单相短路电流计算

1、替代定理

在任意具有唯一解的电路中，某支路的电流为i k ，电压为u k ，那么该支路可以用独立电压源u k ，或者独立电流源i k 来等效替代，如下图所示。替代后的电路和原电路具有相同的解。

图1.1

2、叠加定理

由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一电压或电流，等于每一个独立电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。

注意点：（1）只适用于线性电路；（2）一个电源作用，其余电源为零，如电压源为零即电压为零——>短路，电流源为零即电流为零——>开路；（3）各回路电压和电流可以叠加，但功率不能叠加。

3、三相系统及相量图的应用

3.1 交流变量

正常的电力系统为三相系统，每相的电压和电流分量均随着时间作正弦变化，三相间相互角偏差为120°，比如以A 相为基准，A 相超前B ，B 相超前C 各120°，就构成正序网络，如下式所示：

)120sin()360240sin()240sin();

120sin();

sin( ++=+-+=-+=-+=+=?ω?ω?ω?ω?ωt U t U t U u t U u t U u m m m c m b m a 以A 相为例，因为三角函数sin 是以360°（或2π）为周期变化，所以随着时间t 的流逝，当?ω+t 值每增长360°（或2π）时，电压ua 就经过了一个

周期的循环，如下图所示：

图3.1

如上图，t代表时间，?代表t=0时刻的角度（例如上图中ua当t=0时位于?），ω表示角速度即每秒变化多少度。例如电网的频率为50Hz，原点，即代表0

=

每秒变化50个周期，即变化50*360°或者50*2π。此处360°和2π仅是单位制的不同，分别为角度制和弧度制，都是代表一个圆周；值得注意的是用360°来分析问题更加形象，而2π为国际单位制中的标准单位，计算时更通用。

3.2 向量的应用

用三角函数分析问题涉及较为繁琐的三角函数计算，图3.1的正弦波形图可表示出不同周期分量的峰值和相差角度，但使用范围有限。为此，利用交流分量随时间做周期变化，且变化和圆周关系密切的特点，引入向量如下，方便交流分量的加减乘除计算：

图3.2

上图中黄色箭头表示A相电压ua，用长度表示电压峰值，与实轴的夹角代

?），Ua随着时间变化以角速度ω绕表t=0时刻的角度?（设t=0时刻角度为0

=

0点做圆周运动。任一时刻t=t1时，Ua在虚轴上的投影就是Ua的瞬时值。正常的电力系统为三相正序系统，众所周知A相超期B相120°，B相超期C相120°，所以在3.2图中逆着旋转方向120°和240°分别画出B、C相电压的向量。

虽然图3.2仅能t=0时刻各向量的值，但考虑到在频率一致的系统中各电压、电流的分列转速ω是一样的，各向量的相对角度位置是固定不变的，所以在t=0的时刻图中对各向量进行计算结果也是以ω速度转动。同时，多数工程计算仅要求计算各电压电流分量的峰值、有效值或各电气量间的相对关系，因此用t=0时刻的向量图进行分析具有普遍意义。

3.3 向量加减

图3.3

如上图，向量相加遵循平行四边形法则，向量相减遵循三角形法则（相减后向量指向被减数）。

4、对称分量法

4.1 对称分量法的概念

任意不对称的三个相量可以分解为三组相序不同的对称分量叠加而成。如图

4.1，正负零序分量分别用红、蓝、绿三个颜色表示。零序分量中ABC 三相相位完全相同，负序分量ABC 三相的相互位置关系刚好与正序相反A 滞后B ，B 滞后C 均为120°。通过数学的方式可以证明：任意一个不规则三相的分量（下图中粉色部分）肯定可以分解为三个规则的正、负、零三个分量叠加而成。证明过程有兴趣可以看相关教材，这里关键是记住这个结果：

0210

210

21c c c C b b b B a a a A U U U U U U U U U U U U ++=++=++=

图4.1

4.2 对称分量法的应用

下面就以简单的系统接线进行分析，如图4.2为有发电机（即电源）、变压器和线路组成的回路，其中A 相线路发生单相接地故障，我们可以等效为A 相通过阻值为零的电阻接地，B 、C 相通过阻值为∞的电阻接地。单相短路和三相短路不同，由于其不对称，不能同计算三相对称短路电流一样简单地取一相分析即可代表三相。对此，我们需利用前面讲到的替代定理、对称分量法和叠加定理

将复杂的不对称电路等效成简单的对称电路：

图4.2

根据替代定理，三个电阻可以用三个电压源来替代，当然三个电压源均为未知数，如图4.3：

图4.3

图4.3的回路除电压源Uda、Udb和Udc外均为对称的，若用对称分量法将不对称的分量分解成三个对称的分量，如图4.4：

图4.4

如图4.4表示的电气回路，总共含12个电压源，Ufa（bc）和Uda（bc）1为正序电源，Uda（bc）2为负序电源，Uda（bc）0为零序电源。对此逆向使用叠加定理，将回路分解成三个回路，如图4.5、4.6和4.7：

图4.5 正序回路

图4.6 负序回路

图4.7 零序回路

经分解，一个不对称的回路分解成三个对称的回路，这样对三个对称的回路即可从单相角度出发考虑，简化问题。例如，按图4.2，该初设回路是A相发生短路，这样分别计算出三个分解回路中Ida1、Ida2和Ida0，将三个相量相加即可求成A相对地短路时的入地电流。值得重复强调的是，叠加定理中，某一分解支路中不体现的电压源以短路处理，例如发电机的等效电压源为正序，在零负序回路中不体现，以短路处理。

对4.5~4.7的回路简化为单相回路（以A相为例）如图4.8：

图4.8 三个分解回路单相化分析

进一步简化如下：

图4.9

零、负序回路将阻抗相加以简化回路，得出零序阻抗X0和负序阻抗X2，这既是我们常说的系统零序阻抗和系统负序阻抗，可见系统零（负）序阻抗和短路点位于何处关系密切。

正序回路的简化则利用戴维南定理，将短路点左侧部分等效成一个电压源和一个电阻，只不过这个正序回路比较简单，无其它分支，等效电源源利用原发电机电压即可，正序阻抗X1采用各阻抗相加。

4.3 针对单相接地短路进行分析

从图4.9中看，未知量为Uda1、Uda2、Uda0、Ida1、Ida2和Ida0，算上三相共18个。已知量为:

各阻抗值X1、X2、X0，

电压UD(0)，

Uda1、Udb1、Udc1的相互关系，即A 超前B ，B 超前C 均为120° Uda2、Udb2、Udc2的相互关系，即A 滞后B ，B 滞后C 均为120° Uda0、Udb0、Udc0的相互关系，即三者完全相等

因为A 相短路，所以Uda1+Uda2+Uda0=0

由以上已知条件列出几个方程求解，求解过程有兴趣可自行看教程学着推导，不难计算。工程中关键是记住下列结果,非常重要：

021)

0(1;021da da da D da I I I X X X U I ==++=（指的都是相量）

结合图4.9的三个回路，不难推导出Uda1、Uda2、Uda0三个值。这样可分别通过图4.8求出整个电网任何一点的电压或电流值的三序分量，然后相加即可得知该电网在单相接地短路时刻任一点的实际电压或实际电流。

至于两相短路、某些相断线运行等情况请自行查询教材，能看懂推导过程最好，最重要是知道几个重要结果，知道如何运用。

5、设备、导体在各序网下的阻抗值

图4.4的简化电网接线图所含的设备有发电机、变压器和架空线路（或电缆），在正序回路下它们的阻抗值计算方法同计算三相短路电流中的方法。

发电机在正负零序下的阻抗值均不一样，计算比较复杂，一般考虑有厂家提供。

架空线（或电缆）的负序阻抗同正序阻抗，零序阻抗和正序阻抗差别较大，将在过电压与绝缘配合阶段详述。且线路的阻抗值较小，对网络分析影响不大，有兴趣可先查询工具书。

变压器的正序阻抗和负序阻抗相同，其零序阻抗的计算是不对称回路分析的重点，本部分针对其详细论述。

5.1 安培环路定律

电流产生磁场，如图5.1，i 为无限长导体中流过的电流，B 为磁感应强度，也叫磁通密度，磁感应强度与电流关系式为?=i dl B

μ（按右手螺旋方向），μ为

磁导率。磁场强度乘以圆周路径等于圆周中穿过的电流值。（此处与传统电磁场中不同，避开了磁场强度H 不谈，简化以方便理解，有兴趣可查询电磁场）

图5.1

对于一个空芯的绕组，其中通过电流产生的磁通如图5.2所示，按右手螺旋方向往空间发散。

图5.2

5.2 变压器磁路分析

如图5.3为一台单相变压器的简图，高压绕组匝数为N1，接至交流电压源u，低压绕组匝数为N2，断开运行。通过高压绕组的电流为i，高低压绕组均缠绕在铁芯上。容易看出，图5.3是在图5.2的基础上增加一个穿过绕组的环形铁芯，在铁芯的另一侧绕一个开断的线圈。

图5.2 单相变压器简图

对于加了铁芯之后的磁场分布，可分析如下：电流i是产生磁场的源头，可以理解为磁压，磁场感应B（又叫磁通密度）可以理解为磁压i在空间中任一点引起的磁流密度。在此我们可发现磁场和电场有高度的相似性，图5.2中可理解为磁场以空气为媒介，磁流在空气中发散；图5.3加入铁芯后，由于铁芯的磁导率μ远高于空气（或者理解为磁阻小得多），类似于电场里的短路一般，磁流基本都集中到了铁芯中，环形铁芯形成了一个磁流回路，设铁芯的截面不变，均为A，那任一点的磁流密度基本不变，即铁芯中任一点的B值都相等。若铁芯周长

为D ，因为B 值在铁芯中保持不变，可将复杂的积分式子?

=i dl B μ简化为

i N D B *1*=μ。这里值得注意的是因为高压绕组匝数为N1，相当于有N1个电流i 穿过，因此磁压用N1*i 表示。然后进行如下推导： 磁通密度（磁流密度或磁感应强度）D

i N B μ**1= 将磁通密度乘以截面积就得到磁通（类似于电流密度乘面积得到电流），即磁通D

A i N A

B ***1*μφ== 根据物理学上的楞次定律，变化的磁场可以感应出电场，所以铁芯中的磁通在每一匝绕组中产生的电压为dt

d u φ='，在高压绕组中产生的电压总数为dt

D A i N d N dt d N u N u )***1(*1*1'*11μφ===，其中积分里只有电流i 为交流变量，其它均为常数，因此dt

di D A N u ***112μ=。在一个稳态电路中，高压绕组上感应的电压u1应该等于电源电压u ，同时引入大家很熟悉的公式dt

di L u *=，很容易发现电感D

A N L **12μ=，可见电感L 和匝数平方、磁路的磁导率μ、磁路截面成正比，和磁路长度D 成反比。

再看低压绕组N2，因为通过高低压绕组的磁通一样，因此磁通在低压绕组每匝上产生的电压也是dt

d u φ='，因此低压绕组上产生的总电压dt

di D A N N dt d N u N u ***2*1*2'*22μφ===，不难看出u1：u2=N1：N2，即电压比等于匝数比。

5.3 变压器负载分析

上面变压器低压侧断开，现考虑低压侧接入一个阻抗Z ，由于低压侧有感应电压u2，低压侧通过电流i2，根据楞次定律，i2产生的电流将削弱原低压侧断开状态下铁芯中的磁通密度B ，接着铁芯中磁通在高压侧的感应电压u1将降低，

使u1小于电源电压u ，使高压侧电流i 增大，弥补低压侧电流i2引起的磁通密度降低。

图5.3 单相变压器负载简图

由此得到一个结论：变压器负载情况下，高压侧电流i 可以分成两个部分，一部分用于产生铁芯中的磁通密度，使铁芯两侧的线圈产生感应电压，用i0表示，由于这部分电流用于维持磁场，故称为励磁电流，同时这电流等于空载下的高压侧电流，所以这个也称为空载电流；另一部分用于抵消低压侧电流i2产生的反向磁通密度，用i1表示。i=i0+i1

低压侧的电流i2由投入到负荷Z 决定，i2=u2/Z ， 从上文中的式子D

i N B μ**1=

可以看出电流和其所产生的磁通密度的关系，i1产生的磁通密度B 和i2产生的互相抵消，根据式子可以看出1221N N i i =。 从式子dt

di D A N u 02***1μ=，变压器高压侧绕组N1值大，硅钢片磁导率μ极大，所以正常带负荷的情况下变压器中i0的值远小于i1，因此在带负载时i0值可忽略不计，让i=i1，这样就得到我们常说的变压器两侧的电流比和匝数成反比。

等效回路和漏抗的介绍。。。

5.4 三相变压器

上节介绍了单相变压器在负载和空载下的电路分析，在电网中常见的三相变压器中，电路将根据变压器三相绕组间的连接方式分为多种形式。三相变绕组接

线方式常见的可分为Y，Yn和Δ。对正序回路而言，无论什么接线都可以三相看出独立的3个单相来分析，对这方面不再赘言；变压器属静止设备，负序和正序回路基本一致，也可以看出3个独立单相。因此本节主要针对零序回路进行分析。

5.4.1 零序回路中高压侧为Y和Δ接线

图5.4中可以看出，无论是Y还是Δ接线，接在一个零序的三相电压上，由于三相电压完全相同，电流无回路，相当于高压侧断路，零序回路开断。

图5.4

5.4.2 零序回路高压侧为Yn接线，低压侧为Y接线

如图5.5，高压侧中性点接地，励磁电流i0可以流过，但低压侧没有形成回路，无法流过电流i2。

图5.5

对于三相独立的铁芯，由于励磁阻抗很大，导致励磁电流i0很小可以忽略，相当于断路。

对于三相四柱（或五柱）式铁芯，磁场在铁芯中仍然有通路，磁通基本被控制在铁芯中，励磁阻抗大，i0同样很小可忽略，仍然相当于断路。

对于三相三柱式铁芯，零序下三相电流产生的磁通方向一致，在三相铁芯中没有通路互相冲突。铁芯中行不通，只能往空气中发散，这样励磁阻抗一般，i0不可忽略，一般为变压器额定电流的10%～15%（干式变压器）或30%～50%（油浸变压器）

5.4.3 零序回路高压侧为Yn接线，低压侧为Δ接线

图5.6

5.4.4 零序回路高压侧为Yn接线，低压侧为Yn接线

图5.7

5.4.5 零序回路高压侧为Yn接线，低压侧为Zn接线5.5 自耦变压器磁路分析

6、实例分析一：常规变电站10kV系统的接地方式问题

7、实例分析二：常规变电站站用电单相接地短路问题

8、实例分析三：变电站接地网最大入地电流的计算