初中竞赛数学绝对值与二次根式

第二讲 绝对值与二次根式

【基础知识】 一、绝对值

1、绝对值代数定义：

(0)||0(0)(0)a a a a a a >??

==??-

一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。

有时也可以记为：(0)(___0)

||(0)(___0)a a a a a a a a a ≥??=??

-<-??

或者 2、绝对值几何定义：

一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.

如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x 的点到原点的距离。那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.

显然绝对值是非负数，即||0a ≥ 3、绝对值的基本性质：

(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|≥0；

(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|

(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥ a ；

|x|

|-2||x-1|

1

O

-1

-2x-1

x

(5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；

(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；

(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。绝对值为零的数只有一个零；

(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.

即|

|||0a b a b a b =?=+=或

二、二次根式

1、二次根式的定义：式子(0)a a ≥叫做二次根式。

2、二次根式的性质： (1)

2

(0)

||(0)

a a a a a a

≥?==?

-

(3)2()(0)a a a =≥ (4)(0,0)ab a

b a b =≥≥；

(0,0)a a a b b b

=≥> (5)0a b a b >?>≥ 【典型例题】 一、化简求值

例1计算下列各式的值:

①|3|π-；②02(1sin 60)-；③2

|1|x x -+;

解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3|π-=π-3;

②02(1sin 60)-=0

33

|1sin 60||1|122

-=-

=-

.

③22

131()44x x x x -+=-++213

()024

x =-+> 所以22|1|1x x x x -+=-+

注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.

②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简2||2x x +-

解:当x<0时, 2||2x x +-=2

2x x -- 当x>0时, 2||2x x +-=2

2x x +-

所以22

22(0)

||22(0)

x x x x x x x x ?--<+-=?+-≥?

注:x 的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x 进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.

例3 化简222692144x x x x x x +++-++-+

解:原式=222

(3)(1)(2)x x x +++--

|3||1||2|x x x =++-+-

以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x ≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3

当12时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x

综上所述，原式= 3(3)

6(31)

4(12)3(2)

x x x x x x x x -≤-??-+-<≤?

?

+<≤??>?

注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法.

例4 化简 ||x-1|-2|+|x+1|

解:先找零点：

|1|01 |1|201

|1|01

x x

x x

x x

-==

??

??

--=?=-

??

??

+==-??

或3

所以零值点有－1，1，3三点，因此，我们应将数轴分成4部分．当x<-1时，

原式=|-(x-1)-2|+[-(x+1)]=|-x-1|-x-1=-x-1-x-1=-2x-2

当-1≤x≤1时,原式=|-(x-1)-2|+x+1=|-x-1|+x+1=x+1+x+1=2x+2 当1≤ｘ＜3时，原式=||x-1|-2|+x+1=|x-3|+ x+1=3-x+x+1=4

当ｘ≥3时，原式=|x-1-2|+x+1=|x-3|+x+1=x-3+x+1=2x-2

综上所述，原式＝

22(1) 22(11) 4(13) 22(3)

x x

x x

x

x x

--<-?

?+-≤

?

≤

?-≥

?

注: ①本题条件没有给出绝对值符号内的代数式的正负性，应采用零点区间讨论法．须注意的是本题含双重绝对值，应注意考虑||x-1|-2|的零点．

②“分类讨论”是一种非常重要的数学思想, 绝对值问题经常采用这种数学思想.

二、条件化简求值

例5 化简

2

(3)|4|(34) x x x

-+-<<

解：因为30,x-4<0,

所以原式= x-3+4-x=1.

例6已知x＜-3，化简：|3+|2-|1+x|||．

解 :原式=｜3+｜2+(1+x)|| (因为1+x＜0)

=｜3+｜3+x||

=｜3-(3+x)｜ (因为3+x＜0)

=｜-x｜=-x．

注: ①这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号；

②充分利用已知条件,是解决例5例6的关键,正确运用绝对值的概念是解决例5例6根本.

例7 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，

化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜.

解：观察数轴得：a<0,b<0,c>0且|a|>|b|>|c|, 所以b-a>0,a+c<0,c-b>0 故｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜ =(b-a)+(-a-c)+(c-b) =-2a

注:解决本题充分利用了“数”与“形”的结合.“数形结合”又是数学中的重要数学思想. 例8 已知

24|34|0:x x y x y -+-+=，求值.

解:由非负数的意义得:2402

:1:13402x x x y x y y -==????=??-+==??

.

例9 已知2

12005|1|04x y x ++-+

=，求2008

200520052y x +?的值. 解: 2

12005|1|04x y x ++-+=20051()

2005|1|02

x y ?-++= 10210x y ?-=????+=? 121

x y ?

=????=-?

2008200520052008200520051

2(1)2()1122

y x ?+?=-+?=+=

注:非负数的和为0，那么每个非负数都应为0，你能证明吗？初中常见的非负数有哪些？

例10 方程|||1|0xy x y +-+=的图象是（ ）

（A ）三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 （B ）两条直线： x=0，x-y+1=0 （C ）一点和一条直线：(0,0)，x-y+1=0 （D ）两个点：(0,1)，(-1,0)

O

b a

c

解:由已知，根据非负数的性质，得0

10xy x y =??-+=?

即010x x y =??-+=?或0

10y x y =??-+=?

解之得：01x y =??=?

或1

0x y =-??=?

故原方程的图象为两个点：(0,1)，(-1,0).

注:利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.

例11 实数a 满足||01a a a +=≠-，， 那么||1

|1|

a a -=+ .

解:由||01a a a +=≠-，， 可得 0a ≤且1a ≠- 当1a <- 时，

||11

1|1|(1)a a a a ---==+-+；

当10a -<≤ 时，

||11

1|1|1

a a a a ---==-++.

所以

1

(1)||11(10)

|1|a a a a <-?-=?

--<≤+? 注: ①有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论.

②若|a|=a ，则a 0；若|a|=-a,则a 0；如果2

(2)2x x -=-，则x 0.

③在解决有关数学问题时，经常采用“逆向思维”. 三、求最大（小）值

例12 式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是_________。 解：由x+1=0，x-2=0，x-3=0 可确定零点为 -1、2、3. 当x<-1 时，原式=-3x+4>-3×(-1)+4=8 ； 当-1≤x<2 时，原式=-6x>-2+7=4 ； 当2≤x<3 时，原式=x+2≥2+2=4 ；

当x ≥3 时，原式=3x-4≥3×3-4=5

综上所述，原式=348(1)

64(12)

24(23)

345

(3)

x x x x x x x x -+><-??->-≤

?

+≥≤

从而所求最小值为4。

注：运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。

例13 在式子|1||2||3||4|x x x x +++++++ 中，由不同的x 值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

解：问题可变化为：在数轴上有四点A 、B 、C 、D ，其对应的值分别是-1、-2，-3、-4，求一点P ，使PA+PB+PC+PD 最小（如图）。

-1

-2

-3

-4

D

C

B

A

由于PA+PD 是当P 点在线段AD 上取得最小值3，PB+PC 是当P 在线段BC 上取得最小值1，故PA+PB+PC+PD 的最小值是4。选D 。

注：本题如果采用“零点区间讨论法”将非常麻烦。 由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的.体现了利用“数形结合”思想能够使某些问题快捷顺利解决。

例14 已知|x|≤1，|y|≤1，且ｋ=|ｘ+ｙ|+|ｙ+1|+｜2ｙ-ｘ-4｜，求ｋ的最大值与最小值的和．

：根据绝对值的几何意义，由已知|x|≤1，|y|≤1，得-1≤x ≤1，-1≤y ≤1， 故得到y+1≥0，|y+1|=y+1，-2≤2y ≤2，-3≤2y-x ≤3， 有2y-x-4<0，｜2y-x-4｜=4+x-2y ． x+y 的正负不明确，需讨论．

当x+y ≤0时，k= -(x+y)+y+1+4+x-2y=5-2y ． ∵-1≤y ≤1，∴3≤k ≤7．

当x+y ≥0时，k=（x+y ）+y+1+4+x-2y=2x+5．

-1≤x ≤1，∴3≤k ≤7．

即k 的最大值为7，最小值为3，它们的和为10．

四、解方程（组）

例15 解方程：||1|1|x x +=- 解: ||1|1|x x +=-0011

111111x x x x x x x x x <≤≤>?????

??

-=--=+-=+???或或 0011

11011x x x x x x x x <≤≤>???????

-=-=-=+???或或 00x x ?<=或

0x ?≤

所以原方程的解为一切非正数.

例16 解方程组|1||5|4

(1)

5|1|

(2)

x y y x -+-=??

=+-? 解：由（2），|1|05|1|5x y x -≥=+-≥

，即，

∴|5|5y y -=-

从而原方程组可变为: |1|90

(3)

|1|50

(4)

x y x y -+-=??

--+=? (3)+(4)得|1|4x -= 解得1235x x =-=， 代入(2)得9y = ∴方程组的解为：39x y =-??

=?或5

9

x y =??=?

注:利用|1|0x -≥得|5|5y y -=-是使本题简化的关键. 例17 若关于x 方程

||200802008

a

x x --=只有负数解，则实数a 的取值范围是 解 :因为方程只有负数解，故x<0,即|x|=-x ，原方程可化为： 200802008

a

x x -

--=，