全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形
全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线
高中数学竞赛之路
金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星） 2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》余红兵19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ．
2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减
专题07 整式的加减 阅读与思考 整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则． 物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项． 例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的 式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时， 代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？
高中数学竞赛培优——不等式
不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,
王总结数学：高一逆袭培优班数学“不掉队”!快人一步,高二高三成优势!
王总结数学：高一逆袭培优班数学“不掉队”！快人 一步，高二高三成优势！ 每一年我们都会收到很多高一学生的求助，他们刚入高中就被数学吓到了，抱怨数学难，不知道数学怎么学？ 为什么会这样呢？ 因为，高中数学和初中数学存在本质的差别，很多同学初中时，只要在数学考试前刷题补习就能取得很好的成绩，但是到了高中，这一招就根本没用了！ 初中时名列前茅，到了高中成绩大幅下滑，这种落差打击了很多同学的自信。刚入高一，千万不能输在起点，否则高二高三会非常吃力辛苦。 王总结数学《高一逆袭培优课程》就是你不被落下，超越同伴的秘密武器。 《高一逆袭培优课程》针对高一学生精选课程内容：高一同步课程+应试秒杀技巧，高考之前无限次观看。 在王总结数学《高一逆袭培优》课程中，包括了高一必修课程的所有重难点，还有总结好了的考试常考知识点和题型。这些都能帮助学生打牢基础知识，让学生树立数学信心，在高一时拿下高分，在高二高三时学习游刃有余。 里面还包括了应试模型秒杀技巧，让学生能在考试中达到用时最短，准确率高，得分高的效果。 王总结数学《高一逆袭培优班》由高考数学应试专家王总结
老师亲自授课，985高校毕业的答疑老师全程跟踪督促保证授课质量！ 课下还有多重保障障，为孩子的成绩保驾护航！ 王总结数学就是采取的这样的革命课程体系，很多同学的成绩都在这样的保障之下得到提升，如此也在万千学生和家长之中收获了良好的口碑！ 我们为什么一定要在高一时学好数学拿下高分？ 因为无论是整个高中最重要的学习版块——基本初等函数，还是最让人头疼的高考必考分——数列，它们都集中在高一的课程中，如果等到高三再补，无疑增加了负担。正所谓“磨刀不误砍柴工”。 王总结数学《高一逆袭培优》课程，一直以来备受家长学生的欢迎肯定，提分效果非常明显，每一年的报名也是非常火爆的。
高中数学选修4—5历年高考题
高中数学选修4—5历 年高考题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 高中数学选修4—5历年高考题 1．（07海南理）设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式()2>x f ； （2）求函数()x f y =的最小值． 2．（08海南理）已知函数()48---=x x x f ． （1）作出函数()x f y =的图象； （2）解不等式248>---x x 3．（09海南文理）如图，O 为数轴上的原点，M B A ,,为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到 B 距离的6倍的和． （1）将y 表示为x 的函数；（ （2）要使y 的值不超过70，x 应在什么范围内取值？ 4．（09辽宁理）设函数()|1|||f x x x a =-+-．
（1）若1-=a ，解不等式()3f x ≥； （2）如果x R ?∈，()2f x ≥，求a 的取值范围． 5．（10福建理）已知函数()a x x f -=． （1）若不等式()3≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，若()()m x f x f ≥++5对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 6．（10海南文理）设函数()142+-=x x f （1）画出函数()x f y =的图象； （2）若不等式()ax x f ≤的解集非空，求a 的取值范围． 7．（10辽宁文理）已知c b a ,,均为正数，证明： 361112 2 2 2 ≥?? ? ??+++++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立． 8．（11福建理）设不等式112<-x 的解集为M ． （1）求集合M ； （2）若M b a ∈,，试比较1+ab 与b a +的大小． 9．（11海南文理）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >． （1）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{}1|-≤x x ，求a 的值． 10．（11江苏）解不等式：312<-+x x ． 11．（11辽宁文理）已知函数()52---=x x x f
初中培优竞赛含详细解析 第1讲 整数的基本性质
初中数学竞赛专题1——整数的基本性质 1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】1#0#1#4#A 三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则 +X2+2X3=47×2 ① X X2+X3+2X1=61×2 ② X3+X1+2X2=60×2 ③ 由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10. 所以X1-X3=28. 【答案】A 【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法. 2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题） 【标准答案】2#0#1#4#B 三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数} A．30 B．31 C．32 D. 33 【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小. 【答案】B 【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数. 【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错.
数学培优讲义(均值不等式)
数学培优讲义 均值不等式 均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。 定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+ 推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2 2??? ??+≤b a ab 推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3 3??? ??++≤c b a abc 推论3、 ),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n a a a n n n n （等号成立的条件是n a a a =???==21） 例 题 分 析 例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥ 练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥ 练习2、设a >b >0，那么a 2+)(1 b a b -的最小值是_____
例2、（1）的最大值；求函数设)cos 1(2sin ,0αα πα+=<> 练习2、设a >b >c ，证明 4≥--+--c b c a b a c a 练习3、设X 1, X 2…X n +∈R ，求证≥++++-1221322221...X X X X X X X X n n n X 1+ X 2+…+ X n 练习4、的最小值，求设xz y z x y z x z y x ++-- ->>)(272
新高考文科数学二轮培优教程文档：第二编 专题三 数列 第1讲
专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列 「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分. 核心知识回顾 1.等差数列 (1)通项公式：□ 01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□ 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 2．等比数列 (1)等比数列的通项公式：□ 01a n ＝a 1q －＝a m q －. (2)等比中项公式：□ 02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)等比数列的前n 项和公式： □ 03S n ＝??? na 1(q ＝1)， a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1) . 3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数) (1)若m ＋n ＝l ＋k □ 01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□ 02a m ＋a n ＝2a p . (2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□ 03等差数列． (3)等差数列的“依次每m 项的和”即S m □04S 2m －S m ，□ 05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列．
高考数学选修部分
高中数学学习材料 金戈铁骑整理制作 第十五章 选修部分 试题部分 1.【2015高考天津，文6】如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 52 2.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____. 3.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程 为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x t y t ?=??=??（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 4.【2015高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ． 5【2015高考上海，文5】若线性方程组的增广矩阵为 ??02 13 ??? ?21c c 解为???==53y x ，则=-21c c .
6.【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠ (II)若3,2AD DC BC ==，求O 的直径. 7.【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与 参数方程 在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32 x t t y t ?=+????=??为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=. (I)写出C 的直角坐标方程； (II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 8. 【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值； (II)求12at bt ++的最大值. 9.【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E . （I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O 切线； （II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小. 10.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()22 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程 .
初中几何学霸内部秘籍系列1(学而思培优竞赛)
初中几何学霸内部秘籍系列1（学而思培优 竞赛） 模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型证明： ∵OP平分∠MON， ∴∠AOP=∠BOP； 又 PA⊥OM ，PB⊥ON， ∴∠OAP=∠OBP=90°； OP=OP； ∴RT△OAP≌RT△OBP, ∴PB=PA。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，
为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC。 解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2 （2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等， ∴AP 平分∠BAC
模型练习 1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 证明：如图延长BA， 过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点， ∵BD 平分∠ABC ∴DE=DF, 又AD=DC ∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD ∴∠BAD+∠BCD=180° 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
高中数学竞赛培优专题辅导-复数
高中数学竞赛培优专题辅导-复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1? ?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ).
高一数学 培优教材三角函数
高一年段数学培优教材第四讲 三角函数 一、基础知识： 1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2 x k k Z π π=+ ∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈； cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2 k k Z π π+ ∈ tan (,)2 y x x k k Z π π=≠+ ∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形. 2． 求三角函数最值的常用方法： ① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ω?=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值. ② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x b y c x d +=+）可利用正弦函数的有界性来求. ④ 利用函数的单调性求. 二、综合应用： 1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3 α= 时，)f α=_________________ 2． 已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________ 3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________ 4． 函数5cos 23sin ,[,]63 y x x x ππ =+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________ 6． 函数sin (0)2cos x y x x π= <<+的最大值是_________________ 7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4 y a bx π =+ 的最小正周期. 8． 已知函数2 ()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0, ]2 π ，值域是[5,1]-，求,a b 的值. 9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8 x π =- 对称，求a 的值. 10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当1 3 x = 时，()f x 取最大值为2. （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123 [,]44 上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由. 11．已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π 上是单调函数，求,?ω的值. 12．已知定义在区间2[, ]3 ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6 π - =x 对称，当2[, ]6 3 x π π∈- 时，函数 ()s i n ()(0, 0,) 22 f x A x A ππ ω?ω?=+>>-<< ， 其图象如图所示. （1）求函数()y f x =在2[, ]3 ππ-的表达式； x
数学高考大题题型归纳必考
数学高考大题题型归纳必考题型例题
数学高考大题题型归纳必考题型例题 1数学高考大题题型有哪些 必做题： 1.三角函数或数列（必修4，必修5） 2.立体几何（必修2） 3.统计与概率（必修3和选修2-3） 4.解析几何（选修2-1） 5.函数与导数（必修1和选修2-2） 选做题： 1.平面几何证明（选修4-1） 2.坐标系与参数方程（选修4-4） 3.不等式（选修4-5） 2数学高考大题题型归纳 一、三角函数或数列 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 二、立体几何 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步
初中数学竞赛培优辅导反证法和构造法(含答案)
培优辅导 反证法和构造法 一、选择题: 1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ） A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数 C 、a,b,c 中至少有两个偶数 D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a 3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ） A 、C 队 B 、D 队 C 、E 队 D 、F 队 4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的 实数，则 的值是( ) A 、3 B 、 31 C 、2 D 、3 5 5．关于x 的一元二次方程2a x 2 -2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围 是 （ ） A 、a ＞0或a ＜-4． B 、a ＜-4． C 、a ＞0． D 、－4＜a ＜0． 二、填空题 6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。”时，第一步应反设: ________________________________________________. 7．不查表可求得=?5.22cot _________. 8．321-+-++x x x 的最小值是______________. 9．若28,142 2=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________. 10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则a c b +=______________. 三、解答题
【精品】五年级下册数学试题：培优专题讲练：第4讲 巧解盈亏应用题 人教版
第4讲巧解盈亏应用题 方法和技巧 分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。 常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛 【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。问：小波家和体育馆相距多少米？ 分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有50×3＝150（米）；由每分钟走65米早到3分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以走65×3＝195（米）。 每分钟50米少150米 ？分钟每分钟 每分钟65米多195米 比较两种方案，每分钟相差65－50＝15（米），结果相差150＋195＝345（米）。时间为345÷15＝23（分），即出发4分钟后距离准时比赛时间。按第一种方案一共药性4＋23＋3＝30（分）才能到达体育馆，小波家与体育馆相距50×（345÷15﹢7）＝50×﹙23﹢7﹚ ＝1500米答：小波家和体育馆相距1500米。
做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完”转化成： 如果每只猴都分8个就少（8－4）×10＝40个，然后按盈亏问题来求解。 每只猴都分8个，所缺桃子数为﹙8－4﹚×10＝40﹙个﹚ 猴子总数为﹙40＋32﹚÷﹙8－5﹚＝24（只） 猴子总数为5×24＋32＝152﹙个） 答：猴山有猴24只，共买来152个桃。 做一做2 农民种树，其中有3人分得树苗各4棵，其余每人分得3棵，这样最后余下树苗11棵，如果1人先得3棵，其余的每人分得5棵，则树苗恰好分尽。求人数和树苗的总数各是多少？ B级更上层楼 【例3】某中学买了一批英文打字机，分给高中三年级各班。其中两个班各分6台，其余各班分3台，则多6台；如果有一个班分7台，其余各班分5台，则还差12台。问：学校买来了多少台打字机分给多少个高中三年级的班？
高中数学竞赛怎么学
数学竞赛怎么学 搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。 学习进度方面 要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。 入门书单 首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。接下来的书就是建立在此基础上的。我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。 1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。 2）《奥数教程》 经典奥数蓝皮书。优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。) 提高书单 1）《奥赛小丛书》 专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。
2018年高考数学试题分类汇编_选修 精品
十五、选修4 1.（山东理4）不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 A ．[-5，7] B ．[-4，6] C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞ 【答案】D 2.（北京理5）如图，AD ，A E ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ， F ，延长AF 与圆O 交于另一点 G 。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA ；②AF· AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是A ．①② B ．②③C ．①③ D ．①②③ 【答案】A 3.（安徽理5）在极坐标系中，点θρπ cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为 （A ）2 （B ）942π+ （C ）9 12π+ （D ）3【答案】D 4.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A ．(1,)2π B ．(1,)2π - C ． (1,0) D ．(1，π)【答案】B 5.（天津理11）已知抛物线C 的参数方程为28,8. x t y t ?=?=?（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2 224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.【答 6.（天津理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长 线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线 段CE 的长为__________. 【答案】2 7.（天津理13）已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ??= ∈++-≤=∈=+-∈+∞????，则集合A B ?=________.【答案】{|25}x x -≤≤ 8.（上海理5）在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。 【答案】arccos 5 9.（上海理10）行列式a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 。【答案】6 （陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评10.分） A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 。 B ．（几何证明选做题）如图，,,90B D AE B C AC D ∠=∠⊥∠= ，且6,4,12A B A C A D ===，则B E = 。 C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，
