最新高等数学习题详解-第1章-函数

习题1-1

1. 求下列函数的定义域： (1) 2

1

x

y x =

- ;

(2) 211

2

++-=

x x

y ；

(3) y =

(4) lg(2)y x =-.

解：⑴ 要使式子有意义，x 必须满足2

10x -≠，由此解得1x ≠±，因此函数的定义域是

(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U 。

⑵ 要使式子有意义，x 必须满足210,20 ,

x x ?-≠?+≥? 即1,

2 ,x x ≠±??≥-? 因此函数的定义域是

[2,1)(1,1)(1,)---+∞U U 。

⑶ 要使式子有意义，x 必须满足2

sin 0,

160 ,

x x ≥??-≥?即2(21),

4 4 ,

k x k x ππ≤≤+??

-≤≤?因此函数的定义域

是[4,][0,]ππ--U 。

⑷ 要使式子有意义，x 必须满足2

20,

320 ,

x x x ->??

+-≥?即2,

1 3 ,

x x

-≤≤?因此函数的定义域是

[1,2)-

2. 判断下列各组函数是否相同?

(1) 214

2

x y x -=-，22y x =+；

(2) 2

1lg y x =，22lg y x =,

(3) ()sin 21y x =+，()sin 21u t =+； (4) ()1f x =, ()2

2

sec tan g x x x =-．

解：(1) 因为1y 的定义域是(,2)(2,)-∞+∞U ，但是2y 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

(2) 因为1y 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，但是2y 的定义域是(0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。

(4) 因为()f x 的定义域是R ，但是()g x 的定义域是,2x x k x R π

π??

≠+

∈???

?

，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。

3. 若()2

32f x x x =-+，求()1f ，()1f x -. 解：()10f =，()22

1(1)3(1)256f x x x x x -=---+=-+

4. 若()2

132f x x x +=-+，求()f x , ()1f x -.

解：令1x t +=.则1x t =-,从而()()()2

2131256f t t t t t =---+=-+，

所以()256f x x x =-+，

()21(1)5(1)6f x x x -=---+ 2712x x =-+。

5. 设1()1x

f x x

-=

+，求()0f ，()f x -，1f x ?? ?

??。

解：(0)1f =，1()1x f x x +-=-，1

111()11

1x x f x x x

-

-==++。 6. 设1,20,

()1,02

x x f x x x --≤

+≤≤?，求f （-1）, f （0）, f （1）, f （x -1）.

解： (1)112f -=--=-，(0)011f =+=，(1)112f =+=

(1)1,210(1)(1)1,012x x f x x x ---≤-

-+≤-≤?2,11

,13

x x x x --≤

≤≤? 7．作出下列函数的图形：

(1) 242x y x -=+； （2） 1y x =-； (3) ()1,02;0,0 2.x x f x x x ?-≤≤?

=?<>??

或

8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为

3

4

k 元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：由题意可得,0,3(),4ks s a m ka k s a s a <≤??=?+->??,0,31

,44

ks s a ks ka s a <≤??

=?+>?? 9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海

到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像. 解：由题意可得0.15,050,0.15,050,

0.15500.25(50),500.255,50x x x x y x x x x <≤<≤??==?

?

?+->->??

习题1-2

1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？

(1) ()3

cos f x x x =； (2) 2

x x

e e y -+=；

（3）sin cos y x x =+. (4) ()sin x x f x x e e -=+- 解：(1) ()3cos f x x x =的定义域是(,)-∞+∞，

()()33()cos()cos f x x x x x f x -=--=-=-Q ， ()f x ∴是奇函数。

(2) 2x x

e e y -+=的定义域是(,)-∞+∞，

()22

x x x x

e e e e ----++=Q ， y ∴是偶函数。

⑶ sin cos y x x =+的定义域是(,)-∞+∞，

()()y x y x -≠Q ，且()()y x y x -≠-，y ∴既不是奇函数也不是偶函数。

(4) ()sin x x f x x e e -=+-的定义域是(,)-∞+∞，

()()()sin()sin x x x x f x x e e x e e f x -----=-+-=-+-=-Q ，()f x ∴是奇函数。

2. 设下列函数的定义域均为,(,)a a -证明：

(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；

(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数； (3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 证明：(1)设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =+，

Q ()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，

()()()()[()][()()]()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=-+-=-+=-，因此两个奇函数的

和仍为奇函数。

设()f x 、()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+， Q ()f x 、()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=-=，

()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=-+-=+=，因此两个偶函数的和仍为偶函数。

(2) 设()f x 、()g x 是奇函数，令()()()F x f x g x =， Q ()f x 、()g x 是奇函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=-，

()()()[()][()]()()()F x f x g x f x g x f x g x F x ∴-=--=--==，因此两个奇函数的积为偶函

数。

设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，令()()()F x f x g x =+， Q ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，即()(),()()f x f x g x g x -=--=，

()()()()()()F x f x g x f x g x F x ∴-=--=-=-，因此一奇一偶的乘积为奇函数。

(3) 设()f x 是任一函数，令1()[()()]2g x f x f x =+-，1

()[()()]2h x f x f x =--，

11

(){()[()]}[()()]()22

g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=Q ，即()g x 是偶函数

111

(){()[()]}[()()][()()]()222

h x f x f x f x f x f x f x h x -=----=--=---=-，即()h x 是奇

函数，

又Q ()()()f x g x h x =+，

∴任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

3. 证明函数1x

y x

=

-在(1,)+∞内是单调增加的函数.. 证明：在(1,)+∞内任取两点任取两点,,21x x 且,21x x <则

)

1)(1(11)()(212

1221121x x x x x x x x x f x f ---=---=

- 因为21,x x 是),1(∞+内任意两点,

所以,01,0121<-<-x x

又因为,021<-x x 故0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f < 所以x

x

x f -=

1)(在),1(+∞-内是单调增加的. 4. 设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数(23)f x +的周期. 解：因为)(x f 是周期T 的周期函数，所以(23)(23)f x T f x ++=+，

即(2()3)(23)2T f x f x +

+=+，因此(23)f x +的周期2

T 。 5．已知函数)(x f 的周期为2，并且

()0,10;

,0 1.x f x x x -<

试在),(+∞-∞上作出函数()y f x =的图形.

6．验证函数x

x f 1

)(=在开区间(0,1) 内无界，在开区间(1,2) 内有界.

解：因为对任意0M >，存在01

(0,1)1

x M =∈+，使得0()1f x M M =+>，所以x x f 1

)(=在开区间(0,1) 内无界。

因为12x <<，所以

1112x <<，即1

()12

f x <<，因此()f x 在开区间(1,2) 内有界。

习题1-3

1. 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11x y x

-=

+； (2) 31

2x y +=； （3）221x x y =+； (4) 101011010x x

x x

y --+=+-．

解：(1) 由11x y x -=

+解得11y x y -=+，故所求反函数为11x

y x

-=+，

反函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U 。 (2) 由31

2

x y +=解得31(log 1)3x y =

-，故所求反函数为31

(log 1)3

y x =-， 反函数的定义域为(0,)+∞。

（3）由221x x y =+解得21x

y y =-，可得2log 1y x y =-，故所求反函数为2log 1

x y x =-，

反函数的定义域为(0,1)。

(4) 由10101

1010x x

x x y --+=+-解得222102*********

x x

x x x y -??==--，可得1lg 22y x y =-， 故所求反函数为1lg

22

x

y x =

-，反函数的定义域为(,0)(2,)-∞+∞U 。 2. 证明：()3

21f x x =-和(

)g x =互为反函数.

证明：设3

21y x =-

，由此式可得x =3

21y x =-

的反函数是y = 因此()3

21f x x =-和(

)g x =

互为反函数。 3. 已知符号函数

1,0sgn 0,0,1,0x x x x >??==??-

求x x y sgn )1(2

+=的反函数.

解：由题意可得x x y sgn )1(2

+=221,00,0,(1),0x x x x x ?+>?==?

?-+

由此式可解得10,1,1

y x y y ?>?

==??

+=

的反函数为10,11

x y x x ?>?==??

x

y =； (2) ()2lg 1y x =+；(3)

y =

解：(1) sin 2

x

y =由2u

y =，sin u x =复合而成。

(2) ()

2lg 1y x =+ 由 2

lg ,1y u u x ==+复合而成。 (3)

y =

2cos ,1y u v v x ===-复合而成。

5.设()1

x

f x x =-()1x ≠,求()()f f x 。 解：()()f f x ()

1()111

x

f x x x x f x x -===---()1x ≠。

6.设函数

2,1(),1,2,1x x f x x x x x +<-??=-≤??->?

求()21f x +的表达式.

解：()21f x +=(21)2,211(21),

211(21)2,211x x x x x x +++<-??=-++≤??+-+>?23,

121,1021,0x x x x x x +<-??

=---≤≤??->?

。 7.设1,1

()0,

1,1,1

x f x x x ?

==??->?

()2x g x = ，求(())(()).f g x g f x ，

解：(())f g x 1,()11,211,0

0,

()10,21()0,01,()11,211,0x x x g x x g x f x x g x x ??<<

?

=======??????->->->??

?

，

()

2,1(())21,11,1

2

f x x

g f x x x ?

?? 。 习题1-4

1. 求下列函数的定义域：

(1) ()arccos 32y x =-； （2） ()3arccos 1y x =-; （3）21

()ln(1)arcsin

3

x f x x -=++； （4）2

()ln(1)tan 2f x x x =-+

解：(1) 要使表达式有意义，只须1321x -≤-≤，解得113

x ≤≤，故()arccos 32y x =-的定义域是1]1[,3

。

(2) 要使表达式有意义，只须111x -≤-≤，解得02x ≤≤，故()3arccos 1y x =-的定义域是[0,2]。

(3) 要使表达式有意义，只须1021113x x +>???--≤≤??，解得12x -<≤，故()f x 的定义域是(1,2]-。

(4) 要使表达式有意义，只须21022x x k ππ?->?

?≠+??

，解得11x -<<且4x π≠±，故()f x 的定义

域是(1,)(,)(,1)4

44

4

ππππ--

-U U 。

2. 将下列函数分解成简单函数的复合. (1) ln ln ln y x = (2);sin ln 2x y =

(3) ;2

arctan x e y =

(4) ).12ln(cos 22x y ++=

解：(1) ln ln ln y x =由ln y u =，ln u v =，ln v x =复合而成。

(2) x y 2sin ln =由2ln ,,sin y u v v w w x ===复合而成。

(3) 2

arctan x e y =由2,arctan ,u y e u v v x ===复合而成。 (4) )12ln(cos 22x y ++=由

2,cos ,ln ,2,y u u v v w w t ====+21t h x =+复合而成。

习题1-5

1. 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?

(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍? 解：(1) 按单利计算, 3年末的本利加为100(137%)121+?=元。 (2) 按复利计算, 3年末的本利和为3

100(17%)122.5043+=元。

(3) 设需n 年能使本利和超过初始本金的一倍，则100(17%)2100n

+>?， 解得ln 2

10.24ln1.07

n >

≈，因此需11年才能使本利和超过初始本金的一倍。

2. 某种商品的供给函数和需求函数分别为

P Q P Q s d 5200,1025-=-=

求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.

解：令s d Q Q =，即25102005P P -=-，解得07P =，因此该商品的市场均衡价格为7，

072510165Q =?-=，因此该商品的市场均衡数量为165.

3. 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格. 解：设批发量为x ，电扇批发价格为P ，

由题意可知500160217010050

x x

P -=-?

=-（5001000x ≤≤）， 当800x =时，154P =。

4. 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.