【解析版】浙江地区杭州市余杭区仁和中学2014-2015年度学年九学年上期末数学试卷
2014-2015学年浙江省杭州市余杭区仁和中学九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，则的值为（）
A． 3 B．﹣3 C． D．
2．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）
A．﹣2 B． 2 C．﹣1 D． 1
3．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是（） A． m＞0 B． m≥0 C． m＞0且m≠1 D． m≥0，且m≠1
4．如图，不是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
5．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（）
A． 135° B． 120° C． 110° D． 100°
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
7．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）
A． B． C． D．
8．已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是（）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．
10．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是．
11．在半径为的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n= ．
13．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6=0，当m= 时为一元二次方程．
14．将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是
．
三、解答题（共58分）
15．解方程． x2﹣+2=0
16．如图，是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
18．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
19．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD ∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
21．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy，O、A、B三点均为格点．
（1）直接写出线段OB的长；
（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B所经过的路径的长度．
22．在一个不透明的口袋中有四个手感完全一致的小球，四个小球上分别标有数字﹣4，﹣1，2，5
（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明的数是奇数的概率是多少？
（2）从口袋中随机摸出一个小球不放回，再从中摸出第二个小球
①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果？
②求依次摸出的两个小球所标数字为横坐标，纵坐标的点位于第四象限的概率有多大？
23．某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）若养鸡场面积为168m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长．
（2）请问应怎样围才能使养鸡场面积最大？最大的面积是多少？
（3）养鸡场面积能达到205m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
24．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年浙江省杭州市余杭区仁和中学九年级
（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，则的值为（）
A． 3 B．﹣3 C． D．
考点：根与系数的关系．
分析：由方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得x1+x2=3，x1+x2=﹣1，再把它代入要求的式子即可得出答案．
解答：解：∵方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=3，x1x2=﹣1，
∴==﹣3；
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q性质的应用．
2．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）
A．﹣2 B． 2 C．﹣1 D． 1
考点：二次函数的最值．
分析：考查对二次函数顶点式的理解．抛物线y=（x﹣1）2+2开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2即为函数的最小值．
解答：解：根据二次函数的性质，当x=1时，二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是2．
故选：B．
点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
3．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是（） A． m＞0 B． m≥0 C． m＞0且m≠1 D． m≥0，且m≠1
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
分析：令△=b2﹣4ac≥0，且二次项系数不为0，即可求得m的范围．
解答：解：由题意得：4m2﹣4（m﹣1）m≥0；m﹣1≠0，
解得：m≥0，且m≠1，
故选D．
点评：一元二次方程有实数根应注意两种情况：△≥0，二次项的系数不为0．
4．如图，不是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形．
分析：根据中心对称图形的概念即可求解．
解答：解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知A、B、C是中心对称图形；D不是中心对称图形．
故选D．
点评：掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=a，则a的值为（）
A． 135° B． 120° C． 110° D． 100°
考点：圆周角定理．
分析：先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，再运用周角360°即可解．
解答：解：∵∠ACB=a
∴优弧所对的圆心角为2a
∴2a+a=360°
∴a=120°．
故选B．
点评：本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：压轴题；动点型．
分析： OM最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．解答：解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB=8
∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4
∴OM最短为=3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2．
故选A．
点评：解决本题的关键是：知道OM最长应是半径长，最短应是点O到AB的距离长．然后根据范围来确定不可能的值．
7．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）
A． B． C． D．
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
8．已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是（）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
考点：圆与圆的位置关系．
分析：已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，根据圆心距大于半径之差小于半径之和进行作答．
解答：解：∵两圆的半径分别是3cm和5cm，圆心距为3cm，
5﹣3=2，3+5=8，
∴2＜3＜8，
∴两圆相交．
故选A．
点评：本题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是熟知两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．
考点：关于原点对称的点的坐标．
专题：常规题型．
分析：由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．
解答：解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
点评：考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是8 ．
考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质．
分析：由PA，PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，即可求得PA=PB，又由∠P=60°，即可证得△PAB是等边三角形，由PA=8，则可求得弦AB的长．
解答：解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，
∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB=PA=PB，
∵PA=8，
∴AB=8．
故答案为：8．
点评：此题考查了切线长定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，解题的关键是注意熟记切线长定理，注意数形结合思想的应用．
11．在半径为的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于 2 ．
考点：弧长的计算．
分析：弧长公式为l=，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
解答：解：l===2，
故答案为：2．
点评：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n= 3 ．
考点：概率公式．
专题：计算题．
分析：先求出这个不透明的盒子中装有2+n个球，根据概率公式列出算式=，从而求
出答案．
解答：解：这个不透明的盒子中装有2+n个球，
又∵从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
∴=，
解得n=3，
故答案为3．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6=0，当m= ﹣1 时为一元二次方程．
考点：一元二次方程的定义．
分析：根据一元二次方程的定义列出方程和不等式求解即可．
解答：解：∵关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6=0，为一元二次方程，
∴，
解得：m=﹣1．
点评：本题考查一元二次方程的定义．
判断一个方程是否是一元二次方程必须具备以下3个条件：
（1）是整式方程，
（2）只含有一个未知数，
（3）方程中未知数的最高次数是2．
这三个条件缺一不可，尤其要注意二次项系数m﹣1≠0这个最容易被忽略的条件．
14．将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是
y=2x2﹣1 ．
考点：二次函数图象与几何变换．
专题：数形结合．
分析：由于抛物线向下平移1个单位，则x'=x，y'=y﹣1，代入原抛物线方程即可得平移后的方程．
解答：解：由题意得：，
代入原抛物线方程得：y'+1=2x'2，
即y=2x2﹣1．
故答案为y=2x2﹣1．
点评：本题考查了二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系．
三、解答题（共58分）
15．解方程． x2﹣+2=0
考点：解一元二次方程-公式法．
专题：计算题．
分析：把a=1，b=﹣2，c=2代入求根公式计算即可．
解答：解：∵a=1，b=﹣2，c=2，
∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=0，
∴x===，
∴x1=x2=．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：
x=（b2﹣4ac≥0）．
16．如图，是某几何体的平面展开图，求图中小圆的半径．
考点：弧长的计算．
分析：可观察此图是一个圆锥的展开面，则利用小圆周长是弧长，列出方程求解即可．解答：解：这个几何体是圆锥，假设图中小圆的半径为r，
∵扇形弧长等于小圆的周长，
即l==2?π?r，
∴．
点评：本题的关键是理解底面积的周长是弧长，然后列方程求解．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
考点：切线的判定．
专题：几何综合题．
分析：（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．
（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．
解答：（1）证明：连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．（1分）
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴∥AC．（2分）
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．（3分）
（2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：，（4分）
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．（5分）
∴．
∴．
∴AC=6．（6分）
点评：本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质．
18．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
考点：二次函数的应用．
专题：方案型．
分析：（1）总利润=每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，再求当w=1200时x的值；
（2）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．
解答：解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250
（1）当w=1200时，﹣2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）解：商场每天盈利（40﹣x）（20+2x）
=﹣2（x﹣15）2+1250．
当x=15元时，商场盈利最多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．
点评：本题重在考查根据题意写出利润的表达式是此题的关键．
19．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD ∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
考点：垂径定理的应用；勾股定理．
分析：（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；
（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，然后利用，所以经过
2小时桥洞会刚刚被灌满．
解答：解：（1）∵直径AB=26m，
∴OD=，
∵OE⊥CD，
∴，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
点评：此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．
20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
考点：抛物线与x轴的交点．
专题：代数综合题．
分析：（1）将（﹣1，0）和（0，﹣3）两点代入二次函数y=x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式；
（2）令y=0，解得x1，x2，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；
（3）由图象得当﹣1＜x＜3时，y＜0．
解答：解：（1）由二次函数y=x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，
得（1分）
解这个方程组，得（2分）
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（3分）
（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0．
解这个方程，得x1=3，x2=﹣1．
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．（5分）
（3）当﹣1＜x＜3时，y＜0．（6分）
点评：本题是一道综合题，考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式．
21．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy，O、A、B三点均为格点．
（1）直接写出线段OB的长；
（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B所经过的路径的长度．
考点：作图-旋转变换；弧长的计算．
专题：计算题；网格型．
分析：在网格里，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°，需要充分运用网格，坐标轴的垂直关系画图，计算弧长，要明确这段弧的圆心O，半径OB．
解答：解：（1）OB=3；
（2）图形如右图．
==．
点评：在网格或者坐标系里对图形旋转90°或180°，要充分运用已有的垂直关系画图．
22．在一个不透明的口袋中有四个手感完全一致的小球，四个小球上分别标有数字﹣4，﹣1，2，5
（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明的数是奇数的概率是多少？
（2）从口袋中随机摸出一个小球不放回，再从中摸出第二个小球
①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果？
②求依次摸出的两个小球所标数字为横坐标，纵坐标的点位于第四象限的概率有多大？
考点：列表法与树状图法；概率公式．
分析：（1）利用古典概率的求解方法即可求得答案，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
解答：解：（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明是奇数的概率是P==0.5；
（2）①用表格表示摸出的两个小球所标数字所有可能出现的结果如下所示：
第一次摸出小球的数字第二次摸出小球后
所构成的坐标组合
﹣4 （﹣4，﹣1）（﹣4，2）（﹣4，5）
﹣1 （﹣1，﹣4）（﹣1，2）（﹣1，5）
2 （2，﹣4）（2，﹣1）（2，5）
5 （5，﹣4）（5，﹣1）（5，2）
②位于第四象限的点有（2，﹣4）、（2，﹣1）、（5，﹣4）、（5，﹣1）这四个，
依次摸出两个小球所标数字为横、纵坐标的点位于第四象限的概率有P==．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，以及古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）若养鸡场面积为168m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长．
（2）请问应怎样围才能使养鸡场面积最大？最大的面积是多少？
（3）养鸡场面积能达到205m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
考点：二次函数的应用．
分析：（1）首先设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米，然后根据题意可得方程x（40﹣2x）=168，即可求得x的值，又由墙长25m，可得x=14，则问题得解；
（2）设围成养鸡场面积为S，由题意可得S与x的函数关系式，由二次函数最大值的求解方法即可求得答案；
（3）根据（2）中的结果，即可知养鸡场面积不能达到205米2．
解答：解：（1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米，
则 x（40﹣2x）=168，
整理得：x2﹣20x+84=0，
解得：x1=14，x2=6，
∵墙长25m，
∴0≤BC≤25，即0≤40﹣2x≤25，
解得：7.5≤x≤20，
∴x=14．
答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米．
（2）围成养鸡场面积为S，
则 S=x（40﹣2x）=﹣2x2+40x=﹣2（x2﹣20x）=﹣2（x2﹣20x+102）+2×102=﹣2（x﹣10）2+200，∵﹣2（x﹣10）2≤0，
∴当x=10时，S有最大值200．
即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值200米2．
（3）不能，由（2）可知养鸡场面积最大值200米2，故养鸡场面积不能达到205米2．
点评：此题考查了一元二次方程与二次函数的实际应用．解题的关键是理解题意，根据题意列方程与函数．
24．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．
①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．
②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．
解答：解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，
设解析式为y=a（x﹣）2+k．
把A，B两点坐标代入上式，得，
解得a=，k=﹣．
故抛物线解析式为y=（x﹣）2﹣，顶点为（，﹣）．
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x﹣）2﹣，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2××OA?|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）2+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．
①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）2+25=24．
化简，得（x﹣）2=．
解得x1=3，x2=4．
故所求的点E有两个，
分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
点E1（3，﹣4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E2（4，﹣4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是（3，﹣3），
而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识．综合性强，难度适中．