蜗杆

双线蜗杆的两级优化设计

双导程蜗杆蜗轮传动是一个方便的消隙机构，它可用于精密机械工具和导向装置。目的是尽量减少蜗杆和齿轮之间的摩擦力。约束条件包括蜗杆几何体，应力，位移和蜗杆的固有频率。为了避免困难的三维优化问题，本文介绍一种两阶段优化方法。第一级优化使用一个近似模型，在这阶段蜗杆的线程是近似的元素。蜗杆和蜗轮的节圆直径、模数以及左右侧模块的差异是设计变量。第二级优化使用真正的三维实体模型与连续螺旋线确定最佳形状的蜗杆线程。实例表明这是可行的和有效的。

关键词：机械设计；双导程蜗杆；两阶段优化

引言

蜗轮蜗杆齿轮组是一个重要的机械传动机构，这一装置优点在于其较高减速比和紧凑的尺寸。这一机构的缺点是功率的损失相对其他类型的齿轮组高。工业上蜗杆蜗轮组主要用于减速器、导向和定位装置。因为蜗杆蜗轮组几何性质和动力传输机构不同于其他类型的齿轮，很多运动学和接触蜗杆和蜗轮齿的研究已经进行了1–[7]。

由于近年来高科技产业的蓬勃发展，对精密的机器和精密的制造工艺的需求迅速增加。精确定位的切割工具或工件的关注重点精密机械制造工艺。在机械领域精密齿轮和滚珠丝杠实现这些目标的关键部件。但是众所周知，即使在最高级别的精密齿轮中齿间间隙仍不能消除。反弹是影响定位精度的主要因素之一。黑尔和斯洛克姆[ 8]提到一些美国隙设计专利。其中之一是用于蜗轮蜗杆齿轮传动。其设计理念是类似于一个滚珠螺杆。在蜗杆的线程和蜗轮的齿牙之间插入滚珠，尽量减小蜗杆蜗轮之间反弹间隙。这种设计成本高。一种更便宜的方法，这是本文提到的，使用的是双导程蜗杆蜗轮组。蜗杆的双引线是特别设计的，有两种不同导致双向的蜗杆线程。由于不同的引导线，两侧的线程在轴向方向的厚度不同。这种设计的优点是蜗杆蜗轮之间的间隙可以通过旋转蜗杆轴调整最适宜的线程确保蜗杆与蜗轮齿配合来减小。拜尔和纂[ 9]讨论了几何型双导程蜗轮蜗杆。先进的数学模型可以用来做接触分析与研究。本文拜尔和纂[ 10 ]提出另外讨论接触牙齿，接触比率和双导程蜗轮蜗杆传动运动误差。它揭示了该型双导程蜗杆蜗轮传动高接触比率。

由于双导程蜗杆齿轮传动主要用于精密机械和导向机构，静态和动态变形接触线程必须减少或限制在可接受的水平。不像其他类型的齿轮带动，蜗杆的线程与蜗轮齿牙的滑动接触在蜗轮蜗杆传动中起重要作用。总之，滑动接触减小的摩擦力是精密蜗杆的设计的一个主要重点。此外，如果驱动器的速度非常低，高摩擦力有时可能导致运动部分发生静摩擦，这反过来将严重影响精密定位性能。因此，用于精密机器的双导程蜗轮蜗杆传动应该优化，降低摩擦力和线程变形量。本文研究动机是设计一个以c轴为回转中心的双导程蜗轮蜗杆传动机构。在铣削操作时，c轴以一个很低的速度旋转；准确定位、平稳旋转的是回转中心c轴关键问题。考虑到C轴需求的，设计的目的是尽量减少之间蜗杆线程与蜗轮齿牙

之间的摩擦力确保顺利回转平稳。为了确保蜗杆的强度和限制蜗杆线程轴向变形，强加在应力的约束，位移和基本蜗杆的固有频率。

双导程蜗杆

双导程蜗杆的螺纹如图1所示。图中，P0是蜗杆的轴向齿距，pl 是的螺纹左侧面的轴向间距和pr 是螺纹右侧面轴向齿距。t Δ是常见的pl 和p0以及pr 和p0之间的差， m 0是蜗轮的名义模数。虚线代表的是一个在螺纹两个表面上

轴向齿距p0相等的标准蜗杆的螺纹。由于螺纹两面轴向螺距不同，螺纹的厚度也不同，右手边的螺纹厚度逐渐增加。相邻螺纹的厚度相差t Δ2.左手边的螺纹厚度相应的减小。由于这个蜗杆螺纹的变化厚度，可以把蜗杆放在最合适的轴向位置，以消除蜗杆和蜗轮传动间隙。此外，为保持精密机器反弹间隙，可以运行在机器一段时间后通过不断调整蜗杆的轴向位置，补偿蜗杆螺纹和蜗轮齿牙接触面间的磨损。

双导程蜗杆设计中使用的一些基本方程，介绍如下[11]。基于蜗杆和蜗轮的几何关系蜗杆的轴向间距必须等于蜗轮齿距。因为在蜗杆螺纹表面有两种不同的螺距，蜗轮齿牙表面也存在两个不同的模式的齿牙与之吻合。

图1双线蜗杆的几何关系图

其中0p ，l p 和r p 分别表示标准螺纹轴向螺距、左侧面螺纹轴向螺距、右侧

面螺纹轴向螺距，也圆齿轮球场。o m ，l m ，r m 分别表示标准齿轮模数，左侧

面齿轮模数和右侧面齿轮模数。

轴向螺距的偏差计算

其中t Δ是左面和右面的轴向螺距距与标准轴向螺距之间的偏差。

图2展示了与双线蜗杆相对应的蜗轮齿的两面，在图中，gr d 和gl d 分别表示

左面和右面螺纹的节圆直径。由于蜗轮的左侧面与蜗杆的右表面接触，为了与蜗杆下标保持一致，这里下标r 表示蜗轮左表面和下标l 表示蜗轮右表面。由于蜗轮齿牙两表面上的模数不同，导致两个节圆直径也不同。

图2 蜗轮齿的几何关系图

其中，gl d 和gr d ，分别是左、右齿轮节圆直径，G N 是蜗轮齿数。

蜗杆相应的节圆直径为：

式中，wl d 和

wr d 分别是左、右蜗杆节圆的直径，w d 是

蜗杆标准直径。

因为在蜗轮两个面上的节圆直径是不同的，两个表面上的接触点也会相对标准位置移动（1/2）G mN Δ，吴从名义位置呈放射状。无论在何处发生接触，

接触位置应局限于蜗杆和蜗轮齿顶圆之内，因此必须满足以下约束

螺纹的两个表面的导程角为

又

其中，λl 和λr 分别为左、右螺纹表面的导程角，

蜗杆螺纹的延伸渐开线角度可以由下列公式计算：

l α和r α为蜗杆的左、右导程角度;o α为蜗杆的标准导程角。

要防止削弱，必须满足以下条件：

一般蜗杆的节圆直径w d 可以是任意的，但是，对于蜗轮装置的优化马力能

力，它应该在以下范围[12]。

其中C 是的蜗杆和蜗轮之间的中心距离（英寸）。

双线蜗杆的优化设计

由于蜗杆引导线和作用在蜗杆表面的力连续是连续的，

蜗杆不能被视为一个轴对称结构，因此最佳双导程蜗杆的设计被列为一个三维优化问题。但一个三维优化需要改变节点的位置，以形成最佳形状，在现实世界中它是一种最困难的优化问题。实际上，很少发现真正应用三维优化。抛开追踪3-D 有限元模型实体元素的轨迹和移动点的难度，本文提出了一种两阶段的移动节点形状优化，解决蜗杆设计问题。

因为螺纹的轴向主要取决于蜗杆的直径，

在第一阶段接近双导程蜗杆的螺纹板元素如图3所示。蜗杆用3-D 实体元素模拟和螺纹用四边形板单元元素模拟。钢板厚度是一个半蜗轮螺距。在这个阶段的设计中使用的变量包括蜗轮标准模数o m ，模数偏差m Δ，蜗杆标准节圆直径w d 。这种近似模型的优点在于轴和螺纹

有规律可寻，并在形状优化过程可以很容易地跟踪和移动，这解决了最困难的四面体实体单元网格再划分的结构移动点的问题。确定最佳值后蜗杆的标准节圆直径和齿的模数，真正的创建蜗杆的3-D 连续螺旋螺纹固元模型并用于第二阶段的优化。图4显示了蜗杆有限元模型第二阶段的优化。由于压力角通常约为14.5，根据这个初步形成的线程的内部节点可以保持不变，只有螺纹表面节点可以使一个小的变化，形成了线程的最佳形状。这样可避免复杂的3-D 优化，找到有效的近优化解决方案。

图3第一优化阶段的有限元模型

优化的目标是尽量减少蜗杆和蜗轮之间的摩擦力，使功率损失可以最小化，并可以保持平稳的运动。计算蜗杆线程和蜗轮牙齿之间的正常接触力的公式包括参数o m ，m Δ和压力角o α。但是，在第一阶段优化，蜗杆螺纹由板元素模拟，钢

板厚度与压力角无关。因此需要一个替代的目标函数。由于摩擦力与螺纹导角有间接关系，所以导角被选为这个阶段的目标函数。由于较大的导角导引起较小的摩擦力，目标从而成为最大限度的导角。施加在蜗杆螺纹轴向上的约束，蜗杆的结构应力，蜗杆的固有频率和蜗杆的

图4第二优化阶段的有限元模型

几何形状。第一优化阶段给出如下数学公式：

最大

约束

z δ是螺纹的轴向偏转;y S 是蜗杆的屈服强度; n 为安全系数，

C 为蜗杆和蜗轮的中心之间距离。方程（17）是第一个约束，这就需要最大的线程的三个轴向位移且小于一个给定的u δ，以确保准确的定位。方程（18）要求三个最大的米塞斯应力，且要小于许应力。方程（19）是一几何约束，从而防止了蜗杆螺纹的齿根圆小于零。方程（20）确保该蜗杆和蜗轮的接触点在齿顶圆范围内。方程（21）和（22）分别为左和右边的螺纹面导角角度约束。为了更好的定位精度，导角通常小于15?。然而，为降低摩擦力导角应该尽可能大。为了增加螺纹的导角，使用双牙螺纹。虽然C 轴以非常低的速度旋转，车削中心仍然可以运作到3000转/小时，因此式（23）被用来强制使蜗杆的固有频率不大于50赫兹，以减少高速运行过程中的动态偏转。方程（24）和（25）是限制蜗杆中径的，

建立方程（26）、（27）为避免倒扣，方程（28） - （30）设计变量方面的限制约束。

完成第一阶段的优化后，获得最佳值传递到第二优化阶段。设蜗轮模数o m 和蜗杆节圆直径w d 在第二阶段优化中为恒定参数，从先前的优化获得的m Δ使用，

在第二阶段用于优化的初步设计。从第一优化阶段的3-D 实体元素模型的最优值螺纹连续螺旋线被创建作为第二优化阶段的初始模型。图4显示了四面体单元3-D 实体元素模型。这个优化阶段设计变量包括m Δ和标准蜗轮压力角n Φ。每当

压力角变化时，蜗杆螺纹的形状相应的发生变化。随着螺纹形状的变化，蜗杆螺纹表面上的动点也会改变他们的位置。如果螺纹的初始形状跟优化形状差异不大，内部节点没有必要重划网格。因为设计目的是尽量减少蜗杆螺纹和蜗轮齿之间的摩擦力，这个阶段的目标函数定义为蜗杆螺纹和蜗轮之间的标准力和方程（31）给出的力。在第一优化阶段次使用的大多数约束在这个阶段也有效，优化公式如下所示：

最小值

约束

其中wt f是蜗杆螺纹的切向力;l f蜗杆螺纹和蜗轮齿之间是正常的作用力;nΦ

是正常的齿轮压力角，lλ是左侧面蜗杆螺纹导程角，μ是蜗杆和蜗轮之间摩擦系

数，值是0.04 [12]。螺纹两面上的正常的力是不同的。由于螺纹左表面上的导角较小，这将导致一个更大的正常力，因此方螺纹的左表面上左边正常力的选择，要尽量减少。约束包括第一优化阶段所有约束，除几何关系和中心距离约束。

这些优化问题已通过序列线性规划法得以解决。一些所需的灵敏度数据，通过区分明确的目标函数和明确的约束函数可以很容易地得到。其他的通过融合演算链规则的MSC / Nastran软件获得。

数值例子

设计的例子是双导程蜗杆和蜗轮传动C轴为车削中心的实际应用，使用伺服电机转速为30 r/min ,输出功率率为0.1193 kw。作用在蜗杆上的相应切向力是1563.4 N。蜗轮齿轮是60。由于蜗杆具有双牙螺纹，蜗轮的输出速度1 r/min。基于齿轮组的初步设计，有三对蜗杆蜗轮接触。作用在蜗杆上的总力由三个与蜗轮接触的螺纹分担。提到西蒙的[13]双包络环面蜗杆齿轮组的工作，经计算三个接触螺纹分担的负载分别是3001N（45％），2334 N（35％）和1334 N（20％）。第一个螺纹分担总负载最大的部分，载荷沿压力线分布。蜗杆螺纹和蜗轮齿之间的接触面积应包括许多结点。由于没有实验可以进行接触面积测量和该区域力的分布，单点接触假设是关键的解决方法。等效荷载，施加到最接近压力线的三个节点。蜗杆使用的材料是AISI1144合金钢材，屈服强度为572GPa，杨氏弹性模量为207 GPa，泊松比为0.292，密度为7790 kg/m3。

第一优化阶段的有限元模型具有2309个节点，1920个3-D实体元素和300个板元素。第二优化阶段使用有限元模型有4562 和19642个四面体固体元素。在机械领域，由于在外力作用下定位精度主要是由螺纹的轴向偏差决定，给出了

两种不同的轴向偏差约束，显示不同的优化结果。一个约束的上限uδ被定为9 um （案例1），另一种是5 um（例2）。为避免大蜗轮，标准模数

m上限被设定

o

为5mm/齿。材料的屈服强度安全系数?为1.4。

两种不同的轴向偏转约束优化结果案分别列于表一（例1）和表二（2）。

表一u

δ=9um的优化结果

表二 u δ=5um

的优化结果

由表格可以看出影响轴向偏差主要因素是蜗杆螺纹的分度圆直径和蜗轮的模数。蜗轮标准模数o m 上述两种情况下已被设置到上限。较大的蜗杆螺纹一定

会减少当地的蜗杆偏差。当收紧轴向偏转约束时，蜗杆节圆直径显著增加，这也是合理的因为节圆直径的增加，减少了蜗杆轴的横向挠度，从而降低的蜗杆螺纹的轴向和旋转变形。模数偏差m Δ也会由式（20）达到其上限， 较大的m Δ将需

要一个较小的轴向调整补偿间隙磨损，因此，蜗杆和蜗轮将有一个较长的运行寿命。较大的节圆直径会带来另一个好处，就是由于较大直径的蜗杆节线速度增加，这将减少在恒定的输送功率和转动速度前提下驱动蜗杆所需要的切向力，法向接

触

f和摩擦力相应减小。蜗杆的节圆直径大的缺点是增加了转动惯量，可能需要l

避免蜗杆的这种惯性上限。图5展示优化双线蜗杆的产品图片。

图5 双线蜗杆

结论

与其他设计相比，双导蜗杆蜗轮组是一个相对便宜传输机制，可以最大限度地减少相应牙齿之间的间隙。设备可用于精密机床和精密分度表。为了解决这个高度困难的3-D形状优化问题，已经提出一个两阶段的优化方法并成功地应用于设计精密蜗杆。第一阶段有意使用2 D 面元素来模拟螺纹，以避免在3-D 优化使用结点作为设计变量的窘境。第二阶段采用真正的3-D模型设计螺纹的形状。螺纹表面的节点只允许小的变化，以确定线程的最佳角度，螺纹内部的节点保持不变。优化后蜗杆可以以非常低的转速旋转，在旋转过程中保持最小的摩擦力，显着提高了精密仪器的质量。本文提出的两阶段优化方法也可用于其他类似的机械元件的设计如电源螺丝或特殊螺纹。

鸣谢

这项研究是由中华人民共和国国家科学委员会支持，合约编号

NSC87-2218-E-005-005。

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