陕西六年中考数学第25题解析

25题解析

一、例题赏析

（2013）25.（本题满分12分） 问题探究

（1） 请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2） 如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线

必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决 （3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点.如果AB=a ，CD=b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.

M

D

B

C

A

P

D

B

C

A ①

②

③

25．（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求。

（2）设正方形E'F'P'N'的边长为x．

∵△ABC为正三角形，∴

3

AE'=BF'=x

3

。

∴

23

x+x=3+3

3

。∴

9+33

x=

23+3

，即x=333

。

（3）如图②，连接NE ，EP ，PN ，则0

NEP=90∠。

设正方形DEMN 和正方形EFPH 的边长分别为m 、n （m ≥n ）， 它们的面积和为S ，则NE=2m ，PE=2n 。

∴()

2222222

PN =NE +PE =2m +2n =2m +n .

∴22

21

S=m +n =

PN 2

。 延长PH 交ND 于点G ，则PG ⊥ND 。

在Rt PGN ?中，()()2

2

222

PN =PG +GN =m+n +m n -。

∵

33

m+m+n+n=3+333，即m+n=3. ∴()2

9S=

+m n 2

-。 ∴①当()2

m n =0-时，即m n =时，S 最小。 ∴219S =

3=22

?最小。 ②当()2

m n -最大时，S 最大，即当m 最大且n 最小时，S 最大。 ∵m+n=3，由（2）知，m =333-最大。 ∴()

n =m =3333=633---最小最大。

∴ ()()

2211S =9+m n =9+3336+33=9954322????----???

???最大最大最小。 【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。

【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN 的位似正方形E ′F ′P ′N ′，如答图①所示。

（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式

E ′

F ′+AE ′+BF ′=AB ，列方程求得正方形E ′F ′P ′N ′的边长

（3）设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n （m ≥n ），求得面积和的表

达式为：()2

9S=

+m n 2

-，可见S 的大小只与m 、n 的差有关：①当m =n 时，S 取得最小值；②当m 最大而n 最小时，S 取得最大值．m 最大n 最小的情形见第（1）（2）问。

25、（2011?陕西）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个等腰三角形

（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？

考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质。

专题：数形结合；分类讨论。

分析：（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答；

（2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标；

（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，

①当F在边C D上时，S△BEF≤错误！未找到引用源。S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；

②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标．

解答：解：（1）等腰．

（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．

∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，

∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．

∴四边形ABFE为正方形．

∴BF=AB=2，

∴F（2，0）．

（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，

理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示．

S△BEF≤错误！未找到引用源。S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．

②当F在边CD上时，如图③所示，

过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．

∵S△EKF=错误！未找到引用源。KF?AH≤错误！未找到引用源。HF?AH=错误！未找到引用源。S矩形AHFD，

S△BKF=错误！未找到引用源。KF?BH≤错误！未找到引用源。HF?BH=错误！未找到引用源。S矩形BCFH，

∴S△BEF≤错误！未找到引用源。S矩形ABCD=4．

即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．

下面求面积最大时，点E的坐标．

①当F与点C重合时，如图④所示．

由折叠可知CE=CB=4，

在Rt△CDE中，ED=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。．

∴AE=4﹣2错误！未找到引用源。．∴E（4﹣2错误！未找到引用源。，2）．

②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．

此时E（0，2）．

综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4﹣2错误！未找到引用源。，2）．

点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论．

25．（12分）（2010?陕西）问题探究：

（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分．

问题解决：

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．

考点：直角梯形；待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质．

专题：综合题；压轴题．

分析：（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分．

（2）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分．

（3）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y=kx 解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在．

解答：解：

（1）如图①．

（2）如图②连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．

（3）如图③存在直线l，

过点D的直线作DA⊥OB于点A，

则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，

∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，

易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．

从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，

即直线PH为所求直线l

设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（4，2），

∴2=4k+b即b=2﹣4k，

∴y=kx+2﹣4k，

∵直线OD的表达式为y=2x，

∴，解之．

∴点H的坐标为（x=，y=）

把x=2代入直线PH的解析式y=kx+2﹣4k，得y=2﹣2k，

∴PH与线段AD的交点F（2，2﹣2k），

∴0＜2﹣2k＜4，

∴﹣1＜k＜1．

∴S△DHF=（4﹣2+2k）?（2﹣）=××2×4，

∴解之，得k=．（k=舍去）

∴b=8﹣2，

∴直线l的表达式为y=．

点评：本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错，做的时候要认真．

25、（2009?陕西）问题探究

（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三

角形，并求出这个正三角形的面积？

（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？

问题解决

（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大

的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？

分析：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．连接OC，则OC⊥AB，根

据垂径定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三角

形的面积公式计算即可；

（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．连接OA．令OB=a，则AB=2a，

利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可；

（3）如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆

O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．

连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S△AA′D的面积最大．

解答：解：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．

连接OC，则OC⊥AB．

∵AB=2OB?tan30°=R，

∴S△ACB=．

（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．

连接OA．令OB=a，则AB=2a．

在Rt△ABO中，a2+（2a）2=R2．

即．

S正方形ABCD=（2a）2=．

（3）存在．

如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．

连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．

∴S正方形ABCD=AB?AD==S△AA′D．

∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S△AA′D的面积最大．

∴S矩形ABCD最大=．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了等边三角形和正方形的性质以及勾股定理．

25、（2008本题满分12分）

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB 段和CD 段（村子和公路的宽均不计），点M 表示这所中学。点B 在点M 的北偏西30°的3km 处，点A 在点M 的正西方向，点D 在点M 的南偏西60°的23km 处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M 处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（线段CD 某处），甲村要求管道铺设到A 处，请你在图①中，画出铺设到点A 和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（线段AB 某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M 处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

解：方案一：由题意可得：MB ⊥OB ，

∴点M 到甲村的最短距离为MB 。…………………（1分）

∵点M 到乙村的最短距离为MD ，

∴将供水站建在点M 处时，管道沿MD 、MB 线路铺设的长度之和最小， 即最小值为MB+MD=3+23 （km ）…………………（3分）

北

东

D 30

°

A

B

C M O

E

F

图①

乙村

D

30

°

A

B

C M O

E

F

图②

乙村

方案二：如图①，作点M 关于射线OE 的对称点M ′，则MM ′＝2ME ，

连接AM ′交OE 于点P ，PE ∥AM ，PE ＝

1

AM 2

。 ∵AM ＝2BM ＝6，∴PE ＝3 …………………（4分） 在Rt △DME 中，

∵DE ＝DM ·sin60°＝23×

3

2

＝3，ME ＝1DM 2＝12×233=，

∴PE ＝DE ，∴ P 点与E 点重合，即AM ′过D 点。…………（6分） 在线段CD 上任取一点P ′，连接P ′A ，P ′M ，P ′M ′， 则P ′M ＝P ′M ′。 ∵A P ′＋P ′M ′＞AM ′，

∴把供水站建在乙村的D 点处，管道沿DA 、DM 线路铺设的长度之和最小，

即最小值为AD ＋DM ＝AM ′＝()

2

222

AM MM

62343+′＝＋＝…………（7分）

方案三：作点M 关于射线OF 的对称点M ′，作M ′N ⊥OE 于N 点，交OF 于点G ，

交AM 于点H ，连接GM ，则GM ＝GM ′

∴M ′N 为点M ′到OE 的最短距离，即M ′N ＝GM ＋GN 在Rt △M ′HM 中，∠MM ′N ＝30°，MM ′＝6， ∴MH ＝3，∴NE ＝MH ＝3

∵DE ＝3，∴N 、D 两点重合，即M ′N 过D 点。

在Rt △M ′DM 中，DM ＝23，∴M ′D ＝43…………（10分） 在线段AB 上任取一点G ′，过G ′作G ′N ′⊥OE 于N ′点， 连接G ′M ′，G ′M ，

北

东

D

30°

A

B

C M

O E F

图①

P ′ M ′

P

N ′ D

30°

A

B

C M O

E

F

图②

乙村 M ′

N H

G

G ′

显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D

∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD

线路铺设的长度之和最小，即最小值为

GM＋GD＝M′D＝43。…………（11分）

综上，∵3＋23＜43，

∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。…………（12分）