二项式定理(通项公式)
六、二项式定理
一、指数函数运算
知识点:1.整数指数幂的概念
*)(N n a a a a a a
n n ∈??=
个 )0(10≠=a a ,0(1
N n a a a n
n ∈≠=- 2.运算性质: ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ,),()(Z n m a a mn n m ∈=,)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3.注意 ① n
m
a a ÷可看作n
m
a
a -? ∴n m a a ÷=n
m a
a -?=m a
-② n b
a )(可看作n n
b a -? ∴n b a )(=n n b a -?=n n
b a
4、n m n
m
a a = (a >0,m ,n ∈N *,且n >1)
例题:
例1求值:43
32
13
2)81
16(,)41(,100,8---.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式:
1) a a a a a a ,,3232?? (式中a >0) 2)43a a ? 3)a a a
例3计算下列各式(式中字母都是正数));3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88
341n m 例4计算下列各式: );0()
1(32
2>a a a a 435)12525)(2(÷-
例5化简:)()(4
14
12
12
1y x y x -÷-
例6 已知x+x -1
=3,求下列各式的值:.)2(,)1(2
32
32
12
1-
-
++x x x
x
二、二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项,其中k
n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
(请同学完成下列二项展开式)
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-,1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
+++ ① 01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++
++
+ ②
① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 01
2n n n n n C C C ++
+=,即二项式系数和等于2n ;
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即02
13
12n n n n n C C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n m
n n C C -=.
(2)二项式系数k
n C 增减性与最大值: 当12n k +<
时,二项式系数是递增的;当1
2
n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时,中间一项2n
n
C 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n n
C
-和12n n
C
+相等,且同时取得最大值.
3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质:f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n
⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n
a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=
2
)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7 (2)
1()1(--f f
三、经典例题
1、“n b a )(+展开式
例1.求4)13(x
x +
的展开式;
解:原式=4
)1
3(x
x +=24)13(x x +=])3()3()3()3([1
4
4
3
4
22
4
31
4
404
2C C
C
C
C x x x x x ++++
=541
12848122++++x
x x x
【练习1】求4
)13(x
x -的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在33()2n x x
-
的展开式中,第6项为常数项.
(1) 求n ; (2)求含2
x 的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项. 解:(1)通项为23
33111()()22
n r r
n r r
r r r r n
n T C x
x C x ---+=-=- 因为第6项为常数项,所以r=5时,有
23
n r
-=0,即n=10. (2)令1023r -=2,得2r =所以所求的系数为2
210145()24
C -=.
(3)根据通项公式,由题意1023010,r
Z r r Z
-?∈?
??≤≤∈?
令
102()3
r
k k Z -=∈,则352k r =-,故k 可以取2,0,2-,即r 可以取2,5,8. 所以第3项,第6项,第9项为有理项,它们分别为222558
82101010111(),(),()222
C x C C x ----.
【练习2】
若n 展开式中前三项系数成等差数列.求:
(1)展开式中含x 的一次幂的项;(2)展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数
例3.
已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992,求21(2)n
x x
-的展开
式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项(先看例9). 解:由题意知,22
2992n
n -=,所以232n =,解得n=5.
(1) (1)由二项式系数性质,101
(2)x x
-的展开式中第6项的二项式系数最大.55
5
6101(2)()8064T C x x
=-=-. (2) 设第1r +项的系数的绝对值最大,
110r r T C +=10(2)r x -10102101()(1)2r r r r r
C x
x
---=- 1011110
10
101910
10
222
2
r r r r r r r r C C C C ----+-?≥∴?≥?得11010
1101022r r r r C C C C -+?≥∴?≥?,即1122(1)10r r r r
-≥??+≥-?,解得81133r ≤≤.
,3r Z r ∈∴=,故系数的绝对值最大的项是第4项,374
4410
215360T C x x =-=-. [练习3]
已知*22)()n
n N x
-
∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10:1. (1)求展开式中含3
2
x 的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4.
7
2)2)(1-+x x (的展开式中,3x 项的系数是 ; 解:在展开式中,3
x 的来源有:
① 第一个因式中取出2x ,则第二个因式必出x ,其系数为
6
6
7
)
2(-C ;
② 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出3
x ,其系数为
4
4
7
)2(-C
3x ∴的系数应为:∴=-+-,1008)2()2(44
766
7C C 填1008。
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5(04安徽改编)3)21
(-+
x
x 的展开式中,常数项是 ; 解:3
6323
)1(])1([)21(x x x x x x -=
-=-+,该式展开后常数项只有一项3
3336
)1(x x C
-,即20-
6、求中间项
例6求(103
)1
x
x -
的展开式的中间项;
解:,)1()
(3
1010
1r
r
r
r x
x T C -=-+ ∴展开式的中间项为
53
5510
)1()(x
x C
- 即:6
5252x
-。
当n 为奇数时,n
b a )(+的展开式的中间项是2
12
121-+-n n n n b
a C
和
2
12121+-+n n n n
b
a C
;
当n 为偶数时,n
b a )(+的展开式的中间项是
2
2
2n n n n
b a C
。
7、有理项
例7 103
)1
(x
x -的展开式中有理项共有 项;
解:3
41010
3
1010
1)1()1
()
(r r
r r
r
r r x
x
r T C
C
-
-+-=
-
=
∴当9,6,3,0=r 时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式;
② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。
8、求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题
例8(00上海)在二项式11
)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是 ; 解:r
r r
r x T C
)1(1111
1-=
-+ ∴要使项的系数最小,则r 必为奇数,且使C r
11为最大,由此得5=r ,从而可知最小项的系数
为
462)1(55
11
-=-C
(2) 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(x
x +
展开式中系数最大的项;
解:记第r 项系数为r T ,设第k 项系数最大,则有 ??
?≥≥+-1
1k k k k T T T T 又11
82.+--=r r r C T ,那么有 ??
???
≥≥-+--+--+--k
k k k k k k k C C
C C 2
.2.2
.2.8
1
1
8
22
8118 即????
???-≥
?--?--≥--)!8(!!82)!
9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k ?????≥--≥-∴K K K K 1922211 解得43≤≤k ,∴系数最大的项为第3项2
5
37x T =和第4项2
747x T =。
(3) 系数绝对值最大的项
例10在(7)y x -的展开式中,系数绝对值最大项是 ;
解:求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n
b a +型来处理,
故此答案为第4项4
347y x C ,和第5项5257
y x C -。
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和
例11.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+, 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ;
解: 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+
令1=x ,有432104)32(a a a a a ++++=+, 令1-=x ,有)()()32(314204a a a a a +-++=+-
故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4
=-
【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-, 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ;
解: 2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-,令1=x ,有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ,有1)
01(02004
==-a 故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+
【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-, 则=++++6210...a a a a ; 解:r r
r
r x T C )1()
2(66
1-=
-+ ∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++
=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =1
10利用二项式定理求近似值
例15.求6
998.0的近似值,使误差小于001.0;
分析:因为6998.0=6
)002.01(-,故可以用二项式定理展开计算。
解:6
998.0=6
)002.01(-=6
2
1
)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+
001.000006.0)002.0(15)002.0.(2
22
6
3<=-?=-=
C T , 且第3项以后的绝对值都小于001.0,
∴从第3项起,以后的项都可以忽略不计。
∴6998.0=6
)002.01(-)002.0(61-?+≈=988.0012.01=- 小结:由n
n
n
n n n
x x x x C C C ++++
=+...1)1(221,当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时,n x x x ,....,32等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式:
nx x n
+≈+1)1(,在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公式:2
2
)1(1)1(x n n nx x n
-++≈+。 四、课下训练
1、92
)21(x x -展开式中9x 的系数是 ; 答案 2
21-
二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点:1.整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2.运算性质: ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ,),()(Z n m a a mn n m ∈=,)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3.注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a >0,m ,n ∈N *,且n >1) 例题: 例1求值:43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式: 1) a a a a a a ,,32 32?? (式中a >0) 2)43a a ? 3)a a a 例3计算下列各式(式中字母都是正数));3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式: );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简:)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值:.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ,1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项式定理(通项公式).
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-,1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=, 即二项式系数和等于2n ; 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n m n n C C -=. (2)二项式系数k n C 增减性与最大值: 当12n k +< 时,二项式系数是递增的;当1 2 n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n n C -和12n n C +相等,且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质:f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f
排列数、组合数公式及二项式定理的应用
排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =!! )(m n n -.(n ,m ∈N*,且m n ≤). 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?+ +?=+-. 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -?(n ∈N*,m N ∈,且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?! . 6、二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈ 【注】: 1.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。
二项式定理
二项式定理 性质:说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节,分四个课时.这里讲的是第一课时,重点是公式的推导,其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用,至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式,这一小节与不少内容都有着密切联系,特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于: (1)由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系,本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. (2)由于二项式系数都是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数以及计数原理的认识. (3)基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. (4)二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下: 重点:二项定理的推导及运用 难点:二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理,培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现,探索新知的精神,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,并通过数学的对称美,培养学生的审美意识.
三、教法分析: 新的数学课程标准提出:掌握数学知识只是结果,而掌握知识的活动过程才是途径,通过这个途径,来挖掘人的发展潜能才是目的,结果应让位于过程.因此,在教学中,必须贯彻好过程性原则.也就是说,在教学过程中,充分揭示每一个阶段的思维活动过程,通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变,使教学活动成为思维活动的教学,由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”,变教师是传授者为组织者、合作者、指导者,在学习过程中,教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣,并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中,让学生在探究、发现中获取知识,发展能力.从而增强学生的主体意识,提高学生学习的效果. 四、教学过程: (一)创设情境,激发兴趣 提出问题:“今天是星期六,我能很快知道再过810天的那一天是星期几,你能想出来吗?” 设计意图:根据教学内容特点和学生的认识规律,给学生提出一些能引起思考和争论性的题目,即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境,利用问题设下认知障碍,激发学生的求知欲望. (二)问题初探 (1)、从具体问题入手,启发学生将这个问题转化成一个数学问题:“求810被7除的余数是多少?”因为8=7+1,82=(7+1)2=72+2﹡ 7+1,83=(7+1)3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=(7+1)10又如何展开呢?更一般的(a+b)10、(a+b)n 如何展开?从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出(a+b) 2、(a+b) 3、(a+b)4的展开式,然后提出用这种方法写出(a+b)10的展开式容易吗?(a+b)100、(a+b)n呢?对于这个问题,我们如何解决?
高考数学 《二项式定理》
二项式定理 主标题:二项式定理 副标题:为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词:二项式定理,二项式系数,项系数 难度:2 重要程度:4 考点剖析: 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向: 1.二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题. 2.高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度: (1)求二项展开式中的第n项; (2)求二项展开式中的特定项; (3)已知二项展开式的某项,求特定项的系数. 规律总结: 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题,在运用时,应明确以下几点: (1)C r n a n-r b r是第r+1项,而不是第r项; (2)通项公式中a,b的位置不能颠倒; (3)通项公式中含有a,b,n,r,T r+1五个元素,只要知道其中的四个,就可以求出第五个,即“知四求一”. 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”; (2)关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法; (3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数一般是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.
知 识 梳 理 1.二项式定理 二项式定理 (a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C r n a n -r b r +…+C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r +1=C r n a n -r b r ,它表示第r +1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ,C 1n ,…,C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时,C k n 与C n -k n 的关系是C k n =C n -k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时,第n 2 +1项的二项式系数最大,最大值为2n n C ;当n 为奇数时,第n +1 2项和n +3 2项的二项式系数最大,最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和:C 0 n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n , C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2 n -1.
二项式定理中的特殊项问题
《二项式定理中的特殊项问题》导学案 学习目标: 1. 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式; 2. 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。 学习重点:二项式系数性质的应用; 学习难点:二项式系数性质的应用。 学习过程: 学习提纲: n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+-- ,是二项式展开式定理, 主要研究了以下几个方面的问题: (1)展开式;(2)通项公式;(3)二项式系数及其有关性质。 1.求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。 变式1:9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-,求a 的值。 2. 求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3. 求11 的展开式中的有理项。 4. 已知2 2)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。 (1) 求展开式中各项系数的和; (2) 求展开式中含32 x 的项; (3) 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。
5. 若82 80128()x a a a x a x a x -=++++,且556a =,求0128a a a a ++++的值。 当堂检测: 1.(2011 陕西高考)6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是( ) .20A - .15B - .15C .20D 2.若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++,则024a a a ++的值为 。 3.若(0)x ∈+∞,,则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。 4.已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32,则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 。 5.若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024,试确定展开式中含x 的整数次幂的项。 作业:课本 40P A 组1~9题;B 组1~5题 附加题:若41()2n x x +展开式中前三项系数成等差数,求展开式中系数最大项. 补充作业: 1.若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(,求 (1)1237a a a a ++++ ; (2)7531a +a +a +a ; (3)01237||||||||||a a a a a ++++ + 2.在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为( ) A .160 B .240 C .360 D .800 3.已知2()n x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-,其中21i =-,则展开式 中系数为实数且最大的项为( )
二项式定理(通项公式)
二项式定理(通项公式)
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. (请同学完成下列二项展开式) 0111 ()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-, 1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ ++ + ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 012n n n n n C C C +++=,即二项式系数 和等于2n ; 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即 02 13 12n n n n n C C C C -++ =++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即 m n m n n C C -=. (2)二项式系数k n C 增减性与最大值:
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项. 分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公 式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为: 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为:)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n , 由已知:)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t , ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项,故r 316-是4的倍数, ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-. 说明:本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了r 的取值,得到了有理项.类 似地,100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通项中r 的取值,得到共有 系数和为n 3. 2.(1)求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数;(2)求6)21 (++ x x 展开式中的常数项. 分析:本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题,(1)可以视为两个二项展开式相乘;(2)可以经过代数式变形转化为二项式. 解:(1)10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项: 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项,可以得到5 510C x ;用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-;
例说二项式定理的常见题型及解法
例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立,题型繁多,解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1.“n b a )(+”型的展开式 例1.求4)13(x x + 的展开式; 解:原式=4 )1 3( x x +=2 4)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(1 2342++++x x x x x =541 12848122++++x x x x 小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2. “n b a )(-”型的展开式 例2.求4)13(x x - 的展开式; 分析:解决此题,只需要把4)13(x x - 改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展 开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3.二项式展开式的“逆用” 例3.计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-; 解:原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。