数学选修2-3知识点总结

第二章概率总结

一、知识结构

二、知识点

1.随机试验的特点:

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个

③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

2.分类

随机变量

（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而

变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等

表示。）

离散型随机变量

在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

连续型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.

3.离散型随机变量的分布列

一般的,设离散型随机变量X可能取的值为

x

1,x

2

, ,x

i

, ,x

n

X取每一个值 xi(i=1,2, ）的概率

P(ξ=x

i ）＝P

i

，则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：

① pi≥0, i =1，2，…；

② p

1 + p

2

+…+p

n

= 1．

③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤

例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.

解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0

且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3

因此所求分布列为：

引出

二点分布

如果随机变量X的分布列为：

其中0

超几何分布

一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，

则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --===L ，其中{}min ,m M n =,

且*

,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列

为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布

注意：

（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量

解题步骤：

例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率

解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少

摸

到

3

个

红

球

的

概

率

为

(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020

555

303030

C C C C C C C C C =++ ≈0.191

答：中奖概率为0.191.

n

N

n M

N M

C

C C -0n

N

n M

N M

C

C C 11--n

N

m n M

N m M

C

C C --

条件概率

1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率

2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB

3.条件概率计算公式:

P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:

解题步骤：

例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.

解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，

所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9.

.

0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤?=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==?C C AB P .

10

3

)(=A P

相互独立事件

1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立

2.相互独立事件同时发生的概率公式

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有

如果事件A1，A2，…An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，

等于每个事件发生的概率的积。即：

P （A1·A2·…·An ）=P （A1）·P （A2）·…·P(An)

3.两事件是否互为独立事件的判断与证明

4.解题步骤

例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A ，“第二个取出的是白球”为事件B

，试问A 与B 是不是相互独立事件？

答：不是，因为件A 发生时（即第一个取到白球），事件B 的概率P （B ）=1/3，而当事件A 不发 生时（即第一个取到的是黑球），事件B 发生的概率P （B ）=2/3，也就是说，事件A 发生与否影响到事件B 发生的概率，所以A 与B 不是相互独立事件。 证明：由题可知， P(B|A) =1/3，

P(B|A 的补集)=2/3

因为 P(B|A)≠P(B|A 的补集) 所以 A 与B 不是相互独立事件

则称A ，B 相互独立 )

()()(B P A P AB P =

)()()(B P A P B A P ?=?

独立重复试验

1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2.说明：

①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中的概率都是一样的

②每次试验是在同样条件下进行；

③每次试验间又是相互独立的，互不影响.

前提

二项分布

1.引入:一般地，如果在1次实验中某事件A 发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

P(A Pn(k)是[(1-P)+P]n 的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.

2.二项分布定义：

设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中

)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ,n ，q=1-p ）

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

由于

k

n k k n

q

p C -恰好是二项展开式

b C b a C b a C a C b a n

n n

r

r

n r

n n n n

n n

+++++=--+ΛΛ1

1

1

)(

中的第 k+1 项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数， 并记：

k

n k k n q p C -),;(p n k B =

k n k k n n p p C k P --=)1()(n

n q

p C 00

1

11-n n q

p C

k

n k k n q

p C -

q

p C n n n