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高中数学双曲线经典例题
一、双曲线定义及标准方程
1．已知两圆 C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣ 4）2+y2=2，动圆 M 与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）
A．x=0B．
C．D．
2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．
3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标
准方程是
4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）
两点的双曲线的标准方程．
5、已知 P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，
若| PF1 2
| =17，则| PF | 的值为．
二、离心率
1、已知点 F 、F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，
1 2
若△ PF1 2
F 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为
．
2、设 F1，F2是双曲线 C：（ a＞0，b＞0）的两个焦点．若
在 C上存在一点 P．使
PF1 2 1 2
⊥PF ，且∠ PF F =30°，则 C的离心率为．
3、双曲线的焦距为 2c，直线 l 过点（ a，0）和
（0，b），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l 的距
离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）
A．B．C．D．
3、焦点三角形
1、设 P 是双曲线 x2﹣=1 的右支上的动点， F 为双曲线的右焦点，
已知 A（3，1），则 |PA|+|PF| 的最小值为．
2、．已知 F1，F2分别是双曲线 3x2﹣5y2=75 的左右焦点， P 是双曲线上
的一点，且∠ F1PF2 =120°，求△ F1 PF2的面积．
3、已知双曲线焦点在y 轴上， F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是
实轴长的 2 倍．求：
（1）双曲线的渐近线方程；
（2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F1PF2=60°，求△ PF1F2的面积．
4、直线与双曲线的位置关系
已知过点 P（1，1）的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则直线 L 的斜率 k= ＿＿＿＿
5、综合题型
如图，已知椭圆x 2
y
2
2
1(a>b>0)的离心率为
2
，以该椭圆上的点和a2 b2
椭圆的左、右焦点F1、F2 为顶点的三角形的周长为4( 2＋1) ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、B和 C、D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线 PF1、PF2的斜率分别为 k1、k2，证明： k1·k2＝1；
(3)是否存在常数λ，使得 |AB| ＋|CD| ＝λ |AB| ·|CD| 恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
高中数学双曲线经典例题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 2 小题）
1．（2015 秋?洛阳校级期末）已知两圆 C 1：（x+4）2+y 2=2，C 2：（x ﹣4）2+y 2
=2， 动圆 M 与两圆 C 1， 2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ ）
C A ．x=0 B ．
C ．
D ．
【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切， 即两圆 C 1：（
2 2
， x+4 ）+y
=2
C 2：（x ﹣4）2+y 2=2，动圆 M 与两圆 C 1，C 2 都相切，
∴ | MC 1| =| MC 2| ，即 M 点在线段 C 1， C 2 的垂直平分线上又 C 1，C 2 的坐标分别为（﹣ 4，0）与（ 4， 0）∴其
垂直平分线为 y 轴，
∴动圆圆心 M 的轨迹方程是 x=0
②若一内切一外切，不妨令与圆
C 1：（ x+4）2+y 2=2 内切，与圆 C 2 ：（x ﹣4）2+y 2=2
外切，则有 M 到（ 4，0）的距离减到（﹣ 4， 0）的距离的差是 2
，由双曲线
的定义知，点 M 的轨迹是以（﹣ 4，0）与（ 4， 0）为焦点，以
为实半轴长的
双曲线，故可得 b 2=c 2﹣a 2=14，故此双曲线的方程为
综①②知，动圆 M 的轨迹方程为
应选 D ．
2．（2014?齐齐哈尔三模）双曲线 的焦距为 2c ，直线 l
过点（ a ，0）和（ 0，b ），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l
的距离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．
【解答】解：直线 l 的方程为+=1，即 bx+ay﹣ab=0．
由点到直线的距离公式，且 a＞1，得到点（ 1，0）到直线 l 的距离，同理得到点（﹣ 1，0）到直线 l 的距离 .，．由，得．．
于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．
解不等式，得≤e2≤ 5．
由于 e＞1＞0，
所以 e 的取值范围是．
故选 D．
二．填空题（共 5 小题）
3．（2013 秋?城区校级期末）已知P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲
线的两个焦点，若 | PF1 ，则 2 的值为
33 ．
| =17 | PF |
【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c==10．∵ P 是双曲线上一点，
∴|| PF1| ﹣ | PF2||
=2a=16，又 | PF1| =17，
∴| PF2| =1 或 | PF2|
=33．又 | PF2| ≥c﹣a=2，
∴| PF2| =33．
故答案为 33
4．（2008 秋?海淀区期末）已知点 F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△ PF1 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．
F
【解答】解：由题意，角 F1或角 F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程
﹣=1
此时 P（c，y），代入双曲线方程﹣=1
解得 y=
又三角形 PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，
故得=2c，即 2ac=c2﹣a2，
即e2﹣2e﹣1=0，解得 e=1
故双曲线的离心率是
故答案为．
．（
2014 秋象山县校级月考）设
P
是双曲线
x
2﹣ =1 的右支上的动点， F 为
5 ?
双曲线的右焦点，已知 A（3， 1），则 | PA|+| PF| 的最小值为﹣2 ．
【解答】解：设双曲线左焦点为 F2，
由双曲线的定义可得 | PF2﹣，即 2 ﹣，
| | PF| =2a | PF| =| PF | 2a
则| PA|+| PF| =| PF2|+| PA| ﹣2a≥| F2A| ﹣2a，
当P、F2、A 三点共线时， | PF2|+| PA| 有最小
值，此时 F2（﹣ 2，0）、 A（ 3， 1），
则 | PF2 2
，
|+| PA| =| AF | =
而对于这个双曲线， 2a=2，
所以最小值为﹣ 2．
故答案为：﹣2．
6．（2011 秋 ?张家港市校级期末）与双曲线 有相同的焦点，且过点
的双曲线的标准方程是 ．
【解答】 解：设所求双曲线的方程为
，
∵已知双曲线
的焦点为（± ，0）
∴所求双曲线中的 c 2=5①
∵双曲线过点
∴
②
且 c 2=a 2+b 2③
联立①②③解得 a 2=4， b 2=1，
∴双曲线的方程为
．
故答案为：
．
7．（ 2013?湖南）设 F 1，F 2 是双曲线 C ： （a ＞0，b ＞0）的两个焦点．若
在 C 上存在一点 P ．使 PF 1⊥ 2，且∠ 1 2 °，则 C 的离心率为
．
PF PF F =30
【解答】 解：依题意可知∠ F 1PF 2=90°|F 1F 2| =2c ，
∴ | PF 1| = | F 1F 2| = c ， | PF 2| = | F 1F 2| =c ，
由双曲线定义可知 | PF 1| ﹣| PF 2| =2a=（ ﹣1）c
∴ e= =
．
故答案为：
．
三．解答题（共 4 小题）
8．已知 F 1，F 2 分别是双曲线 3x 2﹣5y 2 =75 的左右焦点， P 是双曲线上的一点，且
∠ F 1PF 2=120°，求△ F 1PF 2 的面积．
【解答】 解：由题意，双曲线 3x 2﹣ 5y
2
，可化为 =1
=75
由 余 弦 定 理 可 得
160=PF 2+PF 22 ﹣ 2PF 1?PF 2cos120 °= （ PF 1 ﹣ PF 2 ）
2
+3PF 1 ?PF 2=100+3PF 1?PF 2，
∴ PF 1?PF 2=20．
△ F1PF2
= PF 1 2 ° × ×
=5 ． S ?PF sin120 = 20
故答案为： A ．
9．（2014 春?湄潭县校级期中）已知双曲线焦点在 y 轴上， F 1， F 2 为其焦点，焦
距为 10，焦距是实轴长的 2 倍．求：
（ 1）双曲线的渐近线方程；
（ 2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F 1PF 2=60°，求△ PF 1F 2 的面积．
【解答】 解：（1）设双曲线方程为
（ a ＞ 0， b ＞ 0），则
∵焦距是实轴长的 2 倍，
∴ c=2a ，
∴ b=
= a ，
∴双曲线的渐近线方程为 y=±
x ；
（ 2 ） 由 余 弦 定 理 可 得 4c 2=PF 1 2+PF 22 ﹣ 2PF 1?PF 2cos60 °=（ PF 1 ﹣ PF 2 ）
2
+PF 1?PF 2=4a 2+PF 1?PF 2，
∵焦距为 10，
∴ 2c=10，2a=5
∴ PF 1?PF 2=75．
∴ S △ F1PF2= PF 1 2°
=
． ?PF sin60 = ?75?
10．（ 2008 秋?岳阳校级期末）求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和 B （﹣ 2 ，）两点的双曲线的标准方程．
【解答】解：设所求双曲线方程为： mx2﹣ ny2，（
mn ＞），
=1 0
因为点 A（，﹣ 2）和 B（﹣ 2 ，）在双曲线上，
所以可得：，
解得，
故所求双曲线方程为．
11．（ 2009 秋?天心区校级期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（ 1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；
（ 2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．
【解答】解：（1）焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得 a=8， c=10．
∴b2=c2﹣ a2=100﹣ 64=36．
所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为．
（ 2）当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的方程为=1
由题意，得解得 a=3，b= ．
所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为．
同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为．
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +，
双曲线专题经典练习及答案详解
双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习
1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56
三角函数经典例题
经典例题透析 类型一：锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那 么( ) A．B．C．D． 思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可． 解析： 解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出 ，∴． ∴． 解法2：直接利用勾股定理求出， 在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________． 答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)．
(2)由，得， ∴．∴A=75°． 总结升华： 已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求． 思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾 股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出 ，再利用，使可求出． 解析： 解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，． 则， ∴． 解法2：由，得 ， ∴． 总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或 利用，来求．
高中数学-双曲线例题
高中数学-双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9 ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为：()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3 已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022 21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积． 分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积． 解：∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 2122 21==+F F PF PF 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R 老师多边形及其内角和经典例题透析 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： 知识要点梳理 定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 ?正多边形：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类２： 多边形?非正多边形： 1、n边形的内角和等于１８0°(n－2)。 多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于3６0°。 ３、n边形的对角线条数等于1／2·n（n-3) 只用一种正多边形:3、４、6/。 镶嵌?拼成３６0度的角 只用一种非正多边形(全等):3、４。 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. ?（1)多边形的一些要素: 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个n边形有n个内角。外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。（2）在定义中应注意:?①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数）;?②首尾顺次相连,二者缺一不可；③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间 多边形. 2、多边形的分类:?（１)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这 条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1).本章所讲的多边形都是指凸 多边形．? 凸多边形凹多边形?图1 (2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形,其中三角?形是边数最少的多边形．?知识点二：正多边形?各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释:?各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可．如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三:多边形的对角线?多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 如图2,BD为四边形ＡBＣD的一条对角线。 要点诠释: （1)从n边形一个顶点可以引（n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。?证明:过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数），又∵共有n个顶点,∴共有n(ｎ-3) 条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,∴凸n边形,共有条对角线。?知识点四：多边形的内 角和公式?1．公式:边形的内角和为． 2.公式的证明:?证法１：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形,这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为． 证法2：从边形一个顶点作对角线,可以作条对角线,并且边形被分成个三角形,这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.?证法3:在边形的一边上取一点与各个顶点相连,得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数, 即. 双曲线经典练习题总结（带答案） 一、选择题 1．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A ．x 216－y 2 48＝1 B ．y 29－x 2 27 ＝1 C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27＝1 D ．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2 48＝1；当顶点为(0， ±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2 27＝1. 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 [解析] 双曲线 2x 2－y 2＝8 化为标准形式为x 24－y 2 8 ＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4. 3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( C ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2 ) C ．(1，2) D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1 a . ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1 a 2<2，∴1 一元一次方程经典例题透析 类型一：一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式： ①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y ＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 思路点拨：方程是含有未知数的等式，根据定义逐个进行判断，显然②③不合题意。 解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B 总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。 举一反三： [变式1]判断下列方程是否是一元一次方程： （1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2) 解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。 答案：（1）（2）（3）不是，（4）是 [变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。 解析：分两种情况： （1）只含字母y，则有(a-3)(2a+5)＝0且a-3≠0 （2）只含字母x，则有a-3＝0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能 综上，a的值为。 [变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( ) A．－5 B．5 C．7 D．2 答案：B 类型二：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。 1．巧凑整数解方程： 2、 思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，常数项的和故直接移项凑成整数比先去分母简单。 解：移项，得。 合并同类项，得2x＝－1。 系数化为1，得x＝－。 举一反三： [变式]解方程：＝2x－5 解：原方程可变形为 ＝2x－5 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点, 连结 AF、CE. (1)求证：△ BEC^A DFA; (2)连接AC,若CA=CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论 举一反三: 【变式1】如图，在△ ABC中，AB=AC , D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。 求证：四边形ADCE是矩形。 【变式2】已知口ABCD的对角线AC, BD相交于0, △ ABO是等边三角形，AB= 4cm , 求这个平行四边形的面积。 经典例题透析因 类型一：矩形 1. (2011山东青岛) 【变式3】如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O , AE 丄BD 于E ,则: (1) 图中与/ BAE 相等的角有 ___________ ； (2) ___________________________________ 若/ AOB=60。，贝U AB : BD = 图中△ DOC 是 __________________________________________ 角形(按边 分). 类型二：菱形 举一反三： 【变式1】已知如图，平行四边形 ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别 交于E 、F 。试判断四边形 AFCE 的形状并说明理由. )如图，在平行四边形 ABCD 中，E,F 分别是BC , AD 中点。 B C (2011四川雅安 (1)求证：△ ABE BA CDF 【变式4】(2011 四川自贡) 如图，在△ ABC 中， AB=BC=1，/ ABC=120 °，将△ ABC 绕点B 顺时针旋转30。得△交」二一于点E , 1 -分别交 V F. 类型三：正方形||銅 3.( 2011广西玉林)如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点, 以线段AG 为边作一个正方形 AEFG,线段EB 和GD 相交于点H. (1) 求证：EB=GD; (2) 判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由 (3) 若 AB=2，AG=，求 EB 的长. 思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种， 而本题中DG, BE 分别在△ DAG 与厶AEB 中，结合正方形的性质，我们可以证明厶 DAG 与厶AEB 全等，利用全等三角形的对应边相 等来说明。研究线段的位置关系，主要是平行或相交(包括垂直相交) 。 【答案】(1)证明：在厶GAD 和厶EAB 中 / GAD=90 o+ / EAD ，/ EAB=90 o+ / EAD ???/ GAD= / EAB 又??? AG=AE , AB=AD ? △ GADEAB (1) 试判断四边形 (2) 求DE 的长. 的形状，并说明理由; 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 经典例题透析： 1．如图为反射弧模式图，下列叙述正确的是 ①若在a点上刺激，神经就发生兴奋，并从这一点向肌肉方向传播，肌肉就收缩②如果给予相同的刺激，刺激点a与肌肉之间的距离越近，肌肉的收缩就越强③神经纤维传导兴奋的大小，与刺激强弱无关，通常是恒定的④当兴奋时，神经细胞膜的离子通透性会发生急剧变化，钾离子流人细胞内⑤a处产生的兴奋不能传递给脊髓内的中间神经元 A．①②③B．①②④C．②③④D．①③⑤ 考点定位：本题综合考查有关反射弧的基础知识。 指点迷津：此图是完整的反射弧,a处为传出神经，其神经末梢连在肌肉上，和肌肉一起构成效应器，a点受刺激产生的兴奋可双向传导，向肌肉方向传导后即可引起肌肉的收缩，故①正确。给予相同的刺激，无论刺激点离肌肉更近或更远，都引起肌肉相同的收缩效果，故②错。刺激达到一定强度就产生兴奋，兴奋的幅度通常是恒定的刺激未达到一定强度，不能产生兴奋，与刺激强弱无关，故③正确。当兴奋时，神经细胞膜的通透性改变，Na+流入细胞内，故④错。a处的兴奋向中枢方向传导时，由于突触后膜向中间神经元前膜方向没有化学递质的释放，不能传导，故⑤正确。如何识别或确定传入神经和传出神经？①根据神经节判断，有神经节为传入神经，没有则为传出神经。②根据前角（大）和后角（小）判断，与前角相连的为传出神经，与后角相连的为传入神经。③根据切断刺举的方法确定，若切断神经后，刺激外周段不反应，而刺激向中段反应，则切断的为传入神经，反之则是传出神经。 参考答案D 2．下列关于兴奋传导的叙述，正确的是 A．神经纤维膜内局部电流的流动方向与兴奋传导方向一致 B．神经纤维上已兴奋的部位将恢复为静息状态的零电位 C．突触小体完成“化学信号—电信号”的转变 D．神经递质作用于突触后膜，使突触后膜产生兴奋 考点定位：本题考查关于兴奋产生和传导的基础知识。 指点迷津：兴奋在神经纤维上的传导是双向的，神经纤维膜内电流是由兴奋部位流向未兴奋部位的，二者方向一致。当神经纤维某一部位受到刺激产生兴奋时，兴奋部位就会发生一次很快的电位变化，即由静息时外正内负变为外负内正，突触小体完成电信号～化学信号的转变。神经递质作用于突触后膜，使下一神经元兴奋或抑制。 参考答案A 3．图示表示三个突触连接的神经元。现于箭头处施加强刺激，则能测到动作电位的位置是 经典例题透析－---易错题 第五章相交线与平行线 1．下列判断错误的是().?A．一条线段有无数条垂线； Ｂ．过线段ＡＢ中点有且只有一条直线与线段AB垂直; C.两直线相交所成的四个角中,若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；? D.若两条直线相交，则它们互相垂直.?2．下列判断正确的是（）. Ａ.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离;? B.过直线外一点画已知直线的垂线,垂线的长度就是这点到已知直线的距离; C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； Ｄ.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短． 3．如图所示,图中共有内错角( ). ? A.２组; B.3组；Ｃ．4组； D.5组． 4.下列说法：①过两点有且只有一条直线;②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有( ). A.1个; Ｂ.２个； C.3个; D.4个.?5．如图所示,下列推理中正确的有( ）．? ①因为∠１=∠4，所以BC∥AD;②因为∠２＝∠３,所以AB∥CD； ③因为∠BCD+∠AＤＣ=1８0°,所以ＡD∥BC;④因为∠1＋∠2＋∠C=１8０°，所以ＢC∥AＤ. A.1个；Ｂ.2个；Ｃ.3个；Ｄ.４个.?6.如图所示，直线,∠1＝７０°，求∠2的度 数. ? 7.判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论.?（1）内错角相等;（2）对顶角相等;（3）画一个60°的角． 8.“如图所示，△A′B′C′是△ABC平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线段AＡ′”这句话对吗? 第六章平面直角坐标系1?.点A的坐标满足，试确定点A所在的象限 2．求点A(-3，-4）到坐标轴的距离.?? 第七章三角形?１.如图所示，钝角△ＡBC中，∠B是钝角,试作出BC边上的高AE. ２．有四条线段,长度分别为4cm,8ｃm,10cm，１2ｃｍ，选其中三条组成三角形,试问可以组成多少个三角形? 3．一个三角形的三个外角中,最多有几个角是锐角？? 4.如图所示，在△ABC中,下列说法正确的是（）. A.∠ADB＞∠ADE; Ｂ．∠AＤB＞∠1＋∠2+∠３; C.∠ADB>∠1+∠2; D.以上都对． ５.一个多边形的内角和为14４0°,求其边数. 第八章二元一次方程组 经典例题透析 类型一：利用柯西不等式求最值 1．求函数的最大值． 思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析： 法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得 ∴时函数取最大值，最大值为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】 法一： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时， 评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数： 2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序： 3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 圆锥曲线习题——双曲线 1. 如果双曲线2 42 2y x - ＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A) 3 64 (B) 3 6 2 (C)62 (D)32 2. 已知双曲线C ∶22 221(x y a a b -=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的 圆的半径是 （A ）a (B)b (C)ab (D)22b a + 3. 以双曲线 221916 x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．2 2 1090x y x +-+= B ．22 10160x y x +-+= C ．2 2 10160x y x +++= D ．2 2 1090x y x +++= 4. 以双曲线2 2 2x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．2 2 430x y x +--= Ｂ．22 430x y x +-+= Ｃ．2 2 450x y x ++-= Ｄ．2 2 450x y x +++= 5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准 线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 6. 若双曲线122 22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心 率是（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 7. 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的 两条渐近线的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC = ，则双曲线的离心率是 ( ) 七年级下册经典例题透析----易错题 第五章相交线与平行线 1.未正确理解垂线的定义 1．下列判断错误的是（）. A.一条线段有无数条垂线； B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直； C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直； D.若两条直线相交，则它们互相垂直. 错解：A或B或C. 解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直. 正解：D. 2.未正确理解垂线段、点到直线的距离 2．下列判断正确的是（）. A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离； B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离； C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 错解：A或B或C. 解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义. A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的. B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的； C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度. 正解：D. 3.未准确辨认同位角、内错角、同旁内角 3．如图所示，图中共有内错角（）. 组；组；组；组. 错解：A. 解析：图中的内错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中∠HGF与∠GFC 易漏掉。 正解：B. 4.对平行线的概念、平行公理理解有误 4．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的有（）. 个；个；个；个. 错解：C或D. 解析：平行线的定义必须强调“在同一平面内”的前提条件，所以②是错误的，平行公理中的“过一点”必须强调“过直线外一点”，所以④是错误的，①③是正确的. 正解：B. 5.不能准确识别截线与被截直线，从而误判直线平行 5．如图所示，下列推理中正确的有（）. ①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD；②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD； ③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD. 个；个；个；个. 错解：D. 解析：解与平行线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“”“”“”，只有③推理正确. 正解：A. 6.混淆平行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件 6．如图所示，直线，∠1＝70°，求∠2的度数. 错解：由于，根据内错角相等，两直线平行，可得∠1＝∠2，又因为∠1＝70°，所以∠2＝70°. 解析：造成这种错误的原因主要是对平行线的判定和性质混淆. 在运用的时候要注意：（1）判定是不知道直线平行，是根据某些条件来判定两条直线是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平 勾股定理经典例题(含答案)A 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从 营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到 达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足双曲线经典例题讲解
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