五年级奥数.杂题.统筹规划(ABC级).学生版

1. 掌握合理安排时间、地点问题.

2. 掌握合理布线和调运问题．

3. 掌握空瓶换水、火柴游戏等问题的常规解法。

知识点说明：

统筹学是一门数学，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。

例题精讲

知识结构

考试要求

统筹规划

【例 1】 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、

15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？

【巩固】 设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满

第二个人的桶需要2分钟，……．如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？

【例 2】 下图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆

数如图所示，图中1x ，2x ，3x 分别表示该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，问：1x ，2x ，3x 的大小关系．

【巩固】 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间(单位：分)．小明从A

到B 最快要几分钟？

【例 3】 有七个村庄1A ，2A ，，7A 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与公路相连，要在公路上设

一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？

5055

3035

30

20

X 3

X 2

X 1

H G F

E

D

C

B A 7565

046

4633

4

1

【巩固】 某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？(运输总量的千克千米数越

小越好．)

【例 4】 一支勘探队在五个山头A 、B 、C 、D 、E 设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相

同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）

【巩固】 下图是一个交通示意图，A 、B 、C 是产地(用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨)，D 、E 、

F 是销地(用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括的数字表示两地每吨货物

的运价，单位：百元(例如B 与D 两地，由B 到D 或由由D 到B 每吨货物运价100元)．将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？

【例 5】 山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈运送货物。

货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物．各车间由于工作 量不同，所需装卸工人数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在

公路

A 6A 5A 7

A 4

A 3

A 2

A 1

F

E D

B C 6000千克

4000千克

1000千克

5000千克2000千克3000千克G F

E D C B

A

第3题

货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分跟车．问怎样安排跟

车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？

【巩固】一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输．每个货站所需要的装卸工人数如下图．为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸．在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是人．

【例 6】牛奶和李子果酱被装在同样的瓶子里出售，同时商店还开展回收此类空瓶的业务．每5个空瓶可以换1瓶牛奶，每10个空瓶可以换1瓶李子果酱．灰太狼从地窖里找到了60个空瓶，拿到

商店去换物品．他每次只换回一瓶牛奶，或一瓶李子果酱，并且等把换到的牛奶或李子果酱都

吃掉后，再拿空瓶去换物品．在进行了若干次交换之后，他手中只剩下了1个空瓶．问：他一

共进行了多少次交换？

【巩固】师生共52人外出春游，到达后，班主任要给每人买一瓶矿泉水，给了班长买矿泉水的钱。班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5 个空瓶可换1瓶矿泉水。班长只要买______ 瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶。

【例 7】一次，齐王与大将赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序一次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自

己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等自己的四等．田

忌有种方法安排自己的马出场顺序，保证自己至少能赢得两场比赛．

【例 8】国王准备了1000桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后则正好第10日发作．有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证

检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？

【巩固】欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个自然数．两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和．那么，两人的卡片上所写的数中最大的数最小是．

【例 9】有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1~10根火柴，谁取得最后一根火柴谁就获胜。如果甲先取，那么谁有必胜的策略？

【巩固】有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火柴谁输，若甲先取，问：谁有必胜的策略？

【例 10】 有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次轮流取其中的2个、4个或8个，谁最后取完棋子，就

算获胜。那么先取的人为保证获胜，第一次应取几个棋子？

【巩固】 桌上有一块德芙巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块。现在让你和另一个小朋

友进行一种游戏，游戏规则如下：（1）每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；（2）拿走其中一块，把另一块留给对手再切；（3） 谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就获胜。如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？

【例 11】 甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定每次在黑板上写的数要满足条件：他的

任何倍数都不能是黑板上已写的数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，那么谁有必胜的策略？

【巩固】 甲、乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个

非零数字，并用所得的差替换原数。两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢。如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略？

【随练1】 A 、B 两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50

吨大米．从A ，B 两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？

课堂检测

【随练2】 有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分

别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？

【随练3】 有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的

人为胜者。试问：如果甲先取，谁有必胜的策略？

【作业1】 车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分

钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工，⑴ 怎样安排才能使得经济损失最少？⑵ 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

【作业2】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度

比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达A 、B 、C 三地采用最佳方案所需要的时间.为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少时间？并简述理由.

5

3丙10

73

2B

A 乙甲发站

运费/元

到站家庭作业

【作业3】 右图是A ，B ，C ，D ，E 五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上

的数表示两村之间的距离(单位：千米)．现在要在五村之中选一个村建立一所小学．为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案．

【作业4】 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需

要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)．已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？

【作业5】 一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所

需工人数为25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？

【作业6】 有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次轮流取其中的2个、4个或6个，谁最后取完棋子，就

算获胜。那么先取的人为保证获胜，第一次应取几个棋子？

【作业7】 一堆火柴有20根，甲乙二人轮流从中取出一些火柴，要求每次取的根数是前一个人所取根数的

约数，谁取走最后一根谁就获胜．如果甲先取，并且第一次取的根数是一位数，那么为了确保

E

D

C

B A 5

4

2

3503520

20

40

1612

568

10丙

乙甲

南仓库

北仓库

自己获胜，他第一次应该取 根．

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