北师大版数学选修2-2巩固提升：第五章 数系的扩充与复数的引入 章末综合检测(五)

章末综合检测(五)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．“复数z 是实数”的充分不必要条件为( ) A ．|z |＝z B ．z ＝z －

C ．z 2是实数

D ．z ＋z －

是实数

解析：选A.由|z |＝z 可知z 必为实数，但由z 为实数不一定得出|z |＝z ，如z ＝－2，此时|z |≠z ，故“|z |＝z ”是“z 为实数”的充分不必要条件．

2．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，若z 1－z 2是纯虚数，则有( ) A ．a －c ＝0，且b －d ≠0 B ．a －c ＝0，且b ＋d ≠0 C ．a ＋c ＝0，且b －d ≠0 D ．a ＋c ＝0，且b ＋d ≠0

解析：选A.z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ， 因为z 1－z 2是纯虚数，所以a －c ＝0，且b －d ≠0. 3．i 是虚数单位，i

3＋3i

＝( ) A.14－312i B.14＋312i C.12＋36i D.12－36

i 解析：选B.

i 3＋3i

＝i （3－3i ）3＋9＝3i ＋312＝14＋312i.

4．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R )为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2

D ．1

解析：选A.因为z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，所以?

???

?x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，

|z |＝2.

5．在?ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i ，3＋4i ，3－5i ，则点D 对应的复数是( )

A ．2－3i

B ．4＋8i

C ．4－8i

D ．1＋4i

解析：选C.AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝－1＋3i ，设点D 对应的复数为z ，则DC →

对应的复数为(3－5i)－z ，由平行四边形法则知AB →＝DC →，

所以－1＋3i ＝(3－5i)－z ， 所以z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝4－8i.

6．若x ∈C ，则方程|x |＝1＋3i －x 的解是( ) A.12＋32i B ．x 1＝4，x 2＝－1 C ．－4＋3i

D.12＋3

2

i 解析：选C.令x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a 2＋b 2＝1＋3i －a －b i ，

所以???a 2＋b 2＝1－a ，0＝3－b ，

解得?????a ＝－4，

b ＝3，

故原方程的解为－4＋3i.

7．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．1＋2 2

D ．2 3

解析：选B.因为|z |＝1，所以z 对应的点在以原点为圆心的单位圆上，|z ＋22＋i|表示圆上的点到(－22，－1)的距离，最大值为1＋

（22）2＋1＝4.

8．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －

2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1

D ．－2

解析：选A.因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －

2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，故z 2＋z －

2的虚部为0.

9．定义运算??????

a b c d ＝ad －bc ，则符合条件????

??

1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i

D ．1－3i

解析：选A.由定义知??

??

??

1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i.

10．i 是虚数单位，若集合S ＝{－2，0，1}，则( ) A ．i 2 015∈S B ．－2i 2 014∈S C ．i 2 013∈S

D ．i ???

?i －1

i ∈S

解析：选D.i n 以4为周期重复出现．i 2 015＝i 4

×503＋3

＝i 3＝－i ，i 2 014＝i 4

×503＋2

＝i 2＝－1，

－2i 2 014＝2，i 2 013＝i 4

×503＋1

＝i ，i ???

?i －1

i ＝i 2－1＝－2∈S ，故选D. 11．复数z 满足条件：|2z ＋1|＝|z －i|，那么z 对应的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线

D ．抛物线

解析：选A.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|2z ＋1|＝|z －i|，则(2x ＋1)2＋4y 2＝x 2＋(y －1)2，即???

?x ＋2

32

＋????y ＋132＝59表示以????－23，－13为圆心，半径为53

的圆． 12．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是( ) A ．1 B. 2 C ．2

D. 5

解析：选A.|z ＋i|＋|z －i|＝2，则复数z 在复平面对应的点Z 在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到(－1，－1)的距离．由图可知最小值为1.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．若复数z ＝cos θ－sin θ·i 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角． 解析：因为复数z 对应的点(cos θ，－sin θ)在第四象限，

所以?????cos θ>0，－sin θ<0，所以?

????cos θ>0，

sin θ>0， 所以θ为第一象限角． 答案：一

14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 2

4的虚部等于________．

解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20＝320＋45i ，其虚部为4

5.

答案：45

15．已知z ＝2－i ，则z 3－4z 2＋5z ＋2＝________．

解析：z 3－4z 2＋5z ＋2＝(2－i)3－4(2－i)2＋5(2－i)＋2＝2－11i －12＋16i ＋10－5i ＋2＝2.

答案：2

16．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为

________．

解析：投掷两颗骰子共有36种结果．因为(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ，所以要使复数(m ＋n i)2为纯虚数，则有m 2－n 2＝0，即m ＝n ，共有6种结果，所以复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为636＝1

6

.

答案：16

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)计算：－23＋i 1＋23i ＋? ???

?21＋i 3 204＋（4－8i ）2－（－4＋8i ）2

11－7i . 解：原式＝（－23＋i ）（1－23i ）12＋（23）2＋????2（1＋i ）21 602＋（4－8i ）2－（4－8i ）2

11－7i ＝13i 13＋????1i 1 602

＋0 ＝i ＋(－i)1 602＝i ＋i 2＝－1＋i.

18．(本小题满分12分)实数m 分别取什么值时，复数z ＝(1＋i)m 2＋(5－2i)m ＋6－15i ： (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在第三象限；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上；(6)共轭复数的虚部为12.

解：z ＝(1＋i)m 2＋(5－2i)m ＋6－15i ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. 因为m ∈R ，

所以z 的实部为m 2＋5m ＋6，虚部为m 2－2m －15.

(1)若z 是实数，则?

????m 2－2m －15＝0，m ∈R ?m ＝5或m ＝－3.

(2)若z 是虚数，则m 2－2m －15≠0?m ≠5且m ≠－3. (3)若z 是纯虚数，

则?

????m 2＋5m ＋6＝0，

m 2－2m －15≠0?m ＝－2. (4)若z 对应的点在第三象限，

则?

????m 2＋5m ＋6<0，m 2－2m －15<0?－3

. (6)若z 的共轭复数的虚部为12， 则－(m 2－2m －15)＝12?m ＝－1或m ＝3.

19．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .

解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图

因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即?????21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，

解得?????x ＝－5，y ＝0或?

????x ＝－3，y ＝4. 因为|OA |≠|BC |，

所以x ＝－3，y ＝4(舍去)． 故z ＝－5.

20．(本小题满分12分)已知z ＝sin A ＋(k sin A ＋cos A －1)i ，A 为△ABC 的一个内角，若不论A 为何值，z 总是虚数，求实数k 的取值范围．

解：令k sin A ＋cos A －1＝0， 则k ＝1－cos A sin A

.

因为1－cos A sin A ＝2sin 2

A 22sin A 2cos

A 2

＝tan A

2

，

其中A ∈(0，π)，且当A 2∈????0，π2时，tan A

2∈(0，＋∞)，

所以1－cos A

sin A 的值域为(0，＋∞)．

所以当k ≤0时，1－cos A

sin A

≠k 恒成立，

即当k ≤0时，不论A 为何值，k sin A ＋cos A －1≠0恒成立，z 总是虚数．

21．(本小题满分12分)设P ，Q 是复平面上的点集，P ＝{z |z ·z －＋3i(z －z －

)＋5＝0}，Q ＝{ω|ω＝2i z ，z ∈P }．

(1)P ，Q 分别表示什么曲线？

(2)设z 1∈P ，z 2∈Q ，求|z 1－z 2|的最大值与最小值．

解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 代入P 中得x 2＋(y －3)2＝4，

所以集合P 表示以(0，3)为圆心、2为半径的圆． 设ω＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由ω＝2i z 得 z ＝12b －12a i. 因为z ∈P ，

所以a 2＋b 2＋12a ＋20＝0， 即(a ＋6)2＋b 2＝16.

所以Q 表示以(－6，0)为圆心、4为半径的圆． (2)设A (0，3)，B (－6，0)，

圆心距|AB |＝35>2＋4，即两圆外离， 所以|z 1－z 2|max ＝6＋35，|z 1－z 2|min ＝35－6.

22．(本小题满分12分)设i 为虚数单位，复数z 和ω满足zω＋2i z －2i ω＋1＝0. (1)若z 和ω满足ω－

－z ＝2i ，求z 和ω的值；

(2)求证：如果|z |＝3，那么|ω－4i|的值是一个常数，并求这个常数． 解：(1)因为ω－

－z ＝2i ， 所以z ＝ω－

－2i.

代入zω＋2i z －2i ω＋1＝0， 得(ω－

－2i)(ω＋2i)－2i ω＋1＝0， 所以ωω－－4i ω＋2i ω－

＋5＝0.

设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则上式可变为(x ＋y i)(x －y i)－4i(x ＋y i)＋2i(x －y i)＋5＝0. 所以x 2＋y 2＋6y ＋5－2x i ＝0.

所以?????x 2＋y 2＋6y ＋5＝0，2x ＝0，

所以?

????x ＝0，y ＝－1或?????x ＝0，y ＝－5. 所以ω＝－i ，z ＝－i 或ω＝－5i ，z ＝3i. (2)由zω＋2i z －2i ω＋1＝0，得 z (ω＋2i)＝2i ω－1， 所以|z ||ω＋2i|＝|2i ω－1|.① 设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则|ω＋2i|＝|x ＋(y ＋2)i|

＝x2＋（y＋2）2＝x2＋y2＋4y＋4.

|2iω－1|＝|－(2y＋1)＋2x i|

＝[－（2y＋1）]2＋4x2

＝4x2＋4y2＋4y＋1.

又|z|＝3，

所以①可化为3(x2＋y2＋4y＋4)＝4x2＋4y2＋4y＋1.所以x2＋y2－8y＝11.

所以|ω－4i|＝|x＋(y－4)i|＝x2＋（y－4）2

＝x2＋y2－8y＋16＝3 3.

所以|ω－4i|的值是常数，且等于3 3.

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