人教版-数学-九年级下册-27.2.1 相似三角形的判定 第一课时 教案 席忠刚
第二十七章相似
27．2．1相似三角形的判定（一）
教学目标
1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
教学重点与难点
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
↓
若
11
AB
A B
=
11
BC
B C
=
11
CA
k
C A
=
则??ABC∽?A1B1C1
突出几何定理的图形语言﹑符号
语言可以帮助学生完成几何定理的建
模。
运用提高：
1．P47练习题1（2）。
2．P47练习题2（2）。
运用两个三角形相似的判定方法
（1）进行相关证明与计算，让学生在
练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。让学生及时回顾整理本节课所学
的知识。
布置作业：
1．必做题：
P55习题27·2题2（1），3（1）。
2．选做题：
P55习题27·2题4，5。
3．备选题：
如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE
交CD于F，则图中共有相似三角形（）
A、1对
B、2对
C、3对
D、4对
分层次布置作业，让不同的学生
在本节课中都有收获。
备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了
“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几
何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，
本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”?“类比”?“猜想”的教
学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过
程中发展合情推理能力。
初三《相似三角形》知识点总结
相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.
九年级下册人教版数学知识点归纳
九年级下册人教版数学 知识点归纳 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
第二十二单元二次函数一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数， a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类 似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实 数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式 二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质： a 的 绝对 值越 大， 抛物 线的 开口 越 小。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标() h k ，； ⑵保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到() h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y+ + =2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，c bx ax y+ + =2 变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或 c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者，即 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 ()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的 点()2h c ， 、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两 组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =- 时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称 轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =- 时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()() y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以 化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
(新整理)最新北师大版九年级上相似三角形讲解学习
(新整理)最新北师大版九年级上相似三角 形
①、反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． ②、对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． ③、传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''? (2) 、三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：BC DE //Θ， ∴ ADE ?∽ABC ?． 知识点7 、三角形相似的判定方法 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)、以上各种判定均适用． (2)、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 知识点8 、相似三角形常见的图形 (1) E A B C D (3) D B C A E (2) C D E A B
初三数学《相似三角形》专题复习
B C 初三数学期末复习 相似三角形及应用 一、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割． （1）比例的基本性质：b a =d c ?ad=bc （b d ≠0） 1、甲、乙两地的实际距离20千米，则在比例尺为 1∶1000000 的地图上两地间的距离应为 厘米． 2、若3a ＝5b ，则a b ＝ . 3、若线段a 、b 、c 、d 成比例且a ＝3cm ，b ＝6cm ，c ＝5cm ，则d ＝ cm ． 二、两个三角形相似的条件．常用基本图形——A 形、X 形…… 例1、已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB 、CD 交于O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 2、如图, 小正方形的边长均为1, 则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 三、相似三角形的概念、性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边 比的平方． 例题1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15． 求△ A′B′C′最短边的长． 变化:△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的一边长为15． 求△ A′B′C′的周长． 4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ， 若1AD =，3BC =，则AO CO 的值为 (1) A B C D O 4 3 6 8 (2)
5、如图，□ ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于O ，若DO ＝4cm ，BO ＝ cm ． 6、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作DE ⊥BC 交AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________． 7、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作 DE ⊥AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________． 8、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两点，若AD ：AB ＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积比为 ． 9、如图，DE 是△ABC 的中位线，S △ADE =2，则S △ABC =_______． 10、如图所示，已知点E F 、分别是ABC △中AC AB 、边的中点，BE CF 、相交于点G ， 2FG =，则CF =_______． 11、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合， 折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ） A . 2：5 B .14:25 C .16:25 D . 4:21 12、如图，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M. （1）、求证：;AM HG AD BC = （2）、求这个矩形EFGH 的周长. A D E C B O A F E C B
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝ c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
人教版九年级数学下册：全套教案
第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是： 02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02 ≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2 2 +++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2 的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22 +++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些
最新初三数学专题复习(相似三角形)
中考复习--相似三角形 【课前热身】 1．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．2，5，52，25 2．两地的距离是 500 米，地图上的距离为 10 厘米，则这张地图的比例尺为（ ） A ．1∶50 B ．1∶500 C ．1∶5000 D ．1∶50000 3．下列各组图形不一定相似的是（ ） A ．两个等边三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．两个正方形 D ．各有一个角是45°的两个等腰三角形 4．△ABC 的三边之比为 3∶4∶5，若 △ABC∽△A'B'C' ，且△A'B'C' 的最短边长为6，则△A'B'C'的周长为 （ ） A ．36 B ．24 C ．18 D ．12 5．如图，在△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2， 则△ADE 与△ABC 的面积比为____________； 【中考考点链接】 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 【拓展】常见的相似形式： 1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________． 2. 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____． 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 【典例精析】 1、比例的性质 例1：若322=-y y x , 则_____=y x ； 变式1．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ； E D C B A 第5题图
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比例 中项。
最新人教版数学九年级下册全册教案
人教版数学九年级下册教学计划 教师_______日期_______ 本学期是九年义务教育的终结期也是初中学习的关键时期，教学任务非常艰巨。因此，要完成教学任务，必须紧扣教学大纲，结合教学内容和学生实际情况，把握好重点、难点，努力把本学期的任务圆满完成。九年级毕业班总复习的教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须要解决的问题。下面特制定以下教学学习及复习计划。 一、学情分析进入初三以来，通过多次集体备课讨论，我们初三数学组 感到压力很大。从、考成绩来看，和兄弟学校差不多，高分可能偏多，但其中应有不少水分，不能光看数据；二是随着知识的深入，临近毕业，学生之间的学习差异越来越大，有些学生坚持不住，成绩出现很大的滑坡，这些都为我们的正常教学带来很不利的影响。上学期虽然涌现了一批学习刻苦，成绩优异的优秀学生，但后进学生因数学成绩十分低下，厌学情绪非常严重，基本放弃对数学的学习了。部分中等学生对前面所学的一些基础知识记忆不清，掌握不牢等，这都是这学期我们急需解决的问题。 二、教学内容分析 本期教学进程主要分为新课教学和总复习教学两个阶段 新课教学共分两章。 第二十八章《锐角三角函数》分为两节，第一节主要学习正弦、 余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的 边角关系和解直角三角形的内容。第二十九章《投影与视图》分为三 节，主要内容包括：投影的基础知识；视图、三视图等概念，课题学 习：制作立体模型。 总复习是本期教学的一个重点。通过系统的总复习使学生全面熟悉 初中数学教学内容，在牢固掌握基础知识的前提下，能娴熟的运用所 学知识分析问题和解决问题。
最新九年级数学专题复习 相似三角形解题技巧及口诀
F 相似三角形解题技巧及口诀 A 字形，A ’形，8 旋转形 双垂直结论:射影定理：①直角三角形中， 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD ?BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD ?AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式 证明等积式(比例式)策略 直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略： 遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。 （3）等比代换：若是四条线段，欲证，可先证得 （ 是两 条线段）然后证，这 里把叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD ②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证： BD?CN=BM?CE ． ③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。 求证：BP ?PC=BM ?CN ?有射影，或平行，等比传递我看行 ①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB ?AF=AC ?DF
九年级上册数学相似三角形练习题
九年级上册数学相似三 角形练习题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
九年级上册数学相似三角形练习题 姓名：日 期： 一、选择题。 1．DE是ABC的中位线，则ADE与ABC面积的比是（） A、 1：1 B、1：2 C、1：3 D、 1：4 BC=（） 2．如图1，已知△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则 DE A、3：2 B、2：3 C、 2：1 D、不能确定 3．如图2，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4．△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（） A、 2：3 B、 3：2 C、 9：4 D、 4：9 5．若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（） A、4 B、3 C、2 D、1 6．如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（） A、1 B、2 C、3 D、4
7．如图4，D 是△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E 。已知AD ：DB=2：3．则S △ADE ：S BCED ＝（ ） A 、2：3 B 、4：9 C 、4：5 D 、4：21 8． 如图5，已知：AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高线，DE 是RtCADC 斜边AC 上的高 线，如果DC ：AD=1：2，a S CDE =?，那么ABC S ? 等于（ ） A 、 4a B 、9a C 、16a D 、25a 二、填空题： 1．两个相似三角形的面积比为4∶25，则它们的周长比为 。 2．顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形 ，它们的面积比 为 。 3．如图6，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知5 3 =CO AO ，BO ＝6，则DO=_____________。 4．某校绘制的校园平面图的面积为，比例尺为1：200，则该校占地面积 m 2 。 5．如图7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，那么CD=__________。 6．如图8，AD 、BC 交于点E ，AC ∥EF ∥BD ，EF 交AB 于F ，设AC=p ，BD=q ，则EF=_________。 图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 图3 图2 图 图
最新人教版九年级数学下册教案全册
最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实． （二）能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． （三）德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实． 2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？ 2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？ 3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？
4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？ 前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来． 通过四个例子引出课题． （二）整体感知 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值． 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长． 2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成． 2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：
华东师大版数学九年级上册8.考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合
考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合 ◆类型一相似与四边形 1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME ＝3，则AN＝（） A．3 B．4 C．5 D．6 第1题图 第2题图 2．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F.S△DEF∶S△ABF ＝4∶25.则DE∶EC＝. 3．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE 与△DEF相似吗？为什么？ 4．(上海中考)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE. (1)求证：DE⊥BE； (2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.
◆类型二相似与函数 5．(滨州中考)如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y＝－ 1 x、y＝ 2 x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大 C．时大时小D．保持不变 第5题图 第6题图 6．(重庆模拟)如图，点A在双曲线y＝ 3 x上，点B在双曲线y＝ k x(k≠0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，O为矩形的对称中心，OE⊥OF，若设OE＝x，OF＝y，则x与y之间的函数关系为． 考点综合专题：相似三角形与其他知识的综合 1．B 2.2∶3
3．解：△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.设AB＝AD＝CD＝4a，∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝ 2a，DF＝a，∴ AB DE＝ 4a 2a＝2， AE DF＝ 2a a＝2，∴ AB DE＝ AE DF，而∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF. 4．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD.∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE ＝∠OEB，∠OED＝∠ODE.∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BEO＋∠DEO ＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE； (2)∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE＝∠CDE＋∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE.∵OB＝ OE，∴∠DBE＝∠CEO，∴∠DBE＝∠CDE.∵∠BED＝∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴ BD CD ＝ DE CE，∴BD·CE＝CD·DE. 5．D 6．B解析： 过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F.∵AB∥x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF＝OD，BF＝OE，∴AB＝DE，∵点A在双曲线y＝ 3 x上，∴S矩形AFOD＝3，同理S矩形OEBF＝k，∵AB∥OD，∴ OD AB＝ CD AC＝ 1 2，∴AB＝2OD，∴DE＝2OD，∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝9，∴k＝9.故选B. 7．y＝ 3 4x 8．解：如图，过点P作PM⊥AB，则∠PMB＝90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直 线y＝ 3 4x－3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，－3)．在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB＝32＋42＝5.∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠ABO ＝∠PBM，PB＝OP＋OB＝7，∴△PBM∽△ABO，∴ PB AB＝ PM AO，即 7 5＝ PM 4，∴可得PM＝ 28 5. 8．(宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝ 3 4x－3与x 轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，求PM长的最小值．
北师大版九年级数学上相似三角形
一对一教案
三、主要练习： 【知识点】： 相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 相似多边形对应边的比叫做相似比。 【例题】： 1．以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______． 2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ= ． 3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中，AB=4，BC=2，EF=2，FG=1，则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4、如图，在□ABCD 中，AB//EF ，若AB = 1，AD = 2，AE= 2 1 AB ，则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由． 【课堂练习】： 1．下面图形是相似形的为 ( ) A ．所有矩形 B ．所有正方形 C ．所有菱形 D ．所有平行四边形 2．下列说法正确的是 ( ) A ． 对应边成比例的多边形都相似 B ． 四个角对应相等的梯形都相似 C ． 有一个角相等的两个菱形相似 D ． 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 3．□ABCD 与□ EFGH 中，AB = 4，BC = 2，EF = 2，FG=1，则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′=65°，A′B′=6 cm， AB=8 cm ， AD=5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′， B′C′的长． F E D C B A
人教版数学九年级下册知识点
人教版数学九年级下册 第二十六章二次函数 (1) 26．1二次函数及其图像 (1) 26．2用函数观点看一元二次方程 (6) 26．3实际问题与二次函数 (6) 第二十七章相似 (6) 27．1图形的相似 (6) 27．2相似三角形 (7) 27．3位似 (7) 第二十八章锐角三角函数 (8) 28．1锐角三角函数 (8) 28．2解直角三角形 (10) 第二十九章投影与视图 (12) 29．1 投影 (12) 29．2 三视图 (12) 第二十六章二次函数 26．1二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；顶点式
y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x -x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
最新九年级圆与相似三角形专题复习
九年级圆中三角形相似复习专题 1．(2014·荆州)如图，AB 是半圆O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连接AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ， 要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件，下列添加的条件其中错误的是( ) A ．∠ACD ＝∠DA B B ．AD ＝DE C ．AD2＝B D ·CD D ．AD ·AB ＝AC ·BD （第一题） （第二题） 2．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD ，OD ，给出以下四 个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△AOD ；④2CD2＝CE ·AB ，其中正确结论的序号是__________． 3.如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外 接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为( ) A .32 B .53 C .35 5 D .45 5 4.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似 吗？请证明你的结论． （第三题） （第四题） 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是AD ︵ 上的一点，∠DBC ＝∠BED. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)已知AD ＝3，CD ＝2，求BC 的长．
6．如图，AB 是⊙O 的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的切线AP 于点P ，连接AC. (1)求证：△ABC ∽△POA ； (2)若OB ＝2，OP ＝72，求BC 的长． 7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 于E. (1)求证：点E 是边BC 的中点； (2)求证：BC2＝BD ·BA.
最新九年级圆与相似三角形专题复习
九年级圆中三角形相似复习专题 1、 黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB 。 2、 黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.作法： （1）过点B 作BD ⊥AB ，使BD=0.5AB ； （2）连结AD ，在DA 上截取DE=DB ； （3）在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点。 （4）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形 1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 4、 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 5、 相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。相似比为k 。 6、判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。(此定理用的最多) 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 7、 直角三角形相似判定定理: （1） 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 （2） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角 形也相似。
浙教版九年级上册 相似三角形综合测试题
相似三角形综合测试题 一、选择题（3′×8） 1．下列命题中，正确的是（ ） A ．任意两个等腰三角形相似 B ．任意两个菱形相似 C ．任意两个矩形相似 D ．任意两个等边三角形相似 2．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） 3．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同 学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A ． 11.5米 B ． 11.75米 C ． 11.8米 D ． 12.25米 4．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ． 2 cm 2 B ． 4 cm 2 C ． 8 cm 2 D ． 16 cm 2 5．将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ） A ．1∶3∶5∶7 B ．1∶2∶3∶4 C ．1∶2∶4∶5 D ．1∶2∶3∶5 6．如图D 是锐角ΔABC 边上一点，过D 的直线交于另一边，截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 7．如图□ABCD 中,Q 是CD 上的点，AQ 交BD 于点P ，交BC 的延长线于点R ，若DQ:CQ=4:3，则AP:PR=（ ） A ．4:3 B ．4:7 C ．3:4 D ．3:7 8．如图，梯形ABCD 的对角线相交于点O ，有如下结论：①ΔAOB ∽ΔCOD ，②ΔAOD ∽ΔBOC ，③S ΔAOD =S ΔBOC ，④S ΔCOD :S ΔAOD =DC:AB ；其中一定正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（3′×4） 9.a=4，b=9，则a 、b 的比例中项是 . 10.如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE ，则： ADE ACE ABE ∠+∠+∠等于 度. 11．一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张． 12．如图ABC ?中，AB CD ⊥，垂足是D ，下列条件中能证明ABC ?是直角三角形的有 （只填序号）。 ① 90=∠+∠B A ②2 2 2 BC AC AB += ③ BD CD AB AC = ④BD AD CD ?=2 三、解答题（64′） 13．（6′）已知：15 1110a c c b b a += +=+，求 c b a ::的值 14．（6′）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，试说明△ADE ∽△EFC. 15.（6′）直角梯形ABCD 中， 90=∠=∠B A ，7=AB ，2=AD ，3=BC ，在AB 上取一点P ，使APD ?与BPC ?相似，求AP 的长。 R Q P D C B A O C D H G F E D C B A D C B A P D A