经济数学基础(2)

《经济数学基础》结业论文

题目经济数学与投资分析

系别

年级专业

姓名

学号

指导教师

日期年月日

【摘要】《经济数学》是根据教育部制订的“高职高专教育数学课程教学基本

要求”，在“经济数学”国家精品课程的申报和建设过程中，结合最新的课程

改革理念编写而成的。全书包括微分、积分、概率统计、线性代数、线性规划、数学实验等模块，主要内容有函数、极限与连续，导数与微分，导数的应用，

二元函数偏导数及其应用，一元函数积分及其应用，概率统计初步，线性代数

及其应用，线性规划及其应用，MATLAB数学实验简介等，书后附有习题参考答

案及常用数理统计表。

【关键字】经济数学应用

（一）《经济数学》的地位

经济数学是研究社会资源配置及社会经济关系的一门科学。基于资源存量

与流量的可度量性，为了使资源配置更加公平、效率更高，经济数学有必要借

助于数学这一严密、精确、实用的思维工具。基于在资源配置过程中所形成的

经济关系涉及到经济制度、社会心理、价值观念等难以量化的因素，经济数学

作为一种以思辨定性分析为主的实证性科学，不可能以数学作为经济研究中基

本的或者说万能的工具。经济数学是研究社会资源配置及社会经济关系的一门科学。基于资源存量与流量的可度量性，为了使资源配置更加公平、效率更高，经济数学有必要借助于数学这一严密、精确、实用的思维工具。基于在资源配

置过程中所形成的经济关系涉及到经济制度、社会心理、价值观念等难以量化

的因素，经济数学作为一种以思辨定性分析为主的实证性科学，不可能以数学

作为经济研究中基本的或者说万能的工具。

（二）数学在经济学中的应用

数学方法应用的目的不很明确。数学也是一种语言，对某些现象之所以要用数学而不用其他形式的语言（如文字、图画、音乐、形体等）去描述，就是因

为它能够比其他形式的语言更简练、更准确地将该现象表示出来。如果达不到

简练准确的效果，就应该采用其他的语言形式。有些经济学家对这一点不大明白，将本来可以用浅显易懂的语言说明的问题，故意用多数人看不懂的数学公

式表达出来，而得出的结论却是人人通晓的一般经济数学常识。这样做的目的似乎只能解释为：可以掩饰经济理论贫乏之尴尬，可以省却向客观实际调查之劳苦，可以以渊博的数学知识作为傲视经济界同仁之资本，可以实践“所谓理论就是将简明通浅的事理以晦涩诘屈的语言描述出来”的治学之道。这方面西方经济学界也有许多深刻的教训。例如20世纪90年代，一些经济学家试图用随机微分和非参数统计方法研究金融问题，但至今成效甚微，甚至于应用方面出现了致命的偏差。经济学是研究社会资源配置及社会经济关系的一门科学。基于资源存量与流量的可度量性，为了使资源配置更加公平、效率更高，经济数学有必要借助于数学这一严密、精确、实用的思维工具。基于在资源配置过程中所形成的经济关系涉及到经济制度、社会心理、价值观念等难以量化的因素，经济数学作为一种以思辨定性分析为主的实证性科学，不可能以数学作为经济研究中基本的或者说万能的工具。 下面我们来看几个经典的例子，看看数学的应用。

（三）应用实例

【例1】某公司有甲、乙、丙三种产品，在2009和2010年的销售量（单位：件）用矩阵A 表示，其成本价和销售价（单位：元）用矩阵B 表示：

甲 乙 成本 销售价

100040002009200030002010A ??= ???年年3 3.5=4 4.4B ?? ???甲乙

试求两年的成本总额和销售总额：

2009年成本总额为10003+40004=19000??；

2009年销售总额为：1000 3.5+4000 4.4=21100??；

2010年成本总额为：20003+30004=18000??

2010年销售总额为：2000 3.5+3000 4.4=20200??

用矩阵C 表示上述计算结果，即成本总额 销售总额

1900021100200918000202002010C ??= ???年年

我们观察A,B,C 三个矩阵：

100040003 3.51900021100200030004 4.41800020200??????? ??? ???????

用Matlab 验证：

>> A=[1000 4000;2000 3000]

A =1000 4000

2000 3000

>> B=[3 3.5;4 4.4]

B =3.0000 3.5000

4.0000 4.4000

>> C=A*B

C = 19000 21100

18000 20200

【例2】设有一圆台形水池，高2米，上底半径为4米，下底半径为2米，其中盛满了水，现要将水全部吸尽，问需要做多少功？（水的比重为13

吨/米）

解：取坐标如图所示，梯形ABCD 为过圆台轴的平面与圆台的截面，于是A 点坐标为（4，0），B 的坐标为（2，2），AB 方程为：4y x =-

设想水池内的水一层一层地平移到水面上，所做的功与x 的变化区间[0,1]有关，任取区间[0,1]上一小区间[x,x+dx],将这小区间上对应的薄圆柱形水堤到水面

上做的功，即功元素为：22(4)dW x y dx x x dx ππ=?=-

所求的功为:

2

22200

2

230(4)(168)(168)W x x dx x x x dx

x x x dx

πππ=-=-+=-+???

44(3π=吨米）

用Matlab 验证：

>> syms x

>> s1=16*x-8*x^2+x^3;

>> int(s1,o,2)

>> int(s1,0,2)

ans =44/3 所以：

44(3W π=吨米） 注：用Matlab 先求出积分，结果再乘以π，此题是结合经济数学在生活中的应用，其中用了积分来解决生活的问题。

【例3】设有一个圆锥体，其表面积始终保持不变，而其高h 以0.08m/min 的速率在缩短，问当圆锥的高h=8m,底半径R=6m 时，其底半径及体积的变化速率如何？

解：正圆锥体的表面积公式为：

2(A R π=+，其中，R 与h 都随时间t 而变化，A 是常量，对t 求导后得：

2

[(20dA dR R dt dt π==

将h=8(m ）,R=6(m ），0.08(/min)dh m dt =-代入上式得296 3.8401010dR dt ?-=，即得

12925dR dt =。 又正圆锥的体积公式为23V R h π

=，由于R ，h 都随时间t 而变化，故V 也随时

间t 而变化，故V 也随t 而变，求导后得2(2)3

dV dR dh Rh R dt dt dt π=+ 当h=8(m ）,R=6(m ），0.08(/min)dh m dt =-，12925dR dt = 代入后得

3504(/min)925dV m dt π=-，所以，圆锥的底半径以12(/min)925m 的速度增长，其体积以

3504(/min)925m 的速度在减少。

用Matlab 验证：

>> B=296/10; >> C=3.84/10; >> D=R/T

D= 0.0130

>>E=12/925; >> F=-0.08; >> G=96*E+(36*F); >> M=G*(1/3)

M =-0.5449 注：因为120.0130925≈,5040.5449925≈，所以.12(/min)925dR m dt =，

3504(/min)925dV m dt π=-。

【例4】设某产品的成本是产量的函数C=C(q),当产量q=2000个时，成本C （2000）=22600元，并且已知产量在2000个的基础上再增加生产1时成本将增加6.05元。试求产量在2000个的基础上再增加生产10个时成本增加的近似值。

解 已知产量在2000个基础上再增加生产1个小时成本将增加6.05元，根据导

数的定义知'(2000) 6.05C =。当02000q =10q ?=时有

(200010)(2000)C C C dc ?=+-≈

'(2000) 6.051060.05C q ?=?=

注：此题用的是

'0()y dy f x dx ?≈=求的近似值，此题了是导数在生活应用。 即产量在2000个基础上，再增加生产10个时成本增加的近似值约为60.05

【例5】某地供电部门鼓励用户夜间用电，实行分时段计费。现知甲、乙两用户在某月的用电数及交费情况如图所示

110140120160A ??= ???,,n p m ??= ???, 96.4106.2f ??= ???

这Ap=f,所以

116014096.411*120110106.2800p A f A f A --????=== ???-????

5560.69511140.143800????== ? ?????

即白天的电价为0.695元/kWh ,夜间的电价为0.143元/kWh.

用Matlab 验证

*B A =>> B=[160 -140;-120 110]; >> f=[96.4 ;106.2]; >> T=B*f

T =556 114

>> p=(1/800)*T

p =0.6950 0.1425

注：在解答的过程中是取近似值，用Matlab 验证时没有取近似值。

（四）结论

通过本文的论述，我们可以了解在生活中经济数学占有了很重要的位子，

充分体现了导数、微分、积分、矩阵的计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了导数、微分、积分、矩阵在代数学中所具有的重要地位，当然在导数、微分、积分、矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨在这次的论文中让我更加的了解了经济数学在生活的应用，让我更加的巩固了所学的知识，在这次论文中我的收获还是有很多，具体学会了论文的格式，是怎样的写论文。

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