函数图像与变换+零点存在定理

函数图像与变换

一、 图像变换 1．平移变换：

（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移

||a 个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移

||a 个单位即可得到．

2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；

（2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．

3．翻折变换：

（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下

方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；

（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保

留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．

4.伸缩变换：

（1）函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的纵坐标伸长到原来的(0)k k >倍（横坐

标不变）得到。

（2）函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的横坐标伸长到原来的(0)k k >倍（纵坐

标不变）得到。 二、典型例题 1、 函数的图象变换:函数的图象变换这一节的知识点是高考考查的重要方面，一些复杂的函数是可以通过

一些较为简单的函数由相应的变换得到，从而我们可以利用之研究函数的性质。 例1、（1）设()2,()x

f x

g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()

h x 的图像由()g x 的图像 右平移1个单位得到，则()h x 为__________

（2）要得到)3lg(x y -=的图像，需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位 （3）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13

（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____

例2、已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．

例3、设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为( ) Ａ、直线y=0对称 Ｂ、直线x=0对称 Ｃ、直线y=1对称 Ｄ、直线x=1对称

2 、函数图象的画法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，运用描点法

作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换。

例4画出下列函数的图象

（1）|

2|21+?

?

?

??=x y （2）|122|2

-+=x x y

（3）()1lg -==x x f y ； （4）())1lg(-=x x g

3 、函数图象的识别:通过对函数解析式的形式了解函数的图象的特点，

在识别上可以采用特殊的原则，去寻找特殊点和特殊位置等方法；在图象变换的问题上，需要依据变换的方法对函数的

图象进行变换，而得到函数的图象；现在有一类很常见的的题型是和实际的生活相联

系的问题，比如例题6，对于这样的问题首先需要我们把它转化成数学问题去进行思考例5、（1）已知y=f(x)的图象如图(A)，则y=f(-x)的图象是_______；y=-f(x)的图象是_______；y=f(∣x∣)的图象是______；y=∣f(x)∣的图象是_______。

（2）方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是( )

例6（1）如下图所示，向高为H的水瓶,,,

A B C D同时以等速注水，注满为止；

（1）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a，则水瓶的形状是______ ；

（2）若水量v与水深h的函数图像是下图中的b，则水瓶的形状是______ ；

（3）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状是______ ；

（4）若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状是______ 。

（2）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )

4 、函数图象的应用

有关函数图象的应用在前面的几个知识点当中有适当的涉及，函数的图象在我们函数有关问题的解决中是有着相当重要的作用，起着直观，简洁，化繁为简的作用。

例7、（1）方程

1

2

4

42

-

-

=

-

+

x

x

x

x的实根共有_______个。

（2）方程2

lg=

+x

x的实根共有_______个。

()d

t

h

v

h t

h

()a

t

h

()A()B()

C()

D

三、高考题解

1．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x,f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是 ( )

2．函数

()1 (0x f x a a =+<<

关于y=x 对称的函数

图象大致是 ( )

（A ） （B ） （C ） （D ）

3．函数y ＝f(x)的图像与函数g(x)＝log 2x(x ＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为 ( )

(A)f(x)＝1

log 2x (x ＞0) (B)f(x)＝log 2(－x)(x ＜0) (C)f(x)＝－log 2x(x ＞0) (D)f(x)＝－log 2(－x)(x ＜0)

4．已知函数)(x f y =的图象与函数x

a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记

]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,2

1

[上是增函数，则实数a 的取值范围是

A ．),2[+∞

B ．)2,1()1,0(

C ．)1,21

[ D ．]2

1,0(

5.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；

（2）设集合{}

),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，

（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.

7.与函数()10x

y x x

-=≠的图像关于y=x 对称的函数图像大致是 （ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

四、练习题

x y

1o x y 1-o x y o 1x

y o 1-

1．已知函数x

x

f)

2

1

(

)

(=的图象与函数)

(x

g的图象关于直线x

y=对称,令|)

|

1(

)

(x

g

x

h-

=, 则关于)

(x

h有下列命题：（1）)

(x

h的图象关于原点对称；（2）)

(x

h为偶函数；

（3）)

(x

h的最小值为0；（4）)

(x

h在（0，1）上为减函数。

其中正确命题的序号为.

2.如下图，正方形ABCD的顶点A（0，

2

2

），B（

2

2

，0），顶点C、D位于第一象限，直线)2

0(≤

≤

=t

t

x

l：

将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数)

(t

f

S=的图象大致是

4．若函数

1

2

21,

()log1,

x x

f x x x

?

?

=?>

??

≤

则y=f(1－x)的图象可以是（）

（A）（B）（C）（D）

5.函数|x

|log2

2

y=的图像大致是( )

第十一部分 函数与方程

一．要点精讲

1．方程的根与函数的零点

(1)函数零点：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 (2)函数零点的意义：

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。

(3)零点存在定理：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(

(1) 定义：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．

(2) 二分法及步骤：给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：

①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；

②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；

（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。

二、典例解析

题型1：方程的根与函数零点

例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，+∞)

例2.（全国卷文）若函数()f x 的零点与()422x

g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()

f x 可以是（ ）

A. ()41f x x =-

B. ()2(1)f x x =-

C. ()1x

f x e =- D. ()12f x In x ??=-

???

题型2：零点存在性定理

例3．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）

A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

B ．若0)()(

C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

D ．若0)()(

例4．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）

A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到；

B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点；

C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点；

D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解；

三、练习题

1．关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 为1x 、2x ，且满足 123

2

x x <<，则实数m 的取值范围_____________

2．设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）

A ．0

B ．9

C ．12

D ．18

3．设123,,x x x 依次是方程12

log 2x x +=，2log (2)x +=22x x +=的实数根，

试比较123,,x x x 的大小 ．

4． 已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与

5log y x =的图象交点的个数是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5．若关于x 的方程22210x x a a +++=有实根，求实数a 的取值范围．

6．已知关于x 的方程21

13(1)(31)(3)30x x x m m +++----?=有两个不同的实根，求m 的取值范围.

练习：

第1题. 函数2

()(2)2(2)4f x a x a x =-+--，当x ∈R 时，函数恒小于零，则a 的范围为（ ）Ａ．(]2-，∞

Ｂ．(]22-，

Ｃ．(22)-， Ｄ．(2)--，∞

第2题. 函数3

2

()326f x x x x =+--的零点为：_______________

第3题. 二次函数2

2

21()y x mx m m =-+++∈R 为偶函数，则此函数的零点为：___________． 第4题. 已知函数2()f x x bx c =++满足(1)(1)f x f x -+=--，且(0)3f =-，

则函数y =的定义域为：___________．

第5题. 两个二次函数2

()f x ax bx c =++与2

()g x bx ax c =++的图象只可能是下图中的( )

第6题. 已知()()()2()f x x a x b a b =---<，并且α，β是方程()0f x =的两根()αβ<，则实数

a b αβ，，，的大小关系可能是（ ）

Ａ．a b αβ<<< Ｂ．a b αβ<<< Ｃ．a b αβ<<<

Ｄ．a b αβ<<<

第7题. 设x ，y 是关于m 的方程2

260m am a -++=的两个实根，则22

(1)(1)x y -+-的最小值是

（ ）Ａ．112

4

- Ｂ．18 Ｃ．8 Ｄ．

34

第8题. 函数2

45y x x =-++，(14)x ∈，的值域是（ ） Ａ．[]58，

Ｂ．[]59，

Ｃ．(]59，

Ｄ．[]89，

第9题. 如果函数2

()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（ ） Ａ．(2)(1)(4)f f f << Ｂ．(1)(2)(4)f f f << Ｃ．(2)(4)(1)f f f <<

Ｄ．(4)(2)(1)f f f <<

第10题. 已知函数2

()f x ax bx c =++的图象如图所示， 则b 的取值范围是（ ）Ａ．0b > Ｂ．0b <

Ｃ．

b <

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

第11题. 如果偶函数()f x 在[]04，上是增函数，那么()f π与(4)f -的关系是（ ） Ａ．()(4)f f π<- Ｂ．()(4)f f π>- Ｃ．()(4)f f π=-- Ｄ．不能确定 第12题. 若函数2

()2f x ax bx =++的两个零点是12-，1

3，则a b +的值为（ ） Ａ．14

Ｂ．14-

Ｃ．10

Ｄ．10-

第13题. 设函数268y kx x k =-++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ） Ａ．9k -≤或1k ≥

Ｂ．1k ≥

Ｃ．91k -≤≤

Ｄ．01k <≤

第14题. 已知1x ，2x 是函数22

(2)(35)y x k x k k =--+++（k 为实数）的两个零点，则2212x x +的最大

值为（ ）Ａ．18

Ｂ．19 Ｃ．55

9

Ｄ．不存在

第15题. 若函数2

()21f x mx mx =-+有一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数m 的范围是：___________．

第16题. 已知(11)x ∈-，时，2

()02

a

f x x ax =-+

>恒成立，则a 的取值范围是：___________． 第17题. 如果函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(10)-，上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则下列关系式中正确的是（ ）

Ａ．13

()(1)()32f f f <<

Ｂ．31

()(1)()23f f f <<

Ｃ．31

()()(1)23

f f f <<

Ｄ．13

()()(1)32

f f f <<

第18题. 在直角坐标系的第一象限内，AOB △是边长为2的等边三角形，

设直线l ：(02)x t t =≤≤截这个三角形所得位于此直线左侧的图形 （阴影部分）的面积为()f t ，则函数()S f t =的图象只可能是（ ）

第19题. 如果关于x 的方程2

350x x a -+=的一根大于2-但小于0，另一根大于1但小于3，那么实数a 的取值范围是：___________．

第20题. 已知一次函数()f x ax b =+与二次函数2

()g x ax bx c =++满足a b c >>， 且0()a b c a b c ++=∈R ，，．

S

t 0

2 3

Ａ

S

t

0 2 3

Ｂ

1 S

t

0 2 3

Ｃ

1 S

t

0 2 3

Ｄ

1

⑴求证：函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点A ，B ； ⑵设1A ，1B 是A ，B 两点在x 轴上的射影，求线段11A B 长的取值范围；

⑶求证：当x ≤时，()()f x g x <恒成立．

第21题. 对于任意定义在R 上的函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 是函数()f x 的一个不动点，若二次函数2

()1f x x ax =-+没有不动点，则实数a 的取值范围是：___________． 第22题. 已知函数5

4

3

2

()2288f x x x x x x =+----，求其零点，并求其非负值区间．

第23题. 方程2

0x bx c ++=有两个不相等正根，则 ；有一正根，一负根，则 ；至少有一根为零，则 （填等价条件）．

第24题. 设方程2

10x mx -+=的两个根为α，β，且01α<<，12β<<， 则实数m 的取值范围是：___________．

第25题. 关于x 的方程2

22320kx x k ---=的两实根，一个小于1，一个大于1， 则实数k 的取值范围是：___________．

第26题. 已知函数2()(1)f x x a x a =-++⑴若()0f x <，则不等式()0f x <的解集是___________； ⑵若()0f x =，则不等式()0f x <的解集是___________．

第27题. 实数m 为何值时，函数2

()(2)5f x mx m x m =+-+-的两个零点满足一个大于2，一个小于2？

第28题. 下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于零、小于零或等于零： ⑴2

210y x x =--； ⑵2

23y x x =--+．

第29题. 求下列函数的定义域：

（1）y =

（2）y =（3）y =

第30题. 求下列函数的图象与x 轴交点的坐标： （1）2

()31f x x x =--；（2）2

()382f x x x =-+-．