线性代数与空间解析几何总结

线性代数与空间解析几何总结

线性代数和空间解析几何是非数学专业的一门基础课程，可以看做是高等代数和解析几何的简化版。其内容大概分为八章，以线性代数内容为主，穿插少量解析几何知识。全书逻辑严谨，内容关联性强，但是缺乏直观性，对于没有基础的大一新生，不免显得生硬。

第一章主要讲述行列式相关内容，直接给出了行列式的定义。这一章的重点内容是根据行列式的定义推出一些性质，利用定义推导出行列式运算的一些性质，并且根据这些性质灵活的化简计算具体的行列式。其实行列式的计算相当繁琐，我们只需要掌握最基本的一些方法，如构造三角行列式（这种方法很重要，矩阵初等变换也要用）、加边法、递推法等等，还有一个重要的范德蒙行列式需要掌握。在章末，给出了克莱姆法则及其在解方程组时的应用，这本来是线性方程组理论内容，为了强化行列式的应用，放在了第一章介绍。

第二章讲述矩阵的基本内容，这是全书的核心，而矩阵理论也是整个线性代数体系的核心内容之一。这一章内容很多，而且联系复杂，但以矩阵的逆和秩为中心内容。首先，介绍的是矩阵的基本概念，基本分类和基本运算，对于矩阵的运算，比较重要的是矩阵与矩阵之间的乘法，这是个新运算，要多加练习，在此基础上，还引出了方阵的幂的概念。然后就开始通过单位矩阵和1的类比，引出矩阵的逆的概念，给出了矩阵逆的性质，给出了判别矩阵是否可逆的充要条件（以后还有很多补充）和求逆矩阵的伴随矩阵法。接着通过解线性方程组的一般解法，引出矩阵的初等变换，给出了行阶梯型矩阵、行最简型矩阵和标准型矩阵的概念。给出了矩阵秩的定义（显然，一个方阵是否可逆与其是否满秩是等价的），指出初等行变换不会改变矩阵的秩，并给出了求矩阵秩的方法——化矩阵为行阶梯型矩阵。接着，又给出了初等矩阵的定义，并且将矩阵初等变换和矩阵与一个初等矩阵相乘建立起一一对应的关系，用初等变换将矩阵化为标准型，显然，根据初等变换不该变矩阵的秩，则初等变换不改变矩阵可逆性，由于我们可以很容易地观察出标准型矩阵的秩和行列式，所以若一个方阵可逆，它的标准型必然是一个单位阵。于是，每个可逆矩阵都可以写成N个初等矩阵的乘积，且初等矩阵都是可逆的，并且都有其明确的变换意义，我们便利用这个结论给出了求可逆矩阵的一般方法——初等变换法（很重要）。最后一部分介绍的是关于分块矩阵的一些知识，其实这些内容是矩阵内容的推广，把矩阵中的元素由数换成了矩阵，内容可以类比于矩阵进行学习，但要注意由于矩阵并不是数，所以比如说行列式运算与一般矩阵的运算法则不同，这种问题最好还是化为一般矩阵处理，以免超范围使用性质，造成不必要的错误。值得一提的是，分块矩阵的秩的性质很重要，在书的后续内容中有着广泛的应用。

第三章是空间向量，属于向量理论范畴，这是线性代数体系的另一个核心内容，它与线性方程组理论和解析几何有着紧密的联系。本章主要介绍基本的空间几何即三维向量知识，为学习更深一层向量理论给出一个直观印象，这是本书中空间解析几何部分的内容。首先给出三维向量的直观概念，空间中既有大小又有方向的量，然后给出了一些性质；建立坐标系，向量线性运算转化为坐标运算，这些都可以类比于平面向量学习。下面介绍空间中的平面和直线的知识，这是本章的重点。给出了平面在空间直角坐标系中的方程，利用两个平面的交线是直线这一结论给出直线方程的一般形式，根据方程解的情况讨论空间平面和直线的位置关系。空间中主要解决距离和角度两个问题，通过引入的向量积和平面法向量，给出了一系列相关求解公式，当然，理解这些公式的推导是更重要的，这能大大简化问题的求解。最后，书中还给出了平面束和投影的概念，求解直线在某一平面上的投影方程的方法要掌握。

第四章主要内容是N维向量，这是第三章在维数上的延伸。给出向量的一般定义，它不再局限于直观几何，而是抽象化了。线性相关线性无关线性表示的概念要了解，重点是要掌握判别向量组是否线性无关的矩阵判别法。给出线性极大无关组的概念，将其与矩阵的秩联系起来。然后，给出向量空间以及其维数和基的概念，在定义内积之后，又给出了欧式空间概念，并研究了内积的一些重要性质。最后，为了简化内积的运算，我们要进行坐标变换，给出了基变换公式，坐标变换公式和将一般基底规范正交化的方法——施密特正交化方法（很重要）。在此基础上，引入正交矩阵这一概念，并给出了正交矩阵与规范正交基的内在联系。

第五章讲述线性方程组理论，这是线性代数中发展最完善的理论，也是整个线性代数体系的直观基础。首先介绍线性方程组的一系列

概念，通过线性方程组一般解法，给出了线性方程组有解的充要条件。利用齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的关系，将线性方程组都转化成齐次线性方程组来解决，然后，利用矩阵这一数学工具，说明线性方程组的解的结构是一个向量空间，其维数与系数矩阵的秩有关，而向量空间只需用一个极大无关组表示，并且这个极大无关组就是维数个线性无关的方程组的解向量构成的向量组。这样，有关线性方程组的问题就得到了完美的解决。

第六章的主要内容是特征值和特征向量，这是前几章内容的一个应用，也是第八章二次型理论中的一个工具。首先给出特征值和特征向量的定义，然后将其转化为一个线性方程组的求解问题。根据线性方程组解的结构，若要其特征向量存在，则特征方程的系数矩阵必不满秩，即其行列式为0，可根据此求向量的特征值，并通过求解线性方程组求出特征向量及其张成的向量空间。接着，给出特征值的一些性质，显然对角矩阵的特征值极易求出。结合相似矩阵的概念，引出了将方阵相似对角化的概念，然后用矩阵理论给出了方阵能否相似对角化的判别条件和相似对角化的方法。本章还着重研究了实对称矩阵的一些特殊性质，又根据正交矩阵特点，结合实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交的特点，说明了实对称矩阵可以正交相似对角化，这是研究二次曲面时坐标变换的基础。章末还介绍了一些特征值理论的应用，包括求多阶线性递推数列的通项公式等。

第七章在第四章的基础上，给出了定义了八条线性运算下的线性空间概念，这一部分老师不讲，也不作为考试内容，不过线性空间是线性代数的主要研究对象的几何描述，对于线性代数理论的完善和空间图形性质的研究也有很大帮助。（详情可见《对线性代数体系及矩阵的直观性理解》一文）

第八章的主要内容是二次型理论和空间中的二次曲面，介绍了二次型的概念以及相关定义后，主要讲解了如何将二次型化为标准型，一共三种方法，不过正交变换法最重要，因为在研究二次曲面时只能用这种方法。通过将一般二次型化为标准型，可以研究二次型的一般性质，包括正负惯性定律和正定矩阵的概念和判定。本章后半部分内容主要是二次曲面，这是本书中最重要的几何内容。从最基本的球讲起，柱面，旋转曲面，锥面，椭球面，双曲面，抛物面，几种最基本最重要的二次曲面分类介绍其图形、标准方程和性质（利用截痕法）。然后研究一般的一个三元二次方程到底代表什么曲面，这里用到了二次型理论，对二次型进行正交坐标变换，根据笛卡尔的坐标理论（不同直角坐标系中图形的性质不变），将其化为几种基本的二次曲面，最后通过讨论系数总结出空间中共17中二次曲面，而最特殊最有意义就是一开始介绍的那九种。

全书最后还附有多项式和Jordan标准型等高等代数中的内容，这是对课本内容的补充。作为大学必修的基础课程，线性代数内容在以后各个学科的专业科中都有体现，特别是计算机学科的图形分析，控制理论中的矩阵分析，量子力学中的矩阵力学等学科，矩阵都是主要的数学语言。学好这门生硬而严谨的课程，对以后专业学习将有很大的帮助，而在以后的熟悉和应用中，也必将对整个线性代数体系有着更深刻的理解。