居余马线性代数第三章课后习题
第三章 课后习题及解答
将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：
1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T
4T
3T
21T
--=--=--===αααααT
2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα
解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得
14321=+++k k k k
24321=--+k k k k
14321=-+-k k k k
14321=+--k k k k
解得.41
,41,41,454321-=-===
k k k k 所以43214
1
414145ααααα--+=
. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得
02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，
0342=-k k ，1421=-+k k k .
解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.
判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T
3T
2T
1===ααα
4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T
3T
2T 1==-=βββ，
解：
3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即
???
??=++=++=+0650320321
32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.
4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即
??????
?=++=++=+-=+0
142407203033213212
131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.
解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性
无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是
0=α.
6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，
假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，
则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.
7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.
证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，
整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，
因为21,αα线性无关，所以??
?=-=+0
2121k k k k ，可解得021==k k ，
故2121,αααα-+线性无关.
方法二，因为=-+）（2121,αααα???
?
??-1111,21）（αα， 又因为
021
11
1≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，
故2121,αααα-+线性无关.
8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中
,13121111?
?
?
????
?
??=k a a a a α,3222122???????? ??=ks a a a a α ,,321???????? ??=ks s s s s a a a a α
s βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21
),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：
(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.
证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.
证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.
(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.
9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.
证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）???
?
? ??110011101
因为321,,ααα线性无关，且021
100111
01≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3
所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.
方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.
设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，
0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k
因为321,,ααα线性无关，所以
???
??=+=+=+0
0032
2131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，
假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且
23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛
盾，故321,,ααα线性无关.
方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得
0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得
）
（）（）（3213321232112
1,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，
0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k
因为321,,βββ线性无关，所以???
??=+-=++-=-+0003
21321321k k k k k k k k k
可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.
10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：
（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设???
?
??=???? ??=???? ??=111001321ααα，，，
321,,ααα两两线性无关，而321,,ααα线性相关.
（2）m ααα,,,21 ）
（2>m 线性相关的充分必要条件是有1-m 个向量线性相关； 解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设???
?
??=???? ??=???? ??=111001321ααα，，，
321,,ααα线性相关，而 俩321,,ααα两两线性无关.
(3) 若21,αα线性相关，21,ββ线性相关，则有不全为零的数21,k k ，使得
02211=+ααk k 且02211=+ββk k ，从而使得0222111=+++）
（）（βαβαk k ， 故2211βαβα++，线性相关.
解：不正确，因为21αα，线性相关和21ββ，线性相关，不一定存在同一组不全为零的数
21,k k ，使得02211=+ααk k 和02211=+ββk k 成立；或者说存在两组不全为零的数