2013年全国初中数学联合竞赛试题及解析

2013年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1?计算 4,3 2,2

.41 24.2

（） （A ） .2 1 （ B ）1 （ C ）、.2

（ D ）2

m 2 m 2

2?满足等式2 m 1的所有实数m 的和为（

）

（A ）3

（ B ）4 （ C ）5 （ D ）6

D ，若 CD 3， 则 AB=（ ）

(A )2 (B ) J6

( C )2.2

(D )3

2

4?不定方程3x 7xy 2x 5y 17 0的全部正整数角

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 ）

（C ） 2013 （ D ） 2014

二、填空题（本题满分 28分，每小题7分）

1?已知实数 x, y,z 满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z __________________

3

2?将一个正方体的表面都染成红色，再切割成

n （n 2）个相同的小正方体，若只有一面是

红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则

n= ________

3?在 VABC 中，A 60°, C 75°, AB 10 ,D, E, F 分别在 AB , BC , CA 上，则 VDEF 的周长最小值为 ______

3?已知AB 是圆O 的直径,

C 为圆O 上一点,

CAB 15°, ABC 的平分线交圆 O 于点

x,y ）的组数为（

5矩形ABCD 的边长 AD=3，AB=2， E 为AB 的中点,

F 在线段 BC 上，且 BF : FC=1 : 2，

AF 分别与DE ，DB 交于点 M ，N ，贝U MN=（ (A )出(B )出

7

14

(C )出

28

(D)

1K5 28

6?设n 为正整数，若不超过 所有“好数”之和为（ （A ） 33

（ B ） 34

n 为“好数”，那么,

2 2 2

4?如果实数x, y, z 满足x

y z xy yz zx 8，用A 表示|x y ，y z ，z x 的

最大值，则A 的最大值为 __________

第二试（A ）

一、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 ad be 2 6,求 a 2 b 2 c 2 d 2 的值。

9 PR

于点P ，连AC ，若0P 2AC ，求 -的值。

、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程x 2 x 1 等式at m bt m 31m 成立，求ab 的值。

、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆 O 上，过点B 、C 作圆0的切线，交

0的一个根，若正整数a,b,m 使得

(1) 0I // BC;

(2) S

AOC

S AOB 2S AOI 。

三、（本题满分25分）若正数a, b, c满足

b2 c2 a2 2bc c2 a2 b2

2ca

a2 b2

2ab

c2

b2

求代数式—

c2a2c2 a2b2a2 b2 c2

2bc 2ca 2ab 的值。

第二试（B）

（本题满分20分）已知t 2 1，若正整数a,b,m使得等式at m bt m 17m 成立，求ab的值。

ABC中，AB>AC，0、I分别是ABC的外心和内心，且满足AB-AC=20l。求证:

、（本题满分25分）在

A

3,

2013年全国初中数学联合竞赛试题解析

说明：评阅试卷时，诸依据本评分标准?第一试，选择题和填峭题只设7分利。分两档；鄭二试备题，请按照本评分标准规定的评分档次给分如果苦生的解答方法和本解答不同.只耍恩路合理,步骤正确，在评卷时诘参照本评分标准划分的梢挟.给予相应的分数.

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1?计算4,3 2.2 .41 24 2 （B）

（A）.2 1 （B）1 （C）、、2 （D）2

4 正?J41 + 24运二4（运+1）一（3 + 4近）* 1.

m2m 2

2?满足等式2 m 1的所有实数m的和为（A）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

肖2-加二1即用=1时，满足所给等式；

肖2—也=-1即m-3时.（2-^^2=（-1）4= 1,满足所给第式;

当2-m^±1即粧工1且册韭3时，宙已蚓等式可得：m2-m-2 = O且2-朋北0,解得m = -l.

闵此滿足等式（2-rn）ml~m2 =1的所有实数册的和为1 + 3 + （-1） = 3?

3?已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CAB 15°, ABC的平分线交圆O于点

D，若CD '、3，则AB= （A）

（A）2 （B）、、6 （C）2.2（D）3

连接OC,竹：OM 丄CD 丁点则可^ZOCAf = 45O-15°= 30% 所以

CM-—OC,所^AB = 2OC = ~CM = 4=CD = 2.

2V3 ^/3

A

D

2

4?不定方程3x 7xy 2x 5y 17 0的全部正整数角(x,y )的组数为(B )

(A ) 1

(B ) 2

(C ) 3

(D ) 4

* 又兀为正鞍数，所以体三 1.

从而

7托—5

町即亠疔+益+ 17巨7耳-5+所l^3x J +5x<22t 所以只可能"1或"2.

^x = l 时，可得尸議8：当时*可14y = L

因此，不定方3x 2 + 7xy-2x-5y-17^ 0的全部正鳞数解任丿)有两组S 8)和(2,"-

5矩形ABCD 的边长 AD=3 , AB=2 , E 为AB 的中点，F 在线段 BC 上，且BF : FC=1 : 2, AF 分别与DE ，DB 交于点 M , N ，贝U MN= (C )

/八3亦 5丘

9.5 11^5 (A)

(B )

(C ) —

(D )-

7 14

28

28

B

F

C

【答】(C) +

易知也BNF s HDNA 、所以空=竽所以=

= M 川F . AN ND AD 3

3 厚

延氏DEH 点G 则心他S AFMG,所以豐^ 卷=￥，=^-FM = -AF .

rM FG 4

4 f

6?设n 为正整数，若不超过 n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称 n 为“好数”，那么, 所有“好数”之和为(B ) (A ) 33

( B ) 34

(C ) 2013

( D ) 2014

冈为1既不是质数也不是合所订“好数"一宦是奇数?

设不超过丹的正楼蠱中硕数的牛数为碍?律数的『数为鳥，当丹￡】5时?列表如卜「只考虑丹为奇

数的情况”

________________ _ ____________________ __ ____ 一一一

n 1 3 5 7 9

11 13

15 %

0 2

3 4 4 5

6 6

1

2

4

5

&

B

国此 MN = AF-AM - FN =

AF

A AF A AF =±AF ^A

B ^B ^

9>/5

~

W

A D

显無.I* 9- lb U是好数.

闵为站-如=2’ ^n>16时.在"I,的基础上*毎瞎加两个数，其中必有-■个为隅蠶，艸悠是合甦?也離是说，增加的合数的个数平会少于増力口的质数荊亍数「所以-淀冇戈-% 22,故当”狂】6时，丹不可能是“好数” ?

因此，所有“盯数"Z利为1+9+11 + 13=34.

二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

1?已知实数x, y, z满足x y 4, z 1 xy 2y 9,则x 2y 3z 4

由x + y = 4^ x - 4 —y ,代入 | z + 11= xy + 2y-9得 | z卡I j= 6j^ - y2- 9 - -(^-3)2，所以芯=T , y-3 ,x= 1 > AKffU x + 2j + 3z = 4 .

2?将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3( n 2)个相同的小正方体，若只有一面是

红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8

只有一亍面染红色的小正方体的总數为6(n-2)3个，任何面均平是红色的小正力体的总数対(冲-2尸个,由题意^\6(n^2)2 =(?^2)\ ^^rt = S.

3?在VABC 中，A 60°, C 75o, AB 10 ,D, E, F 分别在AB , BC , CA 上，则VDEF

的周长最小值为_ 5、、6_

作巨E关于AB*的对称点户"Q .连接AE, AP. AQ、DP , FQ, PQ,咖三力0 =【2俨』

且AP^AQ=AE t柞AHJ.BC?点H一

那么，^DEF的周氏

1=DE+DF+EF=FD+DF+FQ^FQ=H P =^AE3?H,

而= WcosZa = 10cos45°-572?所IU/>73 -5^2 = 5^6?肖且仅当点E与点用巫令?R

F、D*F、Q四点JE线时取得需号.

4?如果实数x, y, z满足x2y z xy yz zx 8，用 A 表示|x y , y z , z x 的

4 6

最大值，则A的最大值为_

—3 —

由已知轴式得（工一刃：+（7-2）2十（—耳『=16.

不妨设A=\x-y\.则

才=[(y-z) + (^-x)]: <2[(j-z)3 +(z-x)2J = 2[16-(jr-^)2] = 2(16-/i")(

4 衙4^6

所以* 的垠大值—-当| x-y|=——, |>-zH^-^1=

■sJ1J

第二试（A）

2 2 2 2 2

一、(本题满分20分)已知实数a,b,c,d满足2a 3c 2b 3d ad be 6,求

a2b2c2d2的值。

解：设m a2 b2, n c2 d2，则2m 3n 2a2 2b2 3c2 3d2 12.

「，22 2

因为2m 3n 2m 3n 24mn 24mn,即122 24mn，所以

又因为m n 2 . 2 2

d a c b2d2a2d2b2c2

a b c.2 2 2

222

ac bd ad bc ad bc 6 ........................

由①,②可得mn 6.即a2b2c2d2

注：符合条件的实数a, b,c,d 存在且不唯

3

，

5

把m 6代入可得ab 31m m 2

150.

二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆0上，过点B 、C 作圆0的切线，交

9

PR

于点P ,连AC ,若OP AC ，求 的值。

2

AC

解：连0C ,因为PC , PB 为圆0的切线，所以/ POC= / POB 又因为 OA=OC 所以/ OCA=/ OAC

又因为/ COB M OCA 丄 OAC 所以 2 / POB=2/ OAC 所以/ POB=Z OAC 所以 OP// AG 9

又OP —AC , AB=2r , OB=r （r 为圆O 的半径），代入可求得

2 2

OP=3r,AC= r.

3

在RtVPOB 中，由勾股定理可求得 PB ■■一OP 2 OB 2

2、、2r 。

所以空g 3 &。

AC

2r

3

、（本题满分25分）已知t 是一兀二次方程x 2 X 1 等式at m bt m 31m 成立，求ab 的值。

.2, b 1,c

2、、3

就是 组。

又/ POB=/ OAC 所以 VBAC : VPOB ，所以

AC OB AB OP

0的一个根，若正整数a,b,m 使得

3

，

5

把m 6代入可得ab 31m m 2

150.

又因为判别式 是一个完全平方数，验证可知，只有

m 6符合要求。

解：因为t 是一元二次方程x 2 x 1 0的一个根，显然t 是无理数，且t 2

1 t 。

等式 at m bt m

31m 即 abt 2

即 ab 1 t m a b t m 31m ，即

因为a,b,m 是正整数，t 是无理数，所以

2

m a b t m 31m ,

m a b

ab t ab m 2

31m 0.

m a b ab 0,

a b 31 m

,

于是可得

ab 2 m 31m 0,

ab 31m 2 m

因此，a,b 是关于x 的一元二次方程 x 2

m 31 x 31m m 的判别式

2 2

m 31 4 31m m

31 m 31 5m 0. 又因为a,b 是正整数，所以a b 31 m

0,从而可得0

31

m .

2

0的两个整数根，该方程

1

第二试（B ） （本题满分20分）已知t 2 1，若正整数a,b,m 使得等式 at m bt m 17m 成立，求 ab 的值。

解：因为 t .2 1，所以 t 2 3 2.2.

等式at m bt m 17m 即 abt 2 m a b t 即ab 3 2 ma b 2 1 m 2 17m , 整理得 m a b 2ab 2 3ab m a b 2 m 于是可得 a b 2

m 17m,

17m 0 2 17 ab 17m m

2(m 17)x 17m m 2 0……CD 的两个整数根,

方程①

的判别式 2

4 m 17

4 17m 2 m 又因为a,b,m 是正整数，所以a b 2 17 m 又因为判别式 是- 「个完全平方数, 验证可知， 只有 把m 8代入得ab 17m m 2 72 °

二、（本题满分 分别是 ABC 的外心和内心，且满足 求证： （1） 2 x 因此，a,b 是关于x 的一元二次方程 17 m 17 2m m 8符合要求,

01 // BC;

(2) 0. 17

2

25 分)在 ABC 中，AB>AC ，0、 AB-AC=20I S AOC S AOB 2S AOI ° 证明 设 BC=a , AC=b , AB=c o

1 1

易求得CM = - a , CN = a b c ，所以

(1)作 OM 丄 BC 于 M , IN 丄 BC 于 No

MN=CM-CN=

J.

c b =OI ,

2 2 2

又MN 恰好是两条平行线 OM , IN 之间的垂线段， 所以OI 也是两条平行线 OM , IN 之间的

0 1,

垂线段，所以 01 // MN 所以01 // BC

（2）由（1 ）知OMNI 是矩形，连接 BI , CI ，设OM=IN= r （即为 则

解：由于a,b,c 具有轮换对称性，不妨设 0 a b c.

(1 )若 c a b ，则 c a b 0,c b a

2 2 2

b c a

2bc 2 2 . 2

cab, 1 2ca c b a 2

bc " c a $ b 2

ca 仁 a b $ c 2

2ab

b 2

2 c 2 a 1 -

c b 2

2

a

1,

2bc

2bc

2 c 2 a b 2

1 - c

2

a b 2 1, 2ca

2ca

2 a b 2 2

a a

b 2 2

c 1 1,

2ab

2ab

所以

b 2

2

c 2 a

2

c 2

2

a b 2 2

2bc

2ca

a 2 (2)若 c a

b ，则 0

c a b,0

b 2

c 2

2ab

3，与已知条件矛

盾。

c b a ，从而可得:

ABC 的内切圆半径）

S V

2

S V AOI

S VBOI S VCOI S VAIC

^/AIB 2S VAOI

2 S VA OI r OI

-b

1 c

2 S VAOI .

2 2

1

1 1 1 OI r

OI r AC r AB r

2

2

2

2

若 正 数 a,b,c 满 足

b 2

a 2

b 2

b 2 2bc

2ca

2ab

,2 2 2

b c a

2bc 2 2 , 2

cab

2ca

2 , 2 2

a b c 2ab

的值。

2ab

AOC

S VAOB S VAOI S VCOI S VAIC S VAIB （本题满分 25 分 ）

S VAOI S VBOI

2.2 2 aba ""2ab

2 2

a b c 1 2ab 1, ,2 2 2 2 2 2 ,2 2

b c a cab 所以 一 2bc 2ca a 2 b 2 c 2

2ab

3，与已知条件矛

盾。

综合(1) (2)可知：一定有cab. .2 2 2 2 2.2 b c a c a b 于是可得 1,- 2ca 2bc 所以 b 2

2 2 c a 2bc a 2 b 2 c 2

1，

2ab

2 2 , 2 2 , 2 2 cab a b c 2ca 2ab

1.