2= a 1+ d , a 5 = a 1+ 4d.

a 1 = 2, d = 1

(2)证明：当 n = 1 时，b 1 = T 1, 由 T 1+

' =仁得 b 1=：.

二 3,a 5

所以：14二,

--a n = 2+ (n — 1) = n + 1.M n = na 1 +

n(n — 1)

2 d =

n 2+ 3n 2

又

???

1 a

n = 4+ 5T )

1 1

当 n > 2 时，??? T n = 1 — 2b n , T n -1= 1 — ?b n-1,

1 _

…T n

— T n -1 = 2

(b n -

1 — g),

即 b n

2(b

n-1— b n ).

_ 1

…b n = 3b n —

二｛b n ｝是以3为首项，1为公比的等比数列

3 3

20.（本小题满分12分）用分期付款的方式购买一批总价为 2300万元的住房，购买当天首付

300万元，以后每月的这一天都交

100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，

若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第

1个月，问分期付款的第

10个

月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分 20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列

｛a n ｝,

故 a 1= 100 + 2000X0.01= 120（万元）, a 2= 100+ （2000 — 100） X0.01 =119（万元）,

a 3= 100+ （2000 — 100X2） X .01 =118（万元）,

a 4= 100+ （2000 — 100X3） X .01 =117（万元）,

a n = 100+ [2000 — 100（n — 1）] X .01= 120 — （n — 1） =121 — n （万元）（1 < n w 20, n € N *）. 因此｛a n ｝是首项为120,公差为一1的等差数列. 故 a 10= 121 — 10= 111（万元）, a 20 = 121 — 20= 101（万元）, 20次分期付款的总和为 S 20=『d 禽=（

120

+ ；

01） X 0

= 2210（万元）.

???实际要付 300 + 2210= 2510（万元）.

即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付

2510万元.

1 n —

(

21.（本小题满分12分）已知数列｛a n｝的每一项都是正数，满足a1= 2且a^+勺一a“a n+1 —2a^= 0;

等差数列｛bj 的前n 项和为T n , 6= 3, T 5= 25. ⑴求数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式; 1 1 1

⑵比较T ；+〒???+讥与2的大小;

(3)［理］若b1+匹十…十bn v c 恒成立，求整数

c 的最小值.

a 1 a 2 a n 解：(1)由 a 2+

1 — a n a n +

1 — 2a ^= 0,

得(a n +1 — 2a n )(a n + 1 + a n )= 0, 由于数列｛a n ｝的每一项都是正数，

???

5 X4

设 b n = b 1+ (n — 1)d ,由已知有 b 1+ d = 3,5b 1 + 52~d = 25, 解得 6= 1, d = 2,A b n = 2n — 1. ⑵由⑴得Tn =

? T n =*,

1 1 1 1

产(n — 1)n = n — 1一 n .

v 1+ 1— 2 +

III IV V VI

—知…+宀—1 = 2—2.

T n 1 2 2 3 n — 1 n n

____ b 1 b 2

b n 1

5 2n — 1

(3)［理】记p

n = b 1+二+…+ b n = 2+尹尹…+ "V

III 1 3 2n — 3 2n — 1

?产=^2+尹…+―+尹T , 两式相减得P n = 3— 2^2^ 3 T P

n 递增」卜P n

V 3

, P 4=器〉2,

???最小的整数c = 3.

22.(本小题满分14分)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n 且满足a 2= 3, S 6= 36. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；

⑵若数列｛b n ｝是等比数列且满足 b 1 + 6= 3, b 4+ b s = 24.设数列｛a n b n ｝的前n 项和为T n , 求T n .

解: (1)数列｛a n ｝是等差数列, ?- S 6= 3(a 1 + a 6)= 3(a 2+ a 5)= 36.

a n + 1 =

,A a

n = 2：

当n = 1时,

丄=1 v 2. T 1

M +U CM

M ——UZ)HU1

M ——U Z (U Z ——CO )H U Z

(L ——uz) ——

——UZ)Z +

U CM

——

uz)——(l

U00+

)

L H H

——

品

?UE

——

UZ)——

T U 0? z +—u e z + :?+z

燹 z+zxz+lxlh h(z

——

l)e

栗

￥

(

L ——u z )+cxi

(2——UZ)

十…十"义 g+z

燹CO +Z

X L H H

U Q

——

uz)

z &

(2——UZ)

9+燹

CO +

L X L H U

? L

U CM

(L ——uz)Huq

ue...

Luznuq

?L H ^M H b L q + L q .M H z q +L q

Z H b w J b

? a2= 3,「. a5= 9,「. 3d= a5—a2= 6,「. d= 2,

又T a1= a2—d= 1 ,? a n= 2n —1.

⑵由等比数列｛b n｝满足b1 + b2= 3, b4+ b5= 24,