指数函数对数函数幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
(2）．两个重要公式
①??
??????<-≥==)0()0(||a a a a a a
a n
n ；
②a a n
n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 (1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m
n
a
a m n N n *=>∈>、且；
②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-
*=
=
>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a 〉0,r 、s ∈Q ); ②(a r ）s =a rs （a>0，r 、s ∈Q ）; ③（ab)r =a r b s (a>0，b>0，r ∈Q ）；。
n 为奇数 n 为偶数
3
．指数函数的图象与性质 y=a x a 〉1
0〈a 〈1
图象
定义域 R 值域 (0,+∞）
性质
（1）过定点（0，1） （2）当x 〉0时，y 〉1； x 〈0时，0〈y<1
(2) 当x 〉0时，0〈y 〈1； x<0时， y>1
（3）在(-∞，+∞）上是增函数
(3）在（—∞，+∞)上是减函数
注:如图所示,是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x ，
(3),y=c x （4)，y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？
提示：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1〉a 1〉b 1，∴c 〉d 〉1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二)对数与对数函数 1、对数的概念 （1)对数的定义
如果(01)x
a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数,记作log N
a x =，其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 （2)几种常见对数
对数形式 特点
记法
一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a
常用对数 底数为10 lg N
自然对数
底数为e
ln N
2、对数的性质与运算法则
(1)对数的性质（0,1a a >≠且)：①1log 0a =，②log 1a
a =，③log N
a a
N =，④log N
a a N =。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：log log (,1,0)log N
N
a b
b
a a
b N =>均为大于零且不等于； ②1
log log b
a a
b =
. （3）对数的运算法则：
如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N
M
a a a
log log log -=； ③)(log log R n M n M a n
a ∈=；
④b m
n
b a n
a m log log =
。 图象
1a >
01a <<
性
质
（1)定义域：（0，+∞)
（2）值域：R
（3)当x=1时，y=0即过定点(1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ (5）在（0，+∞）上为增函数
(5)在（0,+∞)上为减函数
注：确定图中各函数的底数a ，b,c ，d 与1的大小关系
提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.
∴0〈c 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。 （三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α （a ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量，α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象 注：在上图第一象限中如何确定 y=x 3，y=x 2，y=x, 12 y x =，y=x -1方法：可画出x=x 0； 当x 0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3，y=x 2， y=x ，12 y x =， y=x -1； 当0 y x = ,y=x ， y=x 2,y=x 3 。 y=x y=x 2 y=x 3 12y x = y=x -1 定义域 R R R ［0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域 R ［0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞)时,增； x ∈(,0]-∞时，减 增 增 x ∈(0，+∞）时，减； x ∈(—∞，0)时,减 定点 （1，1） 三:例题诠释，举一反三 知识点1：指数幂的化简与求值 例1。(2007育才A ） （1)计算：25 .021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2)化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A)化简下列各式（其中各字母均为正数）： （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- - (2）.)4()3(6 521 3321 21231----?÷-??b a b a b a （3) 1 200.2563 43 3 721.5()82(23)()63- ?-+?+?- 知识点2：指数函数的图象及应用 例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )3 1()21(=,下列五个关系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0；⑤a=b 。其中不可能成立的关系式有 ( ） A.1个 B 。2个 C 。3个 D 。4个 变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质 例3。（2010省实B ）已知定义域为R 的函数12()22 x x b f x +-+=+是奇函数。 （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性; （Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围． 变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=x x a a e e +是R 上的偶函数。 （1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数。 知识点4：对数式的化简与求值 例4。（2010云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+ （2）2(lg 2)2 +lg 2·lg5+12lg )2(lg 2 +-； （3）21 lg 4932-3 4 lg 8+lg 245. 变式：(2010惠州A)化简求值. （1)log 2 48 7 +log 212—21log 242—1； (2）（lg2)2 +lg2·lg50+lg25； (3）（log 32+log 92)·（log 43+log 83）. 知识点5：对数函数的性质 例5。（2011深圳A ）对于01a <<，给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+ ②1 log (1)log (1)a a a a +>+； ③1 11;a a a a + +< ④111;a a a a + +> 其中成立的是（ ） （A ）①与③（B ）①与④(C ）②与③（D ）②与④ 变式:（2011韶关A ）已知0＜a ＜1，b ＞1,ab ＞1，则log a b b b b a 1 log ,log ,1的大小关系是 （ ) A 。log a b b b b a 1log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log << C.b b b a b a 1 log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6。（2010广州B)已知函数f(x ）=log a x （a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞)都有｜ f(x ）｜≥1成立，试求a 的取值范围。 变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2 —ax-a ）在区间（—∞,1—3］上是单调 递减函数.求实数a 的取值范围。 知识点6：幂函数的图象及应用 例7.（2009佛山B ）已知点(22)， 在幂函数()f x 的图象上，点124? ?- ?? ?，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；(３）()()f x g x <． 变式：(2009揭阳B ）已知幂函数f(x ）=x 3 22 --m m （m ∈Z ）为偶函数,且在区间（0,+∞)上是 单调减函数。（1)求函数f(x ）;（2）讨论F （x ）=a ） （）（x xf b x f -的奇偶性. 四：方向预测、胜利在望 1．(A ）函数4 1lg )(--=x x x f 的定义域为( ) A ．(1,4） B ．[1，4） C ．（－∞，1)∪（4，＋∞） D ．（－∞,1］∪（4,＋∞) 2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ） （A ） （ln2)2 （B) ln （ln2） (C) ln 2 （D ） ln2 3（B)设a 〉1，函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,2 1则a=（ ） （A ）2 （B ）2 (C)22 (D ）4 4.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52 a f b f ==5 (),2c f =则（ ) （A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << （D ）c a b << 5.（B)设f (x ）= 12 32,2, log (1),2, x e x x x -?2的解集为( ) （A ）（1，2）?（3，+∞） （B ）（10，+∞） (C ）（1,2)? （10 ，+∞) （D ）(1,2） 6．（A ）设2log 3P =，3log 2Q =,23log (log 2)R =,则（ ） Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 21212 1log log log <<，则( ) A ．c a b 222>> B ．c b a 222>> C ．a b c 222>> D ．b a c 222>> 8．（B ）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ) （A)()sin f x x = （B) ()1f x x =-+ (C ） 1()()2x x f x a a -= + （D ） 2()2x f x ln x -=+ 9.（A) 函数y =( ） A [1,)+∞ B 23(,)+∞ C 23[,1] D 2 3(,1] 10。（A)已知函数kx y x y ==与4 1log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ） A ．41- B ．41 C ．21- D ．21 11．（B)若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x 、三、四象限，则一定有 （ ） A ．010><>b a 且 C ．010<< D ．01<>b a 且 12．（B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a= （ ） A. 4 2 B. 2 2 C 。 4 1 D. 2 1 13.(A ）已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有（ ） （A ）0)(log log )(=，那么)8(f 等于（ ) （A ） 3 4 （B ）8 （C ）18 （D ） 2 1 15．(B ）函数y ＝lg ｜x| （ ) A ．是偶函数，在区间（－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数,在区间(－∞，0）上单调递减 C ．是奇函数，在区间（0，＋∞)上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3) 4lg(--=x x y 的定义域是 ____________________________。 17．（B)函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线 10(0)mx ny mn +-=>上,则11 m n +的最小值为 ． 18．(A ）设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>? 则1 (())2g g =__________ 19．（B ）若函数f(x ） = 1222 --+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________. 20．（B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++ =是奇函数，则a = ． 21。（B ）已知函数x x x x f -+-=11log 1)(2 ，求函数)(x f 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性。 参考答案: 三：例题诠释,举一反三 例1. 解：（1） 9 2,（2)2a 变式:解：（1）1， （2).4514545)(232 3212 33 1 3 ab ab ab b a b a b -=?-=?-=÷---- （3)110 例2. 解：B 变式：解：)2 1,0(； 例3. 解:（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数。 （Ⅲ）3 1- 例4. 解：（1）-1。（2）1。(3）2 1. 变式：解：（1）.23 2log 2 21 log 242481272 322 -===???- （2)2.(3） 4 5 例5. 解：选D. 变式:解： C 例6。 解：(1,3]∪［3 1，1） 变式：解:｛a ｜2-23≤a ＜2} 例7. 解：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； (2)当1x =±时，()()f x g x =； (3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <． 变式:解：（1）f （x ）=x -4 . （2）F(x ）= 32 bx x a -， ∴F （-x ）= 2 x a +bx 3 . ①当a ≠0，且b ≠0时，F （x ）为非奇非偶函数； ②当a=0,b ≠0时，F （x ）为奇函数； ③当a ≠0，b=0时,F （x ）为偶函数； ④当a=0，b=0时，F （x)既是奇函数,又是偶函数. 四：方向预测、胜利在望 1-5 ADDDC ； 6-10 AADDA ； 11-15 CADDB 。 16. (—∞， 3)?（3,4) 17。 4 18. 2 1 19。[-1，0］ 20。 22 21．［解]x 须满足,11011,0110 <<->-+??? ??>-+≠x x x x x x 得由 所以函数)(x f 的定义域为（－1,0)∪（0，1). 因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ,有 )()11log 1(11log 1)(22x f x x x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0,1）内的单调性,任取x 1、x 2∈（0，1)，且设x 1〈x 2 ，则 ,0)112 (log )112(log ,011)],112(log )112([log )11( 11log 111log 1 )()(1 222211 222212 22 2112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由 得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在(0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减。 §3.指数函数图像和性质 一、教材分析 教材的地位和作用 函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。 重难点分析 教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用 教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 二、教学目标分析 知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。 三、教法学法分析 教法分析 采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受 学法分析 学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。 四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高 讲 义 教材与考点分析： 本节课学习的内容是了解指数函数的图像及性质，函数是数学研究的主要对象，也是考试必然会涉及的知识点，我们必须从简单的函数出发，学好每一类基本初等函数。 考点1：分数指数幂 我们规定分数指数幂的意义： 负分数指数幂的意义： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 考点2：有理数指数幂的运算性质 ),,0,0())(3(,))(2(, )1(Q s r b a b a ab a a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>===?+ 考点3：指数函数及其性质 a>1 0 Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第2题. 若11()()23 x x <，则x 满足（ ） Ａ．0x > Ｂ．0x < Ｃ．0x ≤ Ｄ．0x ≥ 第3题. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 第4题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图象大致为（ ） 第5题. 当0a >且1a ≠时，函数2()3x f x a -=-必过定点 ． 第6题. 函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x 的表达式为 ． 第7题. 当0x >时，函数()()21x f x a =-的值总大于1，则实数a 的取值范围是 ． 第8题. 求不等式2741(0x x a a a -->>，1)a ≠且中x 的取值范围． §4.2.1指数函数及其图像与性质 授课人： 教学目标： （1）知识与能力： 1.了解指数函数模型的实际背景；理解指数函数的概念，能根据定义判断一个函数是否为指数函数； 2.理解指数函数的图像和性质，能根据图像归纳出指数函数的性质； 3.掌握指数函数性质的简单应用。 （2）过程与方法： 1.通过探讨指数函数的概念，感知数学概念的严谨性和科学性，培养学生观察、分析、抽象、概括能力； 2.引导学生进一步体会数形结合的思想，培养学生的识图能力和分析、归纳、总结的技巧； 3.通过学生自己画图提炼函数性质，培养了学生的动手能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力和简约直观的思维方法和良好的思维品质。 （3）情感态度与价值观： 1.通过实例引入，让学生深切感受到生活中处处有数学，激发学习的兴趣和动力； 2.学习过程中经历了通过图像探究函数性质的过程，使学生体会到认识事物的特殊性与一般性之间的关系； 3.通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神； 4.通过作图，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能、主人翁意识和集体主义精神。 教学重点与难点： 重点：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质； 难点：（1）指数函数的概念中对底数a的规定； （2）用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。 教学方法： 发现法、探究法、讨论法． 教学过程： 故事引入： 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；...... 第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征. 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0 问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 0a =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x ＜0，x a ＜1 x ＜0，x a ＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）. x y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小关系； §3.1 《指数函数的图像和性质》教学设计 西安市中铁中学 郝婕 一、教学指导思想与理论依据 通过学习新课标和新的教育理念，我深深感受到：在中学数学的教学过程中，不仅要重视让学生掌握知识，更应重视让学生经历数学知识的形成与应用过程；重视学习过程中的情感体验；重视培养学生自主探究，合作交流，勇于创新的意识和能力。以往那种教师说的多，强调的多，学生未必会记住；教师讲得精彩，学生未必能理解；学生做题多，未必正确率高。同时教学中应采用多种教学形式，多种教学手段进行，在适当的时候，合理的运用多媒体，能有益的辅助教学，提高课堂效率，丰富教学内容。 新课标的教育宗旨是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求在课程的设计中，要联系生活实际，联系学生已有的知识经验，学习内容要有层次。 二、教材分析： 本节课是北师大版高中《数学》必修1第三章第三节《指数函数》的内容。我将从以下两个方面对教材进行分析。 （一）教学内容的地位和作用分析: 《指数函数》是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。而指数函数的图像和性质是学习指数函数的重要内容。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，特别是通过这部分的学习，对于学生进行数形结合、几何直观等重要的数学思想方法的渗透，有很大的促进作用，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等有很强的引领作用。 （二）教材分析和教材处理： 教材在安排这一节内容时，共安排了三个课时，《指数函数的概念及指数函数x y 2=与 x y ?? ? ??=21的图象和性质》 、《指数函数的图像和性质（1）》、《指数函数的图像和性质（2）》第一课时侧重指数函数概念的理解以及两个具体的指数函数图像的认识，第二课时在第一课时基础上探究指数函数的性质及性质，第三课时侧重性质的应用。 我对教材内容进行了重新的整合与处理，这部分内容的重点在于学生根据图像研究指 指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、教学目标 知识与技能:了解指数函数的模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。 过程与方法：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索指数函数的单调性与特殊点。 情感、态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数的图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探索问题。 四、教学重点与难点 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 五、教学过程： （一）创设游戏情境，设疑激趣(约3分钟) 学生分成小组，动手折纸 , 观察对折次数与所得纸的层数的关系。得出折一次为 2 层纸，折两次为 22层纸 , 折三次为 23层纸 ...那么，如何用x来表示y呢？ 老师引导学生共同探究 X=0,y=20=1 X=1,y=21=2 2016-2017学年度第一学期数学导学案 编号：014 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价： 第一页 第二页 编制：叶平阳 审核： 年级主任： 使用时间：2016.10 指数函数的概念、图像与性质（一） 【学习目标】 1.由实例中的解析式概括出指数函数的概念； 2.会画指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图像； 3.画出x y 2=和x y )21(=，x y 3=和x y )3 1(=的图像，并能说出图像的几何特征； 4.根据四个图像的几何特征，能说出其数量特征，并能归纳出一般指数函数的性质； 5.会用指数函数的性质比较大小、解不等式； 6.通过对指数函数性质的探究进一步体会从特殊到一般、数形结合数学方法在研究数学问题中的应用． 【重点难点】 重点：由指数函数的图像归纳性质及性质应用． 难点：指数函数单调性的应用． 【学法指导】 一般来说，函数与图像紧密联系，图像反映函数的性质。研究指数函数图像与性质思路是：画出 图像，通过图像发现并归纳性质（定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性）． 【问题导学】 一、指数函数概念 1． （填一填） 问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即1 2），第2次由2个分裂成4个（即2 2）， 第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得y 个细胞，那么细胞个数y 与 次数x 的函数关系式是 ． 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木 棰剩余量y 关于x 的函数关系式是 ． 分析问题1 和问题2所列的函数解析式,得出指数函数的概念 ． 思考：在函数 x y a =（a ＞0且a ≠1）中为什么规定a ＞0且a ≠1呢？ 2．（辨一辨） （1）下列函数是指数函数的序号为 ． ①x y ? ? ? ??=51 ②25x y =? ③2x y = ④23-=x y ⑤x y 4-= ⑥x y )14.3(-=π ⑦12-=x y ⑧(2)x y =- ⑼(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） （2）已知函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a 二、探究指数函数性质 1．（算一算）完成表格： 2．（画一画）在图1中画出x y 2=和x y )2(=的图像，在图2中画出x y 3=和x y )3 (=图像． 图1 图2 3．（比一比） 观察图1和图2中的4个函数的几何特征完成下表： 指数函数的图像与性质 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 “指数函数”的教学共分三个课时完成，第1课时为指数函数的概念，具体指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简单应用；第三课时为指数函数的性质应用。本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。 （二）教学目标 1、知识目标： i会做指数函数的图像； ii能归纳出指数函数的几个基本性质； iii会进行指数函数性质的简单应用。 2、能力目标： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。 3、情感目标： 通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。 （三）教学重点和难点 1、重点：指数函数的性质和图像。 2、难点：指数函数性质的归纳。 二、教法分析 （一）教学方式 直接讲授与启发探究相结合 （二）教学手段 借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像 三、教学基本思路： 1、引入 1）复习指数函数概念 2）回忆指数函数图像的画法2、探究指数函数的性质 1）研究指数函数的图象 2）归纳总结指数函数的性质 3、指数函数性质的简单应用 4、巩固练习 5、小结 6、作业布置 五、教学设计说明 1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。 2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。 六、课后反思 七、板书设计 指数函数的图像及性质教学设计 2、指数函数的图象及其性质 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为三节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、学生学习况情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 三、设计思想 1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 2.结合参加我校实际，在本课的教学中我努力实践以下两点： （1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 （2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 （3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 四、教学目标 指数函数的图像与性质教学设计 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。 （二）教学目标 知识维度：初中已经学习了正比例函数、反比例函数和一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。 能力维度：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究指数函数的性质做好准备。 素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。 1、知识与技能目标： （1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）；（2）会做指数函数的图像； (3)能归纳出指数函数的几个基本性质。 2、过程与方法目标： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。 3、情感态度与价值观目标： （1）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题 (2)通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。 （三）教学重点和难点 教学重点：指数函数的图象和性质。 教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。 教学关键：从实际出发，使学生在获得一定的感性认识和基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念；在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。 课时安排：1课时 二、学情分析 学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系，为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。此外，初中所学有理数范围内的指数相关知识，将已有知识推广至实数范围。在此基础上进入指数函数的学习，并将所学对函数的认识进一步推向系统化。 三、教法分析 （一）教学方式 直接讲授与启发探究相结合 （二）教学手段 第10讲指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。掌握指数函数的性质及应用。 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1。教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大（小）值 第一部分知识梳理 讨论: 1 2() 2 x x y y == 与的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出 11 5,3,(),() 35 x x x x y y y y ====的函数图象. 问题：1：从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律。 从图上看x y a =（a＞1）与x y a =（0＜a＜1）两函数图象的特征。 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。 问题3：指数函数x y a =（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系x 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： (1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2)若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4)当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1)1.72。5 与 1.7 3 ( 2 ）0.10.8-与0.20.8 - （ 3 ) 1。70。3 与 0.93。1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c 。 2。 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）。 x y d =的图象,判断,,,a b c d 与1的大小关系； 学习内容： 2.1.2指数函数的图像和性质导学案 学科：数学编写：高一数学组马玲 班级姓名 【课程学习目标】 （一）【知识技能目标】 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义； 3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质； 4. 能简单应用概念、图像和性质解题。 （二）【过程与方法】 学习过程：引→探→导→学→议→练→延。 自主探究指数函数的概念、意义、图像和性质，培养学生观察分析、探索归纳能力，并在此鼓励学生积极思考，大胆猜想，培养学生自主学习能力和创新意识。 学习方法：阅读自学导引，小组合作探究，小组交流展示，群体质疑，小组归纳提练，拓展延伸。 （三）【情感与态度价值观】 通过各学习小组对本节内容的自主探索，合作研讨，培养学生的积极探索新知的激情，培养学生倾听，学会学习，学会合作，学会交流，展示，归纳总结的能力，提高学生学习数学的兴趣。 【教学重点及难点】 【教学重点】指数函数的概念、图像和性质 【教学难点】指数函数图像、性质的熟念掌握及简单应用 教学过程： 第一学习时间新知预习----- 不看不讲（自主学习） 【学习情境构建】（创设情境，引入课题：）实例： A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？ B：一把长为1的尺子，第1次截去它的一半,第2次截去剩余部分的一半，第3次截去第2次剩余部分的一半，······，依次截下去,问截的次数x与剩下的尺子长度y之间的关系？ 观察归纳两个函数式的共性： 再由具体到一般的思想可做怎样的延伸拓展？抽象出怎样的函数？图像怎样？性质怎样？ 带着问题请大家阅读教材P54-58并完成以下问题。 【读记材料交流】（读、看、填、练交互进行）（概念形成） ●探究点（一）指数函数的定义 （1）一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为，值域为。 指数函数的图像和性质教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能目标： 1.掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）; 2.会做指数函数的图像; 3.能归纳出指数函数的几个基本性质。 （二）过程与方法目标： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。 （三）情感态度与价值观目标： 1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题 2.通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想;感受知识之间的关联性;体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程;体验研究函数的一般思维方法。 二、教学内容及模块整体分析 本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识――对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。 三、学情分析 学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系，为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。此外，初中所学有理数范围内的指数相关知识，将已有知识推广至实数范围。在此基础上进入指数函数的学习，并将所学对函数的认识进一步推向系统化。 四、教学策略选择与设计 （一）教学方式 直接讲授与启发探究相结合 （二）教学手段 借助多媒体，展示学生的做图结果;演示指数函数的图像 五、教学重点及难点 教学重点：指数函数的图象和性质。 教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。 教学关键：从实际出发，使学生在获得一定的感性认 2017-2018学年度第一学期数学导学案 编号：014（A ） 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价： 第一页 第二页 指数函数的概念、图像与性质（一） 【学习目标】 1.由实例中的解析式概括出指数函数的概念； 2.会画指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图像； 3.画出x y 2=和x y )21(=，x y 3=和x y )3 1(=的图像，并能说出图像的几何特征； 4.根据四个图像的几何特征，能说出其数量特征，并能归纳出一般指数函数的性质； 5.会用指数函数的性质比较大小、解不等式； 6.通过对指数函数性质的探究进一步体会从特殊到一般、数形结合数学方法在研究数学问题中的应用． 【重点难点】 重点：由指数函数的图像归纳性质及性质应用． 难点：指数函数单调性的应用． 【学法指导】 一般来说，函数与图像紧密联系，图像反映函数的性质。研究指数函数图像与性质思路是：画出 图像，通过图像发现并归纳性质（定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性）． 【问题导学】 一、指数函数概念 1． （填一填） 问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即1 2），第2次由2个分裂成4个（即2 2）， 第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得y 个细胞，那么细胞个数y 与 次数x 的函数关系式是 ． 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木 棰剩余量y 关于x 的函数关系式是 ． 分析问题1 和问题2所列的函数解析式,得出指数函数的概念 ． 思考：在函数 x y a =（a ＞0且a ≠1）中为什么规定a ＞0且a ≠1呢？ 2．（辨一辨） （1）下列函数是指数函数的序号为 ． ①x y ? ? ? ??=51 ②25x y =? ③2x y = ④23-=x y ⑤x y 4-= ⑥x y )14.3(-=π ⑦1 2 -=x y ⑧(2)x y =- ⑼(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） （2）已知函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a 二、探究指数函数性质 1．（算一算）完成表格： 2．（画一画）在图1中画出x y 2=和x y )2(=的图像，在图2中画出x y 3=和x y )3 (=图像． 图1 图2 3．（比一比） 观察图1和图2中的4个函数的几何特征完成下表：指数函数图像与性质的教案
指数函数的图像及性质
中职-指数函数及其图像与性质公开课-教案
指数函数的图像及性质知识要点
§3.1《指数函数的图像和性质》教学设计
指数函数的图象及其性质
指数函数的概念、图像与性质(一)
高中数学《指数函数的图像和性质》教案北师大版必修
指数函数的图像及性质
指数函数的图像与性质-教学设计
指数函数的图像及性质知识要点
指数函数的图像和性质导学案
指数函数的图像和性质教学设计
指数函数的概念、图像与性质(一)(A)