分支限界法解01背包问题
分支限界法解01背包问题
学院:网研院姓名:XXX 学号:2013XXXXXX 一、分支限界法原理
分支限界法类似于回溯法,也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一
般情况下,分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解;而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解。
由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。
分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成其所有的儿子结点(分支),然后再从当前的活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点,加速搜索的进程,在每一个活结点处,计算一个函数值(限界),并根据函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进,以便尽快地找出一个最优解。
常见的分支限界法有如下两种:
队列式(FIFO)分支限界法:按照先进先出原则选取下一个节点为扩展节点。活结点表是先进先出队列。FIFO分支限界法搜索策略:
◆一开始,根结点是唯一的活结点,根结点入队。
◆从活结点队中取出根结点后,作为当前扩展结点。
◆对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,
把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。
◆再从活结点表中取出队首结点(队中最先进来的结点)为当前扩展结点,
重复上述过程,直到找到一个解或活结点队列为空为止。
LC(least cost)分支限界法(优先队列式分支限界法):按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。活结点表是优先权队列,LC分支限界法将选取具有最高优先级的活结点出队列,成为新的扩展节点。优
先队列式分支限界法搜索策略:
◆对每一活结点计算一个优先级(某些信息的函数值);
◆根据这些优先级从当前活结点表中优先选择一个优先级最高(最有利)
的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进,以
便尽快地找出一个最优解。
◆再从活结点表中下一个优先级别最高的结点为当前扩展结点,重复上述
过程,直到找到一个解或活结点队列为空为止。
二、01背包问题简介
01背包问题假设有一个容量为c的背包,有n件物品,每件物品有重量w
和价值v,求解怎样往背包里装物品能够在不超出背包容量c的情况下获得最大价值(本实验中物品的w和v都是大于0的实数,可以是整数也可以是浮点数)。
三、FIFO分支限界法解01背包问题
1.算法
●输入背包容量capacity、物品数量count、物品的重量数组weights
和物品的价值数组values,根据物品单位价值(value/weight)从
大到小构造一个新数组,数组元素(OriginNode)有weight、value
和valuePerWeight属性,根据该排序数组构造问题的解空间树(完
全二叉树);
●定义一个FIFO队列(队列元素是节点,见下文),队列可以在队尾插
入节点和在队头删除节点;
●定义节点(ArrayNode),节点是问题的解空间树上的点,它的属性
有当前价值currentValue、当前重量currentWeight、上限价值
upboundValue、节点对应的选择情况nodeChoses(0表示不选,1
表示选,如“1 0 1”表示该节点选择了物品1和物品3,没有选择
物品2)和节点在问题解空间树上的层次nodeCount(0 ~ n);
●定义一个计算节点价值上限的函数upBound(),upBound函数的计算
规章是:
价值上限=节点现有价值+背包剩余容量*剩余物品的最大单位重量价值
●定义一个全局的currentMaxValue记录程序目前取得的最大价值;
●将一个空节点推入队列,空节点的当前价值、当前重量、节点层次
均为0,全局的currentMaxValue初始化为0,使用upBound函数计
算几点的价值上限并使用该属性初始化节点的upboundValue属性;
●当队列不为空时,一直重复下述操作:从队首取得头节点,如果头
节点的上限价值upboundValue比全局的currentMaxValue要大,则
表明头节点的子节点中可能有最优节点,取头节点在问题的解空间
树上的左子节点和右子节点,若左子节点和右子节点的重量没有超
出背包容量且它们的upboundValue大于全局的currentMaxValue,
将该子节点插入队尾,否则不插入,同时若子节点的当前价值
currentValue大于全局的currentMaxValue,更新currentMaxValue。
如果头结点的上限价值upboundValue比全局的currentMaxValue要
小,则表明头结点及其子节点不可能有最优节点,将其舍弃。若头
结点的当前价值currentValue正好等于全局的currentMaxValue且
头结点的层次nodeCount等于物品数量n,则表明头结点是问题的解
空间树上的叶子,该头结点可能就是最优节点,将其存储在全局的
currentMaxNode属性中(随着队列遍历的进行当前存起来的节点仍
可能被更优的节点覆盖)。
当队列为空时,表明所有的可能情况已被处理,此时全局的
currentMaxNode属性指向了最优的节点,该节点的currentValue
属性即为背包问题的最优解。
2.算法复杂度
在最坏的情况下所有的节点都入队,最后一个节点才是最优解,这种情况下时间复杂度是指数阶。最好的情况是只装单位价值最大的物品,其余分支都不符合条件被截去这种情况下时间复杂度是常数时间。但分支限界法本质上还是穷举法,平均时间复杂度仍是指数阶。
空间复杂度的分析类似时间复杂度,也是指数阶。
3.可能的改进
在本次实验中,即便取得了可能是最优解的问题空间树上的叶子节点的时候仍然会遍历其它节点以保证得到的是最优解,当对正确率的要求不是很高的时候,可以在取得第一个可能是最优解的节点时候便停止算法。
本次实验使用的是FIFO分支限界法,若使用优先队列式分支限界法(LC),在空间复杂度上的性能肯定会得到改善,若不要求结果十分准确,使用优先队列取得第一个可能节点时候便停止算法,则在时间复杂度上的性能应该也能优于FIFO分支限界(优先队列采取的是深度遍历,能更快到达叶子节点)。
四、算法实现框架
本次实验使用的语言是java,OriginNode类用来按价值重量比构造排序数组,sort方法用于数组排序(出于便于实现的考虑使用了冒泡排序,改成快速
排序可获得更好的性能)。
ArrayNode类用于构造问题的解空间树上的节点。
FIFOBBKnapsack类是程序的主类,定义了currentMaxValue等属性,起全局变量的作用供节点共同维护,upBound方法用于计算节点价值上限。
在FIFOBBKnapsack类的main方法里定义了分支限界法的逻辑,截取主要部分如下。
五、总结
在本科的时候曾经做过背包问题的项目,所以本次实验我选择了01背包问题该题目。但在做本次实验之前,我对分支限界法的原理并不是很理解,经过查看课件及网上查找资料,同时结合自己对回溯法等的理解,我对分支限界法有了一个较好的理解,知道了两种主要的分支限界法及分支限界法如何应用于解01背包问题。在查找资料的过程中,我查看了许多网上的别人的代码实现,但大多都存在着问题或者混淆使用了两种分支限界法,最后通过参考别人的部分代码以及结合自己对FIFO分支限界法的理解,使用了java语言完成了该实验。通过本次试验,我基本上掌握了分支限界法解0-1背包问题的原理,同时锻炼了自己动手编写及调试代码的能力,收获良多。
程序运行示例:
import java.util.LinkedList;
import java.util.Scanner;
public class FIFOBBKnapsack {
int capacity;
int count;
float[] weights;
float[] values;
OriginNode[] originNodes;
float currentMaxValue;
ArrayNode currentMaxNode;
private float upBound(ArrayNode node) {
float weightLeft = this.capacity - node.currentWeight;
float bound = node.currentValue;
int t = node.nodeCount;
while (t < this.count && originNodes[t].weight <= weightLeft) {
weightLeft -= originNodes[t].weight;
bound += originNodes[t].value;
t++;
}
if (t < this.count)
bound += (originNodes[t].value / originNodes[t].weight)
* weightLeft;
return bound;
}
public static void main(String[] args) {
while (true) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
FIFOBBKnapsack knapsack = new FIFOBBKnapsack();
System.out.println("******FIFO分支限界法解01背包问题开始******");
// 输入背包容量
System.out.println("---请输入背包容量(正整数)并回车---");
knapsack.capacity = in.nextInt();
// 输入物品数量
System.out.println("---请输入物品数量(正整数)并回车---");
knapsack.count = in.nextInt();
knapsack.weights = new float[knapsack.count];
knapsack.values = new float[knapsack.count];
// 构造物品重量数组
System.out.println("---请输入物品重量数组(空格隔开)并回车---");
for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {
knapsack.weights[i] = in.nextFloat();
}
// 构造物品价值数组
System.out.println("---请输入物品价值数组(空格隔开)并回车---");
for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {
knapsack.values[i] = in.nextFloat();
}
// 排序
knapsack.originNodes = new OriginNode[knapsack.count];
for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {
knapsack.originNodes[i] = new OriginNode(knapsack.weights[i], knapsack.values[i]);
}
OriginNode.sort(knapsack.originNodes);
// FIFO队列
LinkedList
headNode.upboundValue = knapsack.upBound(headNode); knapsack.currentMaxValue = 0;
knapsack.currentMaxNode = null;
arrayNodeList.push(headNode);
while (!arrayNodeList.isEmpty()) {
ArrayNode firstNode = arrayNodeList.pop();
if (firstNode.nodeCount == knapsack.count
&& firstNode.currentValue == knapsack.currentMaxValue) { knapsack.currentMaxNode = firstNode;
continue;
}
if (firstNode.upboundValue >= knapsack.currentMaxValue
&& firstNode.nodeCount < knapsack.count) {
ArrayNode leftNode = new ArrayNode(
firstNode.currentWeight
+
knapsack.originNodes[firstNode.nodeCount].weight,
firstNode.currentValue
+
knapsack.originNodes[firstNode.nodeCount].value,
firstNode.nodeChoices + " 1",
firstNode.nodeCount + 1);
leftNode.upboundValue = knapsack.upBound(leftNode);
if (leftNode.currentWeight <= knapsack.capacity
&& leftNode.upboundValue > knapsack.currentMaxValue) {
arrayNodeList.add(leftNode);
if (leftNode.currentValue > knapsack.currentMaxValue) {
knapsack.currentMaxValue = leftNode.currentValue;
}
}
ArrayNode rightNode = new ArrayNode(
firstNode.currentWeight, firstNode.currentValue,
firstNode.nodeChoices + " 0",
firstNode.nodeCount + 1);
rightNode.upboundValue = knapsack.upBound(rightNode);
if (rightNode.upboundValue >= knapsack.currentMaxValue) {
arrayNodeList.add(rightNode);
}
}
}
System.out.println("背包能装下的最大价值是:"
+ knapsack.currentMaxNode.currentValue + " 此时背包装的重量是:"
+ knapsack.currentMaxNode.currentWeight);
System.out.println("物品的选择情况是:");
System.out.print("物品重量:");
for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {
System.out.print(knapsack.originNodes[i].weight + " ");
}
System.out.println("");
System.out.print("物品价值:");
for (int i = 0; i < knapsack.count; i++) {
System.out.print(knapsack.originNodes[i].value + " ");
}
System.out.println("");
System.out.print("选择情况(0表示不选1表示选):");
System.out.println(knapsack.currentMaxNode.nodeChoices);
}
}
}
// 物品的重量一定不为0,价值可以是0
class OriginNode {
float weight;
float value;
float valuePerWeight;
public OriginNode(float weight, float value) {
this.weight = weight;
this.value = value;
this.valuePerWeight = value / weight;
}
// 冒泡排序将节点按照单位价值从大到小排序
public static void sort(OriginNode[] nodes) {
OriginNode tmp = null;
for (int i = 0; i < nodes.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < nodes.length; j++) {
if (nodes[j].valuePerWeight > nodes[i].valuePerWeight) {
tmp = nodes[i];
nodes[i] = nodes[j];
nodes[j] = tmp;
}
}
}
}
}
class ArrayNode {
float currentWeight;
float currentValue;
float upboundValue;
String nodeChoices;
int nodeCount;
public ArrayNode(float currentWeight, float currentValue, String nodeChoices, int nodeCount) {
this.currentWeight = currentWeight;
this.currentValue = currentValue;
this.nodeChoices = nodeChoices;
this.nodeCount = nodeCount;
}
}
分支限界法求解背包问题
分支限界法求解背包问题 /*此程序实现,分支限界法求解背包问题,分支限界法是根据上界=当前背包的价值+背包 剩余载重* (剩余物品最大价值/质量)*/ 分支r 10 I 分S: 104 1.200060' 6 2.i/eeoe #i nclude
#include
蛮力法、动归、贪心、分支限界法解01背包问题剖析
算法综合实验报告 学号: 1004121206 姓名:林 一、实验内容: 分别用蛮力、动态规划、贪心及分支限界法实现对0-1背包问题的求解,并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。 二、程序设计的基本思想、原理和算法描述: 1、蛮力法 1.1数据结构 注:结构体obj用来存放单个物品的价值和重量 typedef struct obj { int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }; 1.2 函数组成 void subset(int s[][10],int n):用来生成子集的函数 void judge(int s[][10], obj obj[],int mark[],int n,int c):判断子集的可行性 int getmax(int mark[],int n,int &flag):求解问题的最优解 void outputObj(int flag,int s[][10],int n):输出选择物品的情况 1.3 输入/输出设计 本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。 1.4 符号名说明
符号说明 S[][]存放子集 mark[]记录子集的可行性 n物品的个数 c物品的容量 max记录背包所能产生的最大价值 flag记录能产生最大价值的子集的编号 1.5 算法描述 算法的伪代码描述如下: 输入:背包的容量c,物品的个数n,n个物品的重量 w[n],价值v[n] 输出:装入背包的物品编号以及产生的最大价值 1.初始化最大价值 max=0,结果子集 s=φ; 2.对集合{1,2,......n}的每一个子集T,执行下述操作: 2.1初始化背包的价值 v=0,背包的重量 w=0; 2.2对子集t的每一个元素j 2.2.1 如果w+wj 0-1背包问题 计科1班朱润华2012040732 方法1:回溯法 一、回溯法描述: 用回溯法解问题时, 应明确定义问题的解空间。 问题的解空间至少包含问题的一个 (最 优)解。对于0-1背包问题,解空间由长度为 n 的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所 有 0-1 赋值。例如 n=3 时,解空间为: {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) , (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1 , 1, 1) 然后可将解空间组织成树或图的形式, 0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定 n 种物品和一背包。物品i 的重量是wi ,其价 值为vi ,背包的容量为 C 。问:应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值 最大? 形式化描述:给定 c >0, wi >0, vi >0 , 1 w i < n.要求找一 n 元向量(x1,x2,…,xn,), xi € {0,1}, ? 刀wi xi w c,且刀vi xi 达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述: 0-1背包问题是子集选取问题。0-1背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空 间树时,只要其 左儿子节点是一个可行节点, 搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最 优解时,才进入右子树搜索。否则,将右子树剪去。设 r 是当前剩余物品价值总和, cp 是 当前价值;bestp 是当前最优价值。当 cp+r<=bestp 时,可剪去右子树。计算右子树上界的 更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序, 然后依次装入物品, 直至装不下时,再装 入物品一部分而装满背包。 例如:对于 0-1 背包问题的一个实例,n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1] 品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。 品4,然后装入物品3和1.装入这3个物品后,剩余的背包容量为1,只能装 由此得一个解为[1,0.2,1,1],其相应价值为22。尽管这不是一个可行解,但可以证明其价 值是最优值的上界。因此,对于这个实例,最优值不超过 在实现时,由 Bound 计算当前节点处的上界。类 Knap 的数据成员记录解空间树中的节 点信息,以减少参数传递调用所需要的栈空间。 在解空间树的当前扩展节点处, 仅要进入右 子树时才计算上界 Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界,因 为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码: #i nclude "stdafx.h" #in clude 分支限界法——01背包问题 12软工 028 胡梦颖 一、问题描述 0-1背包问题:给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有2种选择,即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分的物品i。 二、问题分析 分支限界法类似于回溯法,也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下,分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解。由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成其所有的儿子结点(分支),然后再从当前的活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点,加速搜索的进程,在每一个活结点处,计算一个函数值(限界),并根据函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进,以便尽快地找出一个最优解。这种方式称为分支限界法。人们已经用分支限界法解决了大量离散最优化的问题。 三.源代码 #include 实验四用分支限界法实现0-1背包问题 一.实验目的 1.熟悉分支限界法的基本原理。 2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。 二.实验内容及要求 内容:?给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w,其价值为v,背包容量为c。问应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 要求:使用优先队列式分支限界法算法编程,求解0-1背包问题 三.程序列表 #inelude stack 0-1背包问题 计科1班朱润华 2012040732 方法1:回溯法 一、回溯法描述: 用回溯法解问题时,应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个(最优)解。对于0-1背包问题,解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时,解空间为:{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}然后可将解空间组织成树或图的形式,0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述:给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述: 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时,只要其左儿子节点是一个可行节点,搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时,才进入右子树搜索。否则,将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和,cp是当前价值;bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时,可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序,然后依次装入物品,直至装不下时,再装入物品一部分而装满背包。 例如:对于0-1背包问题的一个实例,n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4,然后装入物品3和1.装入这3个物品后,剩余的背包容量为1,只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1],其相应价值为22。尽管这不是一个可行解,但可以证明其价值是最优值的上界。因此,对于这个实例,最优值不超过22。 在实现时,由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息,以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处,仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界,因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码: #include "stdafx.h" #include 实训一 0-1背包问题的分支限界法与实现 一、设计目的 1)掌握0-1背包问题的分支限界法; 2)进一步掌握分支限界法的基本思想和算法设计方法; 二、设计内容 1.任务描述 1)算法简介 分支限界法类似于回溯法,也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下,分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解, 而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使 某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解。 由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。 分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成其所有的儿子结点(分支),然后再从当前的 活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点,加速搜索的进程,在每一个活 结点处,计算一个函数值(限界),并根据函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作 为扩展结点,使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进,以便尽快地找出一个最优解。这种方 式称为分支限界法。人们已经用分支限界法解决了大量离散最优化的问题。 2)0-1背包问题简介 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有两种选择,即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分的物品i。因此,该问题称为0-1背包问题。 3)设计任务简介 对于分支限界类似的问题。首先,要能理解该问题运用到的分支限界的概念;其次,根据分支限界相关的基本思想,找出相应的数学公式;最后,进行程序的设计和编写。 利用分支限界的基本思想和计算步骤,有助于我们解决生活中遇到的各种数学问题。 4)问题分析 在解0-1背包问题的优先队列式分支限界法中,活结点优先队列中结点元素N的优先级由该结点的上界函数Bound计算出的值uprofit给出。子集树中以结点N为根的子树中任一结点的价值不超过 N.profit。可用一个最大堆来实现活结点优先队列。堆中元素类型为HeapNode,其私有成员有 uprofit,profit,weight和level。对于任意活结点N,N.weight是结点N所相应的重量;N.profit 是N所相应的价值;N.uprofit是结点N的价值上界,最大堆以这个值作为优先级。子集空间树中结 点类型为bbnode。 0-1背包问题的表示方案 问题描述 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述:给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ?∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 算法设计 首先,要对输入数据进行预处理,将各物品依其单位重量价值从大到小进行排列。在优先队列分支限界法中,节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。 算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点,则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点,仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。 例如:0-1背包问题,当n=3时,w={16,15,15}, p={45,25,25}, c=30。优先队列式分支限界法:处理法则:价值大者优先。 {}—>{A}—>{B,C}—>{C,D,E}—>{C,E}—>{C,J, K}—>{C}—>{F,G}—>{G,L,M}—>{G,M}—>{G}—>{N,O}—>{O}—>{} 算法代码实现如下: 1、MaxHeap.h [cpp]view plain copy 1.template 华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ~2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业 班级:200915326 学号:200915326 姓名:郜莉洁 一、实验题目: 分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题 二、实验内容: 0-1背包问题:给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有2种选择,即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分的物品i。 三、程序源代码: A:回溯法: // bag1.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include [汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01 背包问题 一、实验内容: 分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。 C注:0/1背包问题:给定种物品和一个容量为的背包,物品的重量ni 是,其价值为,背包问题是如何使选择装入背包内的物品,使得装入背wvii 包中的物品的总价值最大。其中,每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。 二、所用算法的基本思想及复杂度分析: 1.蛮力法求解0/1背包问题: 1)基本思想: 对于有n种可选物品的0/1背包问题,其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时,深度优先遍历,搜索每一个结点,无论是否可能产生最优解,都遍历至叶子结点,记录每次得到的装入总价值,然后记录遍历过的最大价值。 2)代码: #include }a[N]; bool m(goods a,goods b) { return (a.p/a.w)>(b.p/b.w); } int max(int a,int b) { return an-1){ if(bestP //#include "stdafx.h" #include 分支限界法解01背包问题 学院:网研院姓名:XXX 学号:2013XXXXXX 一、分支限界法原理 分支限界法类似于回溯法,也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一 般情况下,分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解;而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解。 由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。 分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成其所有的儿子结点(分支),然后再从当前的活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点,加速搜索的进程,在每一个活结点处,计算一个函数值(限界),并根据函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进,以便尽快地找出一个最优解。 常见的分支限界法有如下两种: 队列式(FIFO)分支限界法:按照先进先出原则选取下一个节点为扩展节点。活结点表是先进先出队列。FIFO分支限界法搜索策略: ◆一开始,根结点是唯一的活结点,根结点入队。 ◆从活结点队中取出根结点后,作为当前扩展结点。 ◆对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查, 把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。 ◆再从活结点表中取出队首结点(队中最先进来的结点)为当前扩展结点, 重复上述过程,直到找到一个解或活结点队列为空为止。 LC(least cost)分支限界法(优先队列式分支限界法):按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。活结点表是优先权队列,LC分支限界法将选取具有最高优先级的活结点出队列,成为新的扩展节点。优 先队列式分支限界法搜索策略: ◆对每一活结点计算一个优先级(某些信息的函数值); ◆根据这些优先级从当前活结点表中优先选择一个优先级最高(最有利) 的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进,以 便尽快地找出一个最优解。 ◆再从活结点表中下一个优先级别最高的结点为当前扩展结点,重复上述 过程,直到找到一个解或活结点队列为空为止。 《算法设计与分析》实验报告六 学号: 1004091130 姓名:金玉琦 日期:2011-11-17得分: 一、实验内容: 运用分支限界法解决0-1背包问题。 二、所用算法的基本思想及复杂度分析: 分支限界法 分支限界法按广度优先策略遍历问题的解空间树, 在遍历过程中, 对已经处理的每一个结点根据限界函数估算目标函数的可能取值, 从中选取使目标函数取得极值的结点优先进行广度优先搜索, 从而不断调整搜索方向, 尽快找到问题的解。因为限界函数常常是基于问题的目标函数而确定的, 所以, 分支限界法适用于求解最优化问题。 0-1背包问题 1)基本思想 给定n 种物品和一个容量为C 的背包, 物品i 的重量是W i, 其价值为V i, 0/ 1 背包问题是如何选择装入背包的物品(物品不可分割) , 使得装入背包中物品的总价值最大,一般情况下, 解空间树中第i 层的每个结点, 都代表了对物品1~i 做出的某种特定选择, 这个特定选择由从根结点到该结点的路径唯一确定: 左分支表示装入物品, 右分支表示不装入物品。对于第i 层的某个结点, 假设背包中已装入物品的重量是w, 获得的价值是v, 计算该结点的目标函数上界的一个简单方法是把已经装入背包中的物品取得的价值v, 加上背包剩余容量W - w 与剩下物品的最大单位重量价值vi + 1/ wi + 1的积,于是,得到限界函数: u b = v + ( W - w) × ( vi + 1/ wi + 1 ) 根据限界函数确定目标函数的界[ down , up],然后, 按照广度优先策略遍历问题的空间树。 2)复杂度分析 时间复杂度是O(2n); 三、源程序及注释: #include 分支限界法之LC01背包 1.问题描述:已知有N个物品和一个可以容纳M重量的背包,每种物品I的重量为WEIGHT,一个只能全放入或者不放入,求解如何放入物品,可以使背包里的物品的总效益最大。 2.设计思想与分析:对物品的选取与否构成一棵解树,左子树表示不装入,右表示装入,通过检索问题的解树得出最优解,并用结点上界杀死不符合要求的结点。 #include 实验四用分支限界法实现0-1背包问题 一.实验目的 1.熟悉分支限界法的基本原理。 2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。 二.实验内容及要求 内容:.给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w,其价值为v,背包容量为c。问应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 要求:使用优先队列式分支限界法算法编程,求解0-1背包问题 三.程序列表 #include void AddLiveNode(double up, double cp, double cw, bool ch, int level);//up是价值上界,cp是相应的价值,cw是该结点所相应的重量,ch是ture or false stack 分支限界法——01 背包问题 12 软工028 胡梦颖 一、问题描述 0-1背包问题:给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时,对每种物品i 只有2种选择,即装入背包或不装入背包。不能将物品i 装入背包多次,也不能只装入部分的物品i。 二、问题分析 分支限界法类似于回溯法,也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下,分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解。由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成其所有的儿子结点(分支),然后再从当前的 活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点,加速搜索的进程,在每一个活结点处,计算一个函数值(限界),并根据函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进,以便尽快地找出一个最优解。这种方式称为分支限界法。人们已经用分支限界法解决了大量离散最优化的问题。 三.源代码 #include 0-1背包问题 计科1班朱润华2012040732 方法1:回溯法 一、回溯法描述: 用回溯法解问题时,应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个(最优)解。对于0-1背包问题,解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时,解空间为:{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}然后可将解空间组织成树或图的形式,0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述:给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑wi xi≤c,且∑vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述: 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时,只要其左儿子节点是一个可行节点,搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时,才进入右子树搜索。否则,将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和,cp是当前价值;bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时,可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序,然后依次装入物品,直至装不下时,再装入物品一部分而装满背包。 例如:对于0-1背包问题的一个实例,n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4,然后装入物品3和1.装入这3个物品后,剩余的背包容量为1,只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1],其相应价值为22。尽管这不是一个可行解,但可以证明其价值是最优值的上界。因此,对于这个实例,最优值不超过22。 在实现时,由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息,以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处,仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界,因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码: #include "stdafx.h" #include 一、实验题目: 分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题 二、实验内容: 0-1背包问题:给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有2种选择,即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分的物品i。 三、程序源代码: A:回溯法: // bag1.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include 分支限界法求0-1背包问题实验程序以及代码(C++)本程序中(规定物品数量为3,背包容量为30,输入为6个数,前3个为物品重量,后3个数为物品价值): 代码: #include double w[N],p[N]; //把物品重量和价值定义为双精度浮点数 double cw,cp,c=30; //cw为当前重量,cp为当前价值,定义背包容量为30 int n=3; //货物数量为3 int main() { cout<<"请按顺序输入3个物品的重量:(按回车键区分每个物品的重量)"<回溯法和分支限界法解决0-1背包题
0-1背包问题(分支限界法)
实验4用分支限界法实现0-1背包问题
回溯法和分支限界法解决0-1背包题
第五组分支限界法(0-1背包问题)
0036算法笔记——【分支限界法】0-1背包问题
分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题
[汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题
0-1背包问题的分支限界法源代码
分支限界法解01背包问题
实验报告 分支限界法01背包
分支限界法之LC01背包
最新实验 4 用分支限界法实现0-1背包问题
0-1背包问题(分支限界法)
回溯法和分支限界法解决0-1背包题
分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题
分支限界法求0-1背包问题实验程序以及代码(c)