用二分法求方程的近似解-经典例题及答案上课讲义
用二分法求方程的近似解-经典例题及答案
例1:利用计算器，求方程X 2 2x 1 0的一个近似解(精确到0.1) 【解】设f (x) x 2 2x 1， 先画出函数图象的简图.'i (如右
图所示) 丨 因为
；
f(2) 1 0, f (3) 2
0，
所以在区间(2,3)内，方程x 2.5，因为
f (2.5) 0.25 0，
所以 2人 2.5.
再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) 0.4375 0，
所以2.25 治 2.5. 如此继续下去，得
f(2)
0, f(3)
人(2,3) f(2) 0, f(2.5) 0 捲(2,2.5)
f(2.25) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.25, 2.5) f (2.375)
0, f (2.5) 0
x 1 (2.375,2.5)
f (2.375)
0, f (2.4375) 0 为(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到
0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为
洛 2.4 .
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 .
点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算 机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一 个长度为1的区间；
②建议列表样式如下：
零点所在 区
间
区间中点函数 值 区间长 度 [2,3] f(2.5) 0 1 [2,2.5] f (2.25) 0 0.5 [2.25,2.5] f (2.375) 0 0.25 [2.375,2.5]
f (2.4375)
0.125
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一 步.
1 0有一解，记为x 1.取2与3的平均数
例
2:利用计算器，求方程lgx 3 x 的近似解(精确到0.1)
1--
3 4
I I
斗-
3-'
分析：分别画函数y lg x 和y 3 x
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3
此，这个点的横坐标就是方程Igx 3 x 的解?由函数y Igx 与y 3 x 的图 象可以发现，方程
Igx 3 x 有惟一解，记为x i ，并且这个解在区间(2,3)内.
【解】设f(x) Igx x 3，利用计算器计算得
f(2) 0, f(3)
x 1 (2,3) f (2.5)
0, f (3) 0 x 1
(2.5,3)
f(2.5)
0, f (2.75) 0 x 1
(2.5,2.75) f (2.5) 0, f (2.625)
x 1 (2.5,2.625)
f (2.5625) 0, f (2.625) 0 x 1
(2.5625,2.625)
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为
x 1 2.6 .
思考：发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法 ――迭代法.
除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等. 例3:利用计算器，求方程2x x 4的近似解(精确到0.1)
与y 4 x 的图象，由图象可以知道，方程2x x 4的解在区间(1,2)内，那么 对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 x 1.4.
追踪训练一
1. 设X 。是方程In x x 4的解，贝U X 。所在的区间为(B ) A . (3,4) B. (2,3)
C . (1,2)
D . (0,1)
2. 估算方程5x 2 7x 1
0的正根所在的区间是 (B )
A . (0,1)
B . (1,2)
C . (2,3) D. (3,4)
3. 计算器求得方程5x 2 7x 1
0的负根所在的区间是(A )
A . ( 1，0)
B .
2, 1
【解】方程2x 可以化为2x 4 x 4 x .
分别画函数y 2x
C. 2.5, 2
D. 3, 2.5
精品资料
0,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5
4. 利用计算器，求下列方程的近似解（精确到0.1） (1) Ig 2x x 1 (2)
3x x 4
答案：(1) 0.8(2) X i
3.9 , X 2
1.6
例4:二次函数f （x ） px 2 qx r 中实数p 、q 、r 满足」- m 2
其中m 0 ,求证: ⑴p f （角0）；
（2）方程f （x ） 0在（0,1）内恒有解.
分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据: 内的数，且pf （旦）0，这就启发我们把区间（0,1）戈扮为（0,
m 1 —，1 ）来处理.
m 1
【解】（1）
2
2 r
m(m 2) (m 1) p m[ 2 ] (m 1) (m 2)
2
p m 2 ，
(m 1)2(m 2)
由于f （x ）是二次函数,故p 0，又m 0，所以，pf （—二）0 .
m 1 ⑵由题意，得f （0） r , f （1） p ①当p 0时，由（1）知f （匹）
m 1
若 r 0,贝 U f （0） 0，又 f （卫）
m
m 1
所以f （x ）在（0， -------- ）内有解.
m 1
是区间(0,1)
m 1
pf(jm -) m 1
P[P 宀2 m 1
q ([) m 1
r]
pm[^m?
(m 1)
丄]
m
pm[*
(m 1)
精品资料
0,
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6 若 r 0，贝U f(1) p q r p (m 1)
(_E
L) r -B - 0,又 f(-^) 0,所以 f(x) 0在
m 2
m m 2 m m 1
(旦，1 )内有解.
m 1 ②当p 0时同理可证.
点评：(1)题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p 0 .若将题中 的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.
(2)对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对 p 分类，然后对r 分类显然是比较好. 追踪训练二 1.
若方程2ax 2 x 1 0在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是
(B )
1
A . [ -, )
B . (1,)
8
1
C . (
,1) D . [ -,1)
8
2. 方程x 2 2x 2k 1 0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围
是1
k 1 ;
2
3. 已知函数f(x) 2mx 4，在[2,1]上存在X 。，使f(x 。)0 ,则实数m 的取 值范围是 ____ m 1或 m 2 _______________ .
4. 已知函数f x x 3 4 x ⑴试求函数y f x 的零点；
⑵是否存在自然数n ，使f n 1000 ?若存在，求出n ，若不存在，请说明理 由.
答案：(1)函数y f (x)的零点为x 0 ; (2)计算得 f (9)
738， f (10) 1010，
由函数的单调性，可知不存在自然数
n ，使f n 1000成立.