高中物理总复习--万有引力与航天及解析

高中物理总复习--万有引力与航天及解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天

1．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m ＝2.0 kg 的小物块从斜面底端以速度9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s 时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R ＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

(1)该星球表面上的重力加速度g 的大小. (2)该星球的第一宇宙速度.

【答案】（1）g=7.5m/s 2 （2）3×103m/s 【解析】 【分析】 【详解】

（1）小物块沿斜面向上运动过程00v at =- 解得：26m/s a =

又有：sin cos mg mg ma θμθ+= 解得：2

7.5m/s g =

（2）设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：

2

mv mg R

= 3310m/s v gR ==?

2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g 月； (2)月球的质量M ；

(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T .

【答案】(1)02v t ；(2)20

2R v Gt ；(3)0

22Rt v 【解析】 【详解】

(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有0

2v t g =

月

月球表面的重力加速度大小0

2v g t

=

月 (2)假设月球表面一物体质量为m ，有

2=Mm

G

mg R

月 月球的质量20

2R v M Gt

=

(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有

2

22Mm G m R R T π??= ???

飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期

22Rt

T v π=

3．“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n 圈所用时间为t ，到达A 点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B 点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n 圈所用时间为．不考虑其它星体对飞船的影响，求：

（1）月球的平均密度是多少？

（2）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？

【答案】（1）2

2

192n Gt π；（2）1237mt t m n （，，）==? 【解析】

试题分析：（1）在圆轨道Ⅲ上的周期：38t

T n

=

，由万有引力提供向心力有：2

22Mm G m R R T π??= ???

又：3

43

M R ρπ=

，联立得：22

233192n GT Gt ππρ==． （2）设飞船在轨道I 上的角速度为1ω、在轨道III 上的角速度为3ω，有：11

2T π

ω= 所以33

2T π

ω=

设飞飞船再经过t 时间相距最近，有：312t t m ωωπ''=﹣

所以有：1237mt

t m n

（，，）=

=?． 考点：人造卫星的加速度、周期和轨道的关系

【名师点睛】本题主要考查万有引力定律的应用，开普勒定律的应用．同时根据万有引力提供向心力列式计算．

4．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：

（1）若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运动的轨道半径． （2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h 高处以速度v 0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为s ．已知月球半径为R 月，万有引力常量为G ．试求出月球的质量M 月． 【答案】(1)223

2

4gR T r π

= (2)

22022=R h M Gs 月月 【解析】

本题考查天体运动，万有引力公式的应用，根据自由落体求出月球表面重力加速度再由黄金代换式求解

5．在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题．如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G 的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图．卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G 的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人．

（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m 1、m 2相距为r 的两个小球之间引力的大小为F ，求万有引力常量G ；

（2）若已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．

【答案】（1）万有引力常量为2

12

Fr G m m =．

（2）地球质量为2R g

G

，地球平均密度的表达式为34g RG ρπ=

【解析】 【分析】

根据万有引力定律12

2

m m F G

r =，化简可得万有引力常量G ； 在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力2

Mm

G mg R =，可以解得地球的质量M ，地球的体积为343V R π=，根据密度的定义M V

ρ=，代入数据可以计算出地球平均密度． 【详解】

（1）根据万有引力定律有：

12

2m m F G

r

= 解得：

2

12

Fr G m m =

（2）设地球质量为M ，在地球表面任一物体质量为m ，在地球表面附近满足：

2

Mm

G

mg R = 得地球的质量为： 2R g

M G

=

地球的体积为：34

3

V R π=

解得地球的密度为：

34g

RG

ρπ=

答：（1）万有引力常量为2

12

Fr G m m =．

（2）地球质量2R g

M G

=

，地球平均密度的表达式为34g

RG

ρπ=

．

6．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一

点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

【答案】

【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

对同步卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

同步卫星与P点有相同的角速度，则有：

解得：

则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为

【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

7．我国在2008年10月24日发射了“嫦娥一号”探月卫星．同学们也对月球有了更多的关注．

(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕

地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径．

(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度0v 竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点．已知月球半径为r ，万有引力常量为G ，试求出月球的质量

M 月

【答案】(1)22

32

4gR T π

；(2)20

2v r Gt ． 【解析】 【详解】

(1)设地球的质量为M ，月球的质量为M 月，地球表面的物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径R '，根据万有引力定律提供向心力可得：

2

2

2()MM G

M R R T

π=''月月 2

Mm

mg G

R = 解得：

22

3

2

4gR T R π

'= (2)设月球表面处的重力加速度为g '，根据题意得：

02

g t v '=

02

GM m g r m '=

月 解得：

2

02v r M Gt

=月

8．宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以v 0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为h （h 远小于星球半径），该星球为密度均匀的球体，引力常量为G ，求：

（1）求该星球表面的重力加速度；

（2）若该星球的半径R ，忽略星球的自转，求该星球的密度． 【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据速度-位移公式得：

，

得

（2）在星球表面附近的重力等于万有引力，有

及

联立解得星球密度

9．宇航员乘坐宇宙飞船靠近某星球，首先在距离该星球球心r的圆轨道上观察星球表面，他发现宇宙飞船无动力绕星球的周期为T；安全降落到星球表面后，他做了一个实验：如图所示，在倾角θ＝30o的斜面上，以一定的初速度v0沿水平方向抛出一个小物体，测得落点与抛出点间的距离为L，已知引力常量为G。求：

（1）该星球的质量M；

（2）该星球的半径R。

【答案】

【解析】（1）在半径为r的圆轨道运动时，对宇宙飞船，根据向心力公式有

解得：

（2）设星球表面的加速度为g，平抛时间为t，有：

解得：

对星球表面物体有：

解得：。

点睛：此题是万有引力定律和平抛运动的结合题目，解题的关键是通过平抛运动问题求解星球表面的重力加速度，然后结合万有引力求解.

10．假设在宇航员登月前用弹簧秤称量一只砝码，成功登陆月球表面后，还用这一弹簧秤称量同一砝码，发现弹簧秤在月球上的示数是在地球上示数的k(k<1)倍，已知月球半径为R ，引力常量为G ，地球表面的重力加速度大小为g ，求： （1）月球的密度；

（2）月球的第一宇宙速度和月球卫星的最小周期。 【答案】（1）34gk GR π；（2

2 【解析】 【详解】

（1）在地面上1F mg = 在月球表面上22

GMm

F R = 月球的质量3

43

M R πρ= 由于

2

1

F k F = 解得月球密度34gk

GR

ρπ=

（2）当卫星环绕月球表面飞行时的速度为第一宇宙速度，周期最小，设月球的第一宇宙速度为v ，近月卫星的周期为T ，则

2

2mv F R = 1F mg =

2R

T v

π=

解得v

22R T v π=

=