函数的概念及其表示

授课主题函数1----概念及其表示

教学目的①理解函数的概念，了解构成函数的要素.

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方表示函数.

③了解简单的分段函数，并能简单应用

教学重点求函数的解析式及值域

教学内容

1．函数的基本概念

(1)函数的定义

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

2．映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

3．函数解析式的求法

求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

4．常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .

(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .

(5)y ＝tan x 的定义域为?

???

??x |x ∈R 且x ≠k π＋π

2，k ∈Z .

(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f (x )＝x 2

x 与g (x )＝x 是同一个函数．

( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．

( × )

(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × ) (4)f (x )＝???

1－x 2 (－1≤x ≤1)

x ＋1 (x >1或x <－1)，

则f (－x )＝?

??

1－x 2 (－1≤x ≤1)

－x ＋1 (x >1或x <－1).

( √ ) (5)函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是{y |y ≥1}． ( × ) (6)函数是特殊的映射．

( √ ) 2．(2013·江西)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为

( )

A ．(0,1)

B ．[0,1)

C ．(0,1]

D ．[0,1]

答案 B 解析 由???

1－x >0

x ≥0得，函数定义域为[0,1)．

3．(2012·安徽)下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是

( )

A ．f (x )＝|x |

B ．f (x )＝x －|x |

C ．f (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝－x

答案 C 解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；

对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，

故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.

4．(2012·福建)设f (x )＝???

1，x >0，

0，x ＝0，

－1，x <0，

g (x )＝???

1，x 为有理数，0，x 为无理数，

则f (g (π))的值为

( )

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．π

答案 B 解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0. 5．给出四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中正确命题的序号有________．

答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；

对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合.

题型一 函数的概念 例1 有以下判断：

①f (x )＝|x |

x 与g (x )＝???

1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；

②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数； ④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ? ????

f ? ????12＝0.

其中正确判断的序号是________．

思维启迪 可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．答案 ②③ 解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝???

1 (x ≥0)－1 (x <0)

的

定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ? ???

?

12＝??????12－1－??????12＝0，所以f ? ????

f ? ????12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.

思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)

(1)下列四个图象中，是函数图象的是

( )

A ．(1)

B ．(1)(3)(4)

C ．(1)(2)(3)

D ．(3)(4) (2)下列各组函数中，表示同一函数的是

( )

A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2

B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2

C ．f (x )＝x 2－1x －1

，g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 (1)B (2)A

解析 (1)由一个变量x 仅有一个f (x )与之对应，得(2)不是函数图象．故选B. (2)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．

C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．

D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，

g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A. 题型二 求函数的解析式

例2 (1)如果f (1x )＝x

1－x

，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )

A.1x

B.1x －1

C.11－x

D.1x －1

(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1

x )·x －1，则f (x )＝________. 思维启迪 (1)令t ＝1x ，反解出x ，代入f (1x )＝x

1－x ，求f (t )的表达式．

(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，结合条件列出关于x 的方程求参数a ，b . (3)用1

x 代替x ，通过解方程组求f (x )． 答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋1

3 解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1

t ，∴f (t )＝

1t

1－1t

＝

1t －1，∴f (x )＝1x －1

. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴??? a ＝2，b ＋5a ＝17，解得???

a ＝2，

b ＝7，

∴f (x )＝2x ＋7. (3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x

－1中，可求得f (x )＝23x ＋1

3. 思维升华 函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；

(4)消去法：已知关于f (x )与f ? ????

1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组

成方程组，通过解方程组求出f (x )．

(1)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1

x 2，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1

x )＝3x ，求f (x )的解析式．

解 (1)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1

x ≤－2, ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)∵2f (x )＋f (1x )＝3x ，① 把①中的x 换成1x ，得 2f (1x )＋f (x )＝3x .② ①×2－②得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1

x (x ≠0)． 题型三 求函数的定义域

例3 (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)

|x |－x

的定义域为

( )

A ．(－1,2)

B ．(－1,0)∪(0,2)

C ．(－1,0)

D ．(0,2)

(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝

f (2x )

(x －1)0

的定义域为________． 思维启迪 函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置

答案 (1)C (2)[1

2，1) 解析 (1)f (x )有意义，则??? 2＋x －x 2

>0，|x |－x ≠0，解之得?

??

－1

－1

(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有???

1≤2x ≤2x －1≠0∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[1

2，1)．

思维升华 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．

(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．

(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －1

2)的定义域是________． (2)函数y ＝

ln (x ＋1)

－x 2

－3x ＋4

的定义域为________． 答案 (1)[12，3

2] (2)(－1,1)

解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，

所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －1

2)中的自变量x 需要满足?????

0≤x ＋12≤2，

0≤x －1

2≤2，

解得：12≤x ≤3

2，

所以函数g (x )的定义域是[12，3

2]． (2)由???

x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1

题型四 分段函数

例4 (1)已知函数f (x )＝???

2x

，x >0，

x ＋1，x ≤0，

若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝???

f (x )，f (x )≤M ，

M ，f (x )>M ，则

称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为

( ) A ．2 B ．1

C. 2

D ．－ 2

思维启迪 (1)应对a 分a >0和a ≤0进行讨论，确定f (a )． (2)可以根据给定函数f (x )和M 确定f M (x )，再求f M (0)． 答案 (1)A (2)B

解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.

①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；

②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.

(2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；

当－1

思维升华 (1)应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．

已知函数f (x )＝???

－x －1(－1≤x <0)，

－x ＋1(0－1的解集为 ( )

A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B ．[－1，－1

2)∪(0,1]

C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D ．[－1，－1

2]∪(0,1)

答案 B

解析 ①当－1≤x <0时，0<－x ≤1，

此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x －2>－1， 解得x <－12，则－1≤x <－1

2. ②当0

此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x ＋2>－1， 解得x <3

2，则0

故所求不等式的解集为[－1，－1

2)∪(0,1]．

分段函数意义理解不清致误

典例：(5分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝???

2x ＋a ，x <1，

－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为

________

易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：

(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误． 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，

由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－3

2，不合题意； 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，

由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－3

4. 答案 －3

4

温馨提醒 (1)分类讨论思想在求函数值中的应用：对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．

(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意

求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.

方法与技巧

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否

相同．

2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上

进行．

3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解． 失误与防范

求分段函数应注意的问题：

在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集

A 组 专项基础训练

一、选择题 1．函数f (x )＝

1

ln (x ＋1)

＋4－x 2的定义域为

( )

A ．[－2,0)∪(0,2]

B ．(－1,0)∪(0,2]

C ．[－2,2]

D ．(－1,2]

答案 B

解析

由???

x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0

，得－1

2．(2012·江西)设函数f (x )＝????

?

x 2＋1，x ≤1，2

x

，x >1，则f (f (3))等于 ( )

课堂小结

课后巩固

A.15

B ．3

C.2

3 D.139

答案 D

解析 由题意知f (3)＝23，f ? ????23＝? ????232＋1＝13

9，

∴f (f (3))＝f ? ??

??23＝13

9.

3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象

可能是

( )

答案 B

解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 4．已知函数f (x )满足f (

2

x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是

( )

A ．f (x )＝log 2x

B ．f (x )＝－log 2x

C ．f (x )＝2－x

D ．f (x )＝x －2

答案 B

解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21

x ＝－log 2x .

5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大

于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为

( )

A ．y ＝[x

10]

B ．y ＝[x ＋3

10]

C ．y ＝[x ＋4

10]

D ．y ＝[x ＋5

10]

答案 B

解析方法一取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A，选B.

方法二设x＝10m＋α(0≤α≤9，m，α∈N)，当0≤α≤6时，[x＋3

10]＝[m＋

α＋3

10]＝m＝[

x

10]，

当6<α≤9时，[x＋3

10]＝[m＋

α＋3

10]＝m＋1＝[

x

10]＋1，所以选B.

二、填空题

6．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.

x 0

y 234 5 答案{2,3,4,5}

解析函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．

7．已知f(x－1

x)＝x

2＋

1

x2，则f(3)＝________.

答案11

解析∵f(x－1

x)＝x

2＋

1

x2＝(x－

1

x)

2＋2，

∴f(x)＝x2＋2(x≠0)，∴f(3)＝32＋2＝11.

8．若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．答案[－1,0]

解析由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立．

∴x2＋2ax－a≥0恒成立，

∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.

三、解答题

9．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.求函数f(x)的解析式．解设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，又f(0)＝0，

∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.

又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.

∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，

∴??

?

2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1

，解得?????

a ＝12

b ＝1

2

.

∴f (x )＝12x 2＋1

2x .

10．某人开汽车沿一条直线以60 km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h

后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象． 解

x ＝?????

60t 0≤t ≤5

2

150 52

150－50(t －72) 72