定积分练习题1
定积分练习题
一．选择题、填空题
1．将和式的极限)0(.......321lim
1
>+++++∞→p n n P p
p p p n 表示成定积分 （ ）
A ．
dx x ?1
01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p
?10)(
2．将和式)21
.........2111(lim n
n n n +++++∞→表示为定积分 ．
3．下列等于1的积分是 （ ）
A ．
dx x ?
1
B ．dx x ?
+1
)1( C ．dx ?
1
01
D ．dx ?1
021
4．dx x |4|1
2?-=
（ ）
A ．
321
B ．
3
22 C ．
3
23
D ．3
25 5．曲线]2
3,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积
（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
5
D ．3 6．dx e e x x ?
-+1
)(=
（ ）
A ．e e 1+
B ．2e
C ．
e
2
D ．e
e 1-
7.若1
x m e dx =
?
，11
e
n dx x
=?
，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．无法确定
8.
9．由曲线2
1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①
1
2
1
(1)x dx --?
；②1
2
1
(1)x dx --?；③1
2
2(1)x dx -?；④0
21
2(1)x dx --?．
则S 等于（ ）
A ．①③
B ．③④
C ．②③
D ．②④
10.0
(sin cos sin )x
y t t t dt =
+?
，则y 的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．7
2
-
D ．0
11. 若()f x 是一次函数，且1
()5f x dx =?
，10
17
()6xf x dx =
?，那么21()f x dx x
?的值是 ．
15．设???
??
π<≤π=其余0
x 3x sin )x (f ，则=?π0
2cos )(xdx x f ( )
（A ）
4
3 （B ）4
3-
（C ）1 （D ）－1
17. 定积分 dx x x ?
-π
3sin sin 等于_______ 18. 定积分
dx x x ?
-π0
3cos cos 等于( )
（A ） 0 （B ）
2
3
（C ） 3
4 （D ） 34
-
19. 定积分
?
-2
|cos sin |π
dx x x 等于( )
（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 20.定积分
dx x x ?
-2
2
23}1,,max {等于( )
（A ） 0 （B ） 4 （C ） 316 （D ）12
97 综合题：
1
1
2
22520
02
2
(1)(2)ln(1)(3)(4cos )2
x dx
x dx
x x x x dx x x -+--+--?
??
2
30
22
2
22222
2
(4)(5)(1ln )ln (32)
1(6)tan [sin 2ln(1)](7)24e e
dx
dx x x x
x x x x x x dx
dx
x
π
π--+-+++++?
?
??
22222
lim(
...)12n n n n
n n n n →∞
++++++(14)用定积分定义计算极限：
定积分练习题
2.
=-+?
-11
21)1(dx x x ( )
（A ）π
（B ）
2
π
（C ）π2
（D ）
4
π 3. 设]1,0[C f ∈，且2)(10
=?dx x f ，则=?20
22sin )(cos π
xdx x f ( )
（A ）2
（B ）3
（C ）4 （D ）1
4. 设)(x f 在],[b a 上连续，且?
=b
a
dx x f 0)(，则（ ）。
（A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ；
（C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；
（D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
5.
dx x x x ?
+-2
232=( )
(A)
)22(154+ )22(15
4
+- 528324- (D)528324+- 6..=+?-1
11dx e e x
x
( ) (A) 1- (B) e e +-11 (C) e
e
-+11 (D) 1- 填空、选择题
8
722
(1)sin _______,
cos _______,
xdx xdx π
π
==??
0221
10
1
20051sin (2)lim
______;
ln(1)
(3)2_______;
(4)(1)_______;
(5)1cos 2_______;
(6)()()sin ()()______;(7)(1)()______;
(8x
x x
x x t tdt
x x x dx y t t dt xdx f x f x x f x dx f x x x e e dx π
π→----=+-==-+==+=+-=????
??曲线的上凸区间是设是连续函数，且，则：1
11
)lim ln(1)_______;x
x dt x
t
→+∞-
=?
定积分练习题
一．计算下列定积分的值 （1）
?
--3
1
2
)4(dx x x ；（2）?-2
1
5
)1(dx x ； （3）dx x x ?+20
)sin (π
；（4）dx x ?-
22
2cos π
π；
（5）π
2
20
cos 2d θ
θ?
（6）?+10)32(dx x ； （7）?+-1
022
11dx x x ； （8）?2ln e e x x dx ；
（9）?--1
02dx e e x x ； （10）?302tan π
xdx （11）?+94;)1(dx x x （12）?+40;1x
dx
（13）?e
e
dx x x 12)(ln 1 （14）?205;2sin cos πxdx x （15）?20;sin π
xdx e x （16）?+-102/32;)1(x x dx
（17）
?
+20
2;sin 1cos π
dx x x （18）?-+10;x x e
e dx
三．利用定积分求极限
（1）;)(1)2(1)1(122
2lim ??
????++++++∞→n n n n n n
（2）);21
)2(111(
222lim n n n n n +++++∞
→
定积分练习题
一、填空题： 1. 如果在区间[,]a b 上, ()1f x ≡,则()b a
f x dx =?
.
2.
10
(23)x dx +=?
.
3. 设20()sin x f x t dt =?,则()f x '= .
4. 设2
1
cos ()t x
f x e dt -=?
,则()f x '= .
5.
250
cos sin x xdx π=?
6.
21
22
sin
n xdx π
π--=? .
7.
31
1
dx x
+∞=?
.
8. 比较大小,
32
1
x dx ?
3
31
x dx ?.
9. 由曲线sin y x =与x 轴,在区间[0,]π上所围成的曲边梯形的面积为 . 10. 曲线2
y x =在区间[0,1]上的弧长为 . 二、选择题：
1. 设函数 f(x)仅在区间[0，4]上可积，则必有
?
3
)(dx x f =[ ]
A ．+?
2
0)(dx x f ?3
2)(dx x f B ．+
?-1
)(dx x f ?
-3
1)(dx x f C ．+
?
5
0)(dx x f ?
3
5
)(dx x f D ．+
?10
)(dx x f ?
3
10
)(dx x f
2.设I 1=
?
1
xdx ，I 2=?21
2dx x ，则[ ]
A ． I 1≥I 2
B ．I 1>I 2
C ．I 1≤I 2
D ．I 1
(1)(2)0x
dy
y t t dt x dx
=
--==?
则
A ．2
B ．-2
C ．0
D ．1 4.
[]0
(23)2,a
x x dx a -==?
则
A ．2
B ．-1
C ．0
D ．1
5. 设f （x ）=???≤>)
0()
0(2x x x x 则?-11
)(dx x f =[ ]
A ．2?
-0
1
xdx B ．2?1
2dx x
C ．
?10
2
dx x
+?-01
xdx D ．+
?1
xdx ?
-0
1
2dx x
6. []20
2
sin lim
x x t dt x →=?
A ．
21 B ．3
1
C ．0
D ．1 7. ?
-=x
t
tdt e x F 0
,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )
(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值 )2
(π
F 为极大值,但无最小值
(B) )2
(π
F 为极小值,但无极大值 )2
(π
F 为最小值,)0(F 为最大值
9. 设)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，且
3)(2
1
2-=?
-x dt t f x ，则=)2(f （ ）
(A) 2 (B) -2 (C) 41 (D)4
1- 10. 定积分
dx x x ?++1
021)
1ln( =（ ）
（A ） 1 （B ）
2π
（C ） 2ln （D ） 2ln 8
π
11. 定积分 dx e x
x ?--+44
21tan π
π
=（ ） （A ）
21 （B ） 2
41π
+ （C ） 2
1π
+
（D ） 4
1π
-
13. 设函数 ],[b a R f ∈， 则极限 ?+∞
→π
|sin |)(lim
dx nx x f n 等于（ ）
（A ） ?
π
)(2dx x f （B ）
?π
π
)(2
dx x f
（C ）
?π
π
)(1
dx x f （D ） 不存在
14. 设)(x f 为连续函数，且满足
12
)(2
-+-=--?
x x
e x dt x t
f ，则=)(x f （ ）。
（A ）x
e x --- （B ）x
e x + （C ）x
e x -+- （D ）x
e x -
15. 设正定函数),[b a C f ∈，?
?
+=
x b
x a
dt x f dt t f x F )
(1
)()(，则0)(=x F 在 ),(b a 内根的个数为 ( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
三．计算题：
1. 22
01x d t dt dx
+? 2. 20sin xdx π? 3.
12
4dx x
-?
4. 2
2
2
20
()lim
x
t x
x t e dt te dt
→??
5.
22
1(0)a dx a x a >+?
6. 41
dx
x x
+?
7.
212
t te
dt -
?
8. 1
x e dx ?
1 定积分的概念
§1.定积分的概念 ※ 学习目标 1．理解定积分产生的背景； 2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习： 导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用 导数在解决数学最值问题上的方法步骤 二、研读课本 课本问题1 图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S. 新知总结 积分问题的基本思路及步骤 1、分割： 将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0 1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算、定积分 [考纲要求] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1 x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义． 突破点一 导数的运算 [基本知识] 1．导数的概念 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝ 1x ln a 3.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? f x g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x 2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3 3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22 , 专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1 ()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1) )()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。 定积分与微积分定理 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?， 而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间 [],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式 ()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L 第三章导数及其应用 全国卷5年考情图解高考命题规律把握 1.本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与 函数的性质相结合出现在压轴小题中． 3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的 切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或 已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二 问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参 数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ 和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数 在函数单调性中的应用，总体难度偏大. 第一节导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 1.2 定积分 【选题明细表】 基础达标 1.如图所示是一个质点做直线运动的v t图像,则质点在前6 s内的位移s(单位:m)为( A ) (A)9 (B)12 (C)14 (D)15 解析:若把[0,6]这个区间分割得很小时,每一个小区间上都可以看作是匀速的,这时可用矩形面积近似地替代小梯形的面积,而质点在前6 s内的位移即为这些小矩形面积的和,这样只要求出图中三角形面积即可. ∴s=×3×6=9(m),故选A. 2.定积分dx的大小( A ) (A)与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 (B)与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 (C)与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 (D)与f(x)、区间[a,b]和ξi的取法都有关 解析:∵从定义上考虑,当[a,b]分割的区间越小时,ξi的取值趋近相等,∴dx的大小与ξi无关,只与积分区间[a,b]及f(x)有关,故选 A. 3.设函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,用分点a=x0 渭南市吝店中学曹茹军 本节课是高二新授课，是选修2-2第四章第一节的内容：《定积分的概念》课程内容安排为一课时。 此内容要求学生在充分认识导数的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．理解掌握定积分的几何意义和性质；认识到数学知识的实用价值。 新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。围绕这个宗旨，我在课堂内容的编排上作了一定的思考。在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。在问题设置上，尽量让学生能通过自己的努力探索独立完成，通过独立思考展示与合作探究展示相结合，让其承担起引导思考与解释的重任。 我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。 当然这节课还有一些不足之处，由于没有在课前提前向学生透漏问题，想要在课堂上反应学生的真实水平，因此学生回答问题时不够全面，导致学生回答的次数较多且有些同学比较拖沓，出现了上课前松后紧的遗憾。我觉得这样的课堂模式导学案的设置是很重要的，在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能，提高自己的业务水平。 最后为了上好这堂课，背后凝聚了我们全组老师集体的智慧与力量，大家在一起共同研究与探讨，出了许多好的主意，在此一并表示感谢。5.1 定积分的概念与性质-习题
[2020理数]第三章 第一节 导数的概念及运算定积分
(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)
定积分的概念
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第三章+第一节+导数的概念和运算、定积分和答案
§1 定积分的概念
定积分的概念教学反思