相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)教学内容

相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块 考试要求 A 级要求

B 级要求

C 级要求

相似三角形 了解相似三角形

掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型

会运用相似三角形相关的知识解决有关问题

一、相似的有关概念

1．相似形

具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性

两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比

两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

二、相似三角形的概念

1．相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．

如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．

A '

B '

C '

C

B A

2．相似比

相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．

三、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等

知识点睛

中考要求

相似三角形的性质及判定

如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．

A '

B '

C '

C

B A

2．相似三角形的对应边成比例

ABC △与A B C '''△相似，则有

AB BC AC

k A B B C A C ===''''''

（k 为相似比）．

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有

AB BC AC AM

k A B B C A C A M ====

''''''''

（k 为相似比）． M '

M

A '

B '

C 'C B

A

图1

如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有

AB BC AC AH

k A B B C A C A H ====

''''''''

（k 为相似比）．

H 'H A

B C C 'B 'A '

图2

如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有

AB BC AC AD

k A B B C A C A D ====

''''''''

（k 为相似比）．

D '

D A '

B '

C B A

图3

4．相似三角形周长的比等于相似比．

如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有

AB BC AC

k A B B C A C ===''''''

（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC

k A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''

++．

A '

B '

C '

C

B A

图4

5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．

如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有

AB BC AC AH

k A B B C A C A H ====

''''''''

（k 为相似比）．进而可得21

212

ABC A B C BC AH

S BC AH k S B C A H B C A H '''

??==?=''''''''??△△．

H 'H A

B C C 'B 'A '

图5

四、相似三角形的判定

1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．

3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．

5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．

五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证

AB BC

BE BF

=

，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因

此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法

欲证

AB DE

BC EF

=

，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需

证ABC DEF △∽△． 3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．

复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．

六、相似证明中常见辅助线的作法

在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等． 如图：AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：

BD AB

DC AC

=

．

证法一：过C 作CE AD ∥，交BA 的延长线于E ． ∴1E ∠=∠，23∠=∠．

∵12∠=∠，∴3E ∠=∠．∴AC AE =． ∵AD CE ∥，∴

BD BA BA

DC BE AC

==

． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．

证法二；过B 作AC 的平行线，交AD 的延长线于E ． ∴12E ∠=∠=∠，∴AB BE =． ∵BE AC ∥，∴

BD BE AB

DC AC AC

==

． 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．

七、相似证明中的面积法

面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决

问题．

321E

D

A B

B

A C

D

E

12

A

常用的面积法基本模型如下：

如图：

1

212

ABC ACD

BC AH

S BC S CD CD AH ??==

??△△．

如图：

1

21

2

ABC BCD

BC AH

S AH AO S DG OD BC DG ??===

??△△． 如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB AD

S S S AE AC AE AC

?=?=?=?△△△△△△．

八、相似证明中的基本模型

I H G F

E

D C

B A

G

F E

D

B

A

E

D

C

B A E

D C B

A

E

F

D

C B

A F E

D C B

A

O

D C B

A

O

D

C B

A

H

E D

C

B A

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

O

D

C

B

A

D C B

D B

C

A

E

D

C

A

D C A

图2：“田字”型

G H

O

D

C

B

A

图3：“燕尾”型

C

D

E

B

A

G F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C B

A G F

E

D

C

B A

D

E

F

C

B

A

H P

M

N

F E

D

C

B

A G

H

G F

E

D

C B

A

E F

D

C

B

A

F

E D

C

B

A

一、与三角形有关的相似问题

【例1】 如图，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 边上，若在增加一个条件就能使

ABC ACB △∽△，则这个条件可以是 ．

C

D

B

A

【巩固】如图，D 、E 是ABC ?的边AC 、AB 上的点，且AD AC ?=AE AB ?，求证：ADE B ∠=∠.

E

D

C

B

A

【巩固】如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ?的面积是BDE ?面积的4倍，

6AC =，求DE 的长.

E

D C

B A

例题精讲

【例2】 如图，ABC △中，60ABC ∠=?，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，

86PA PC ==，，则PB = ．

P

C

B

A

【巩固】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．

H

G

F

E

D C

B A

【例3】 如图，已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则

AF EF

FC FD

+的值为（ ）

A.52

B.1

C.3

2

D.2

【巩固】在ABC ?中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ?=?.

P

E D C

B

A

【巩固】如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交

AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .

求证：3EF DE =.

A D

E

F

C

B

F N

M

E

D C

B

A

【例4】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111

c a b

=+.

D

C

F E

B

A

【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证

明：

111

AB CD EF

+=

. F

D

C

E

A

B

【巩固】如图，已知////AB EF CD ，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论.

N

M H D C

F E

B A