中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)含答案
中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)含答案
一、直角三角形的边角关系
1．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1
2
∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：BF
PE
=，并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE
的
值．（用含α的式子表示）
【答案】（1）证明见解析（2）
1
2
BF
PE
=（3）
1
tan
2
BF
PE
α
=
【解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．
（2）BF1
PE2
=．证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．
∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．
∵∠BPE=
1
2
∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．
又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=1
2
BM ． ∴BF=
12PE ， 即
BF 1
PE 2
=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．
由（2）同理可得BF=1
2
BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．
∴
BM BN
PE PN
=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴
BM =tan PE α，即2BF
=tan PE
α． ∴
BF 1
=tan PE 2
α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．
（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出
BF 1
PE 2
=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=1
2
BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN
tan =PN
α即可求得
BF 1
=tan PE 2
α．
2．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ． （1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20
【解析】
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin ∠CAN=，
∴
∴AC=5， ∴AB=AC=5，
设AF=x ，则CF=5﹣x ，
在Rt △ABF 中，BF 2=AB 2﹣AF 2=25﹣x 2， 在Rt △CBF 中，BF 2=BC 2﹣CF 2=2O ﹣（5﹣x ）2， ∴25﹣x 2=2O ﹣（5﹣x ）2， ∴x=3，
∴BF 2=25﹣32=16， ∴BF=4，
即点B 到AC 的距离为4． 考点：切线的判定
3．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：
如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：
把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．
(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记
AC
BC
＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时，CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有
EM FP
MC PB
=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．
（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC
BC
=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴
EM FP
MC PB
=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
（2）PC=PE 成立，理由如下：
如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，
∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴
DM FP
MC PB
=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，
∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；
（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵
AC k BC ，AC
BC
=tan30°， ∴k=tan30°=3
， ∴当k 为
3
3
时，△CPE 总是等边三角形．
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
4．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E ，D′E 交AC 于F 点．若AB=6
cm ．
（1）AE 的长为 cm ；
（2）试在线段AC 上确定一点P ，使得DP+EP 的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC 的距离．
【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．
【解析】
试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：
∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．
∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．
（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．
（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．
试题解析：解：（1）．
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，
∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．
∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．
∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．
∴点E，D′关于直线AC对称．
如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．
∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，
∴，即DP+EP最小值为12cm．
（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，
∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，
∵AE=EC，∴AD′=CD′=．
在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′
（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．
设D′G长为xcm，则CG长为cm，
在Rt△GD′C中，由勾股定理得，
解得：（不合题意舍去）．
∴点D′到BC边的距离为cm．
考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．
5．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）9 2
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.
【详解】
证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠OAE＝∠DAE．
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE．
∴∠AEO＝∠DAE．
∴OE∥AD．
∵DC⊥AC，
∴OE⊥DC．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×
3
2
=33，
在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，
∴AD=cos30°×AE=3×33=9 2 .
【点睛】
本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.
6．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE=15cm，AD=14cm．
（1）求半径OA的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，
tan67°≈2.36）
（2）求扇形BOC的面积（π取3.14，结果精确到1cm）
【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm；(2)扇形BOC的面积约为2
822cm．
【解析】
【分析】
(1)在Rt △ODE 中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE 的余弦值，即可求得OD 长，减去AD 即为OA ．
(2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】
(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=?． ∵cos DE
ODE DO
∠=， ∴15
0.39
OD ≈
， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．
．， 答：半径OA 的长约为24.5cm ． (2)∵67ODE ∠=?， ∴157BOC ∠=?， ∴2
360
BOC
n r S π=
扇形 2
157 3.1424.52360
??≈
()2822cm ≈．
答：扇形BOC 的面积约为2822cm ． 【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．
7．如图，建筑物
上有一旗杆
，从与
相距的处观测旗杆顶部的仰角为
，
观测旗杆底部的仰角为
，求旗杆
的高度.（参考数据：
,
，
）
【答案】旗杆的高度约为.
【解析】 【分析】
在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据
tan∠ADC==即可求出AB的长度
【详解】
解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m
在Rt△ADC中，tan∠ADC==
∴tan50°= =1.19
∴AB7.6m
答：旗杆AB的高度约为7.6m.
【点睛】
此题主要考查了三角函数的应用
8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE＝GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1
2
∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝3
5
，AK＝10，求CN
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（320
10 13
【解析】
试题分析：
（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；
（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=1
2
∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；
（3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，
由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=3
5
AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=
4
3
CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=
3AH
HK
=，AK=10a ，结合AK=10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP
=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=
PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=5
13
，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：
（1）如图1，连接OG ．
∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，
∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，
∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，
∵∠FGB=
1
2
∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．
（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=3
5
AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ，
则4a =，tan ∠CAH=
4
3
CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ， ∴∠CAK=∠AKH ，
∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣CH=4a ，tan ∠AKH=AH
HK
=3，=， ∵
∴
=
∴a=1．AC=5， ∵∠BHD=∠AGB=90°， ∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°， ∴∠ABG+∠HKG=180°， ∵∠AKH+∠HKG=180°， ∴∠AKH=∠ABG ， ∵∠ACN=∠ABG ， ∴∠AKH=∠ACN ， ∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3， ∵NP ⊥AC 于P ， ∴∠APN=∠CPN=90°， 在Rt △APN 中，tan ∠CAH=4
3PN AP =，设PN=12b ，则AP=9b ， 在Rt △CPN 中，tan ∠ACN=PN
CP
=3， ∴CP=4b ， ∴AC=AP+CP=13b ， ∵AC=5， ∴13b=5，
∴b=5
13
，
∴CN=22
PN CP
+=410b?=20
10 13
．
9．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PA AD PC CD
=；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝3
5
，CF＝5，求BE
的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=12．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到
∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到
CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，
设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为
⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=3
5，得到
BE
AB
＝
3
5
，于是求得
结论．
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴弧AC=弧AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=3
5
，
∴sin∠FAD=3
5
，
在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，
∵sin∠EAD=3
5，∴
3
5
BE
AB
，
∵AB=20，
∴BE=12．
【点睛】
本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．
10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）23
（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形
（3）不变，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；
（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后
根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1
2
3
3
；
当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，
又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到
∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到
； （3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到
DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值． 【详解】
解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝ ∴AD ＝
1
2
BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ， 当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰， ∴OE ⊥DM ， 又∵AD ＝AC ，
∴△ADC 为等边三角形， ∴∠CAD ＝60°， ∴∠DAO ＝30°， ∴∠DON ＝60°，
在Rt △ADN 中，DN ＝1
2
AD ，
在Rt △ODN 中，ON DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形； 当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ， ∵AD ＝∠DAE ＝30°，
∴DH
∠DEA ＝60°，DE ＝2， ∴△ODE 为等边三角形， ∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1， ∵∠M ＝∠DAE ＝30°， 而MD ＝ME ， ∴∠MDE ＝75°，
∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°， ∴∠DNO ＝45°，
∴△NDH 为等腰直角三角形， ∴NH ＝DH
∴ON ﹣1；
综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；
（3）当⊙O 变动时DP ﹣DQ 的值不变，DP ﹣DQ ＝．理由如下：
连AP、AQ，如图2，
∵∠C＝∠CAD＝60°，
而DP⊥AB，
∴AC∥DP，
∴∠PDB＝∠C＝60°，
又∵∠PAQ＝∠PDB，
∴∠PAQ＝60°，
∴∠CAQ＝∠PAD，
∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，
∴△AQC≌△APD，
∴DP＝CQ，
∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．
【点睛】
本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．
11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）
（1）如果∠A＝30°，
①如图1，∠DCB等于多少度；
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）
【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝
2DE?tanα．理由见解析． 【解析】 【分析】
（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A ＝30°，只要证明△CDB 是等边三角形即可；
②根据全等三角形的判定推出△DCP ≌△DBF ，根据全等的性质得出CP ＝BF ，
（2）求出DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，求出∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，DP ＝DF ，根据全等三角形的判定得出△DCP ≌△DBF ，求出CP ＝BF ，推出BF ﹣BP ＝BC ，解直角三角形求出CE ＝DEtanα即可． 【详解】
（1）①∵∠A ＝30°，∠ACB ＝90°， ∴∠B ＝60°， ∵AD ＝DB ， ∴CD ＝AD ＝DB ， ∴△CDB 是等边三角形， ∴∠DCB ＝60°．
②如图1，结论：CP ＝BF ．理由如下：
∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°， ∴△CDB 为等边三角形. ∴∠CDB ＝60°
∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ， ∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ， ∴∠FDB ＝∠CDP ， 在△DCP 和△DBF 中
DC DB CDP BDF DP DF =??
∠=∠??=?
， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF.
（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．
理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α， ∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，
∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，
∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α， ∵∠PDF ＝2α，
∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，
∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP ＝DF ， 在△DCP 和△DBF 中
DC DB CDP BDF DP DF =??
∠=∠??=?
， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF ， 而 CP ＝BC+BP ， ∴BF ﹣BP ＝BC ，
在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，
∴tan ∠CDE ＝
CE
DE
， ∴CE ＝DEtanα，
∴BC ＝2CE ＝2DEtanα， 即BF ﹣BP ＝2DEtanα． 【点睛】
本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．
12．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB ，AB 与水面AC 垂直．此时，小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米．她测得树梢B 点的仰角为30°，测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB （结果保留根号）
【答案】AB=（3）m ． 【解析】 【分析】