人们都知道热传导有三种形式
人们都知道热传导有三种形式：辐射、传导、对流。
①热传导：热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一系统的现象叫做热传导。热传导是固体中热传递的主要方式。在气体或液体中，热传导过程往往和对流同时发生。各种物质的热传导性能不同，一般金属都是热的良导体，玻璃、木材、棉毛制品、羽毛、毛皮以及液体和气体都是热的不良导体，石棉的热传导性能极差，常作为绝热材料。
热从物体温度较高的一部分沿着物体传到温度较低的部分的方式叫做热传导。
②对流：液体或气体中较热部分和较冷部分之间通过循环流动使温度趋于均匀的过程。对流是液体和气体中热传递的主要方式，气体的对流现象比液体明显。对流可分自然对流和强迫对流两种。自然对流往往自然发生，是由于温度不均匀而引起的。强迫对流是由于外界的影响对流体搅拌而形成的。
靠气体或液体的流动来传热的方式叫做对流。
③热辐射：物体因自身的温度而具有向外发射能量的本领，这种热传递的方式叫做热辐射。热辐射虽然也是热传递的一种方式，但它和热传导、对流不同。它能不依靠媒质把热量直接从一个系统传给另一系统。热辐射以电磁辐射的形式发出能量，温度越高，辐射越强。辐射的波长分布情况也随温度而变，如温度较低时，主要以不可见的红外光进行辐射，在500摄氏度以至更高的温度时，则顺次发射可见光以至紫外辐射。热辐射是远距离传热的主要方式，如太阳的热量就是以热辐射的形式，经过宇宙空间再传给地球的。
高温物体直接向外发射热的现象叫做热辐射。
热的导体
各种物体都能够传热，但是不同物质的传热本领不同．容易传热的物体叫做热的良导体，不容易传热的物体叫做热的不良导体。金属都是热的良导体。瓷、木头和竹子、皮革、水都是不良导体。金属中最善于传热的是银，其次是铜和铝．最不善于传热的是羊毛、羽毛、毛皮、棉花，石棉、软木和其他松软的物质。液体，除了水银外，都不善于传热，气体比液体更不善于传热．
散热器材料的选择
散热片的制造材料是影响效能的重要因素,选择时必须加以注意!目前加工散热片所采用的金属材料与常见金属材料的热传导系数:
金 317 W/mK
银429 W/mK
铝401 W/mK
铁237 W/mK
铜 48 W/mK
AA6061型铝合金155 W/mK
AA6063型铝合金201 W/mK
ADC12型铝合金96 W/mK
AA1070型铝合金226 W/mK
AA1050型铝合金209 W/mK
热传导系数的单位为W/mK,即截面积为1平方米的柱体沿轴向1米距离的温差为1开尔文(1K＝1℃)时的热传导功率.
热传导系数自然是越高越好,但同时还需要兼顾到材料的机械性能与价格.热传导系数很高的金、银,由于质地柔软、密度过大、及价格过于昂贵而无法广泛采用;铁则由于热传导率过低,无法满足高热密度场合的性能需要,不适合用于制作计算机空冷散热片.铜的热传导系数同样很高,可碍于硬度不足、密度较大、成本稍高、加工难度大等不利条件,在计算机相关散热片中使用较少,但近两年随着对散热设备性能要求的提高,越来越多的散热器产品部分甚至全部采用了铜质材料.铝作为地壳中含量最高的金属,因热传导系数较高、密度小、价格低而受到青睐;但由于纯铝硬度较小,在各种应用领域中通常会掺加各种配方材料制成铝合金,寄此获得许多纯铝所不具备的特性,而成为了散热片加工材料的理想选择.
各种铝合金材料根据不同的需要,通过调整配方材料的成分与比例,可以获得各种不同的特性,适合于不同的成形、加工方式,应用于不同的领域.上表中列出的5种不同铝合金中:AA6061与AA6063具有不错的热传导能力与加工性,适合于挤压成形工艺,在散热片加工中被广为采用.ADC12适合于压铸成形,但热传导系数较低,因此散热片加工中通常采用AA1070铝合金代替,可惜加工机械性能方面不及ADC12.AA1050则具有较好的延展性,适合于冲压工艺,多用于制造细薄的鳍片.
如何判断芯片是否需要增加散热措施
如何判断芯片是否需要增加散热措施【铝合金散热器】
第一步:搜集芯片的散热参数.主要有:P、Rja、Rjc、Tj等
第二步:计算T c-max:Tc-max=Tj- Rjc*P
第三步:计算要达到目标需要的Rca:Rca=(Tc-max-Ta)/P
第四步:计算芯片本身的Rca’:Rca’=Rja-Rjc
如果Rca大于Rca’,说明不需要增加额外的散热措施.
如果Rca小于Rca’,说明需要增加额外的散热措施.比如增加散热器、增加风扇等等.
如前所述,Rja不能用于准确的计算芯片的温度,所以这种方法只能用于简单的判断.而不能用于最终的依据.下面举一个简单的例子:
例:某芯片功耗——1.7W;Rja——53℃/W;Tj——125℃;Rjc——25℃/W,芯片工作的最大环境温度是50℃.判断该芯片是否需要加散热器,散热器热阻是多少.
Tc-max=Tj- Rjc*P
=125℃-25℃/W*1.7W
=82.5℃
Rca=(Tc-max-Ta)/P
=(82.5-50)1.7
=19.12℃/W
Rca’=Rja-Rjc
=53-25
=28℃/W
Rca小于Rca’,所以需要增加散热器.
散热器的热阻假设为Rs,则有:
Rs//Rca’小于Rca
Rs*28/(Rs+28)小于19.12
Rs小于60.29℃/W
所以选用的散热器热阻必须小于60.29℃/W.
在普通的数字电路设计中,我们很少考虑到集成电路的散热,因为低速芯片的功耗一般很小,在正常的自然散热条件下,芯片的温升不会太大.随着芯片速率的不断提高,单个芯片的功耗也逐渐变大,例如:Intel的奔腾CPU的功耗可达到25W.当自然条件的散热已经不能使芯片的温升控制在要求的指标之下时,就需要使用适当的散热措施来加快芯片表面热的释放,使芯片工作在正常温度范围之内.
通常条件下,热量的传递包括三种方式:传导、对流和辐射.传导是指直接接触的物体之间热量由温度高的一方向温度较低的一方的传递,对流是借助流体的流动传递热量,而辐射无需借助任何媒介,是发热体直接向周围空间释放热量.
在实际应用中,散热的措施有散热器和风扇两种方式或者二者的同时使用.散热器通过和芯片表面的紧密接触使芯片的热量传导到散热器,散热器通常是一块带有很多叶片的热的良导体,它的充分扩展的表面使热的辐射大大增加,同时流通的空气也能带走更大的热能.风扇的使用也分为两种形式,一种是直接安装在散热器表面,另一种是安装在机箱和机架上,提高整个空间的空气流速.与电路计算中最基本的欧姆定律类似,散热的计算有一个最基本的公式:
温差= 热阻×功耗
在使用散热器的情况下,散热器与周围空气之间的热释放的"阻力"称为热阻,散热器与空气之间"热流"的大小用芯片的功耗来代表,这样热流由散热器流向空气时由于热阻的存在,在散热器和空气之间就产生了一定的温差,就像电流流过电阻会产生电压降一样.同样,散热器与芯片表面之间也会存在一定的热阻.热阻的单位为℃/W.选择散热器时,除了机械尺寸的考虑之外,最重要的参数就是散热器的热阻.热阻越小,散热器的散热能力越强.
散热设计的一些基本原则业裕铝合金散热器
散热设计的一些基本原则
从有利于散热的角度出发,印制版最好是直立安装,板与板之间的距离一般不应小于2cm,而且器件在印制版上的排列方式应遵循一定的规则:
·对于采用自由对流空气冷却的设备,最好是将集成电路(或其它器件)按纵长方式排列,如图3示;对于采用强制空气冷却的设备,最好是将集成电路(或其它器件)按横长方式排列.
·同一块印制板上的器件应尽可能按其发热量大小及散热程度分区排列,发热量小或耐热性差的器件(如
小信号晶体管、小规模集成电路、电解电容等)放在冷却气流的最上流(入口处),发热量大或耐热性好的器件(如功率晶体管、大规模集成电路等)放在冷却气流最下游.
·在水平方向上,大功率器件尽量靠近印制板边沿布置,以便缩短传热路径;在垂直方向上,大功率器件尽量
靠近印制板上方布置,以便减少这些器件工作时对其它器件温度的影响.
·对温度比较敏感的器件最好安置在温度最低的区域(如设备的底部),千万不要将它放在发热器件的正上方,多个器件最好是在水平面上交错布局.
·设备内印制板的散热主要依靠空气流动,所以在设计时要研究空气流动路径,合理配置器件或印制电路板.空气流动时总是趋向于阻力小的地方流动,所以在印制电路板上配置器件时,要避免在某个区域留有较大的空域.整机中多块印制电路板的配置也应注意同样的问题.
业裕铝合金散热器-功率器件的散热计算及散热器选择
功率器件的散热计算及散热器选择
目前的电子产品主要采用贴片式封装器件，但大功率器件及一些功率模块仍然有不少用穿孔式封装，这主要是可方便地安装在散热器上，便于散热。进行大功率器件及功率模块的散热计算，其目的是在确定的散热条件下选择合适的散热器，以保证器件或模块安全、可靠地工作。
散热计算
任何器件在工作时都有一定的损耗，大部分的损耗变成热量。小功率器件损耗小，无需散热装置。而大功率器件损耗大，若不采取散热措施，则管芯的温度可达到或超过允许的结温，器件将受到损坏。因此必须加散热装置，最常用的就是将功率器件安装在散热器上，利用散热器将热量散到周围空间，必要时再加上散热风扇，以一定的风速加强冷却散热。在某些大型设备的功率器件上还采用流动冷水冷却板，它有更好的散热效果。散热计算就是在一定的工作条件下，通过计算来确定合适的散热措施及散热器。功率器件安装在散热器上。它的主要热流方向是由管芯传到器件的底部，经散热器将热量散到周围空间。若没有风扇以一定风速冷却，这称为自然冷却或自然对流散热。
热量在传递过程有一定热阻。由器件管芯传到器件底部的热阻为R JC，器件底部与散热器之间的热阻为R CS，散热器将热量散到周围空间的热阻为R SA，总的热阻R JA=R JC+R CS+R SA。若器件的最大功率损耗为PD，并已知器件允许的结温为TJ、环境温度为TA，可以按下式求出允许的总热阻R JA。
R JA≤(TJ-TA)/PD
则计算最大允许的散热器到环境温度的热阻R SA为
R SA≤({T_{J}-T_{A}}\over{P_{D}})-(R JC+R CS)
出于为设计留有余地的考虑，一般设TJ为125℃。环境温度也要考虑较坏的情况，一般设TA=40℃60℃。R JC的大小与管芯的尺寸封装结构有关，一般可以从器件的数据资料中找到。R CS的大小与安装技术及器件的封装有关。如果器件采用导热油脂或导热垫后，再与散热器安装，其R CS典型值为0.1 0.2℃/W;若器件底面不绝缘，需要另外加云母片绝缘，则其R CS可达1℃/W。PD为实际的最大损耗功率，可根据不同器件的工作条件计算而得。这样，R SA可以计算出来，根据计算的R SA值可选合适的散热器了。
散热器简介
小型散热器(或称散热片)由铝合金板料经冲压工艺及表面处理制成，而大型散热器由铝合金挤压形成型材，再经机械加工及表面处理制成。它们有各种形状及尺寸供不同器件安装及不同功耗的器件选用。散热器一般是标准件，也可提供型材，由用户根据要求切割成一定长度而制成非标准的散热器。散热器的表面处理有电泳涂漆或黑色氧极化处理，其目的是提高散热效率及绝缘性能。在自然冷却下可提高10 15%，在通风冷却下可提高3%，电泳涂漆可耐压500 800V。
散热器厂家对不同型号的散热器给出热阻值或给出有关曲线，并且给出在不同散热条件下的不同热阻值。
计算实例
一功率运算放大器PA02(APEX公司产品)作低频功放，其电路如图1所示。器件为8引脚TO-3金属外壳封装。器件工作条件如下:工作电压VS为18V;负载阻抗RL为4 ，工作频率直流条件下可到5kHz，环境温度设为40℃，采用自然冷却。
查PA02器件资料可知:静态电流IQ典型值为27mA，最大值为40mA;器件的R JC(从管芯到外壳)典型值为2.4℃/W，最大值为2.6℃/W。
器件的功耗为PD:
PD=PDQ+PDOUT
式中PDQ为器件内部电路的功耗，PDOUT为输出功率的功耗。PDQ=IQ(VS+|-VS|)，
PDOUT=V^{2}_{S}/4RL，代入上式
PD=IQ(VS+|-VS|)+V^{2}_{S}/4RL
=37mA(36V)+18V2/4 4
=21.6W
式中静态电流取37mA。
散热器热阻R SA计算:R SA≤({T_{J}-T_{A}}\over{P_{D}})-(R_{ JC}+R_{ CS}})
为留有余量，TJ设125℃，TA设为40℃，R JC取最大值(R JC=2.6℃/W)，R CS取0.2℃/W，(PA02直接安装在散热器上，中间有导热油脂)。将上述数据代入公式得
R SA≤{125℃-40℃}\over{21.6W}-(2.6℃/W+0.2℃/W)≤1.135℃/W
HSO4在自然对流时热阻为0.95℃/W，可满足散热要求。
注意事项
1.在计算中不能取器件数据资料中的最大功耗值，而要根据实际条件来计算;数据资料中的最大结温一般为150℃，在设计中留有余地取125℃，环境温度也不能取25℃(要考虑夏天及机箱的实际温度)。
2.散热器的安装要考虑利于散热的方向，并且要在机箱或机壳上相应的位置开散热孔(使冷空气从底部进入，热空气从顶部散出)。
3.若器件的外壳为一电极，则安装面不绝缘(与内部电路不绝缘)。安装时必须采用云母垫片来绝缘，以防止短路。
4.器件的引脚要穿过散热器，在散热器上要钻孔。为防止引脚与孔壁相碰，应套上聚四氟乙稀套管。
5.另外，不同型号的散热器在不同散热条件下有不同热阻，可供设计时参改，即在实际应用中可参照这些散热器的热阻来计算，并可采用相似的结构形状(截面积、周长)的型材组成的散热器来代用。
6.在上述计算中，有些参数是设定的，与实际值可能有出入，代用的型号尺寸也不完全相同，所以在批量生产时应作模拟试验来证实散热器选择是否合适，必要时做一些修正(如型材的长度尺寸或改变型材的型号等)后才能作批量生产。【铝合金散热器】
热传导方程的初值问题
§2热传导方程的初值问题 一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题) ?? ???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0 ,),,(2 2 2? （） 偏导数的多种记号xx x t u x u u x u u t u =??=??=??22,,. 问题也可记为 ?? ?+∞ <<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0 ,,),(2?. Fourier 变换 我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上 可积，若积分 ? +∞ ∞ -dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。 将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1 +∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{ } ∞<=+∞-∞=+∞-∞? +∞ ∞ -dx x f f L L )(| ),(),(1 ，称为可积函数空间. 连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C , {}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。 定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分 ),(?)(21 λπ λf dx e x f x i =? +∞ ∞ -- 有意义,称为Fourier 变换, )(? λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ? +∞ ∞ --= =dx e x f f Ff x i λπ λλ)(21)(?)( 定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1 +∞-∞?+∞-∞∈C L f ,那么我们有
导热方程求解matlab
使用差分方法求解下面的热传导方程 2 (,)4(,) 0100.2t xx T x t T x t x t =<<<< 初值条件：2(,0)44T x x x =- 边值条件：(0,)0(1,)0 T t T t == 使用差分公式 1,,1,2 2 2 (,)2(,)(,) 2(,)()i j i j i j i j i j i j xx i j T x h t T x t T x h t T T T T x t O h h h -+--++-+= +≈ ,1,(,)(,) (,)()i j i j i j i j t i j T x t k T x t T T T x t O k k k ++--= +≈ 上面两式带入原热传导方程 ,1,1,,1,2 2i j i j i j i j i j T T T T T k h +-+--+= 令2 24k r h =，化简上式的 ,1,1,1,(12)()i j i j i j i j T r T r T T +-+=-++ i x j t j
编程MA TLAB 程序，运行结果如下 1 x t T function mypdesolution c=1; xspan=[0 1]; tspan=[0 0.2]; ngrid=[100 10]; f=@(x)4*x-4*x.^2; g1=@(t)0; g2=@(t)0; [T,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [x,t]=meshgrid(x,t); mesh(x,t,T); xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') function [U,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid) % 热传导方程：
热传导方程
前言 本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。 一、概念与常量 1、温度场： 指某一时刻下，物体内各点的温度分布状态。 在直角坐标系中：； 在柱坐标系中：； 在球坐标系中：。 补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。 2、等温面与等温线： 三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面； 一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。 3、温度梯度： 在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。用grad t表示。 定义为： 补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。
在直角坐标系中： 3、导热系数 定义式：单位 导热系数在数值上等于单位温度降度(即1)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。 补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。 二、热量传递的三种基本方式 热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射 三、导热微分方程式（统一形式：） 直角坐标系： 圆柱坐标系： 球坐标系： 其中，称为热扩散系数，单位，为物质密度，为物体比热容，为物体导热系数，为热源的发热率密度，为物体与外界的对流交换系数。 补充： 1处研究的对象为各向同性的、连续的、有内热源、物性参数已知的导热物体。 2稳态温度场，即则有：，此式称为泊松方程。 3无内热源的稳态温度场，则有：，此式称为拉普拉斯方程。 四、单值条件 导热问题的单值条件通常包括以下四项： 1几何条件：表示导热物体的几何形状与大小（一维、二维或三维）
热传导方程及其定解问题的导出
第一章 热传导方程 本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇 到这类方程. §1 热传导方程及其定解问题的导出 1.1热传导方程的导出 物理模型 在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化. 以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律 物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和 . 在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律. 设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3), q 是热流密度(焦耳/秒·米2),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒). 注意到在dt 时段内通过D 的边界D ?上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ?-(n 是 D ?的外法向),从而由能量守恒律,我们有 ,)||(21 21 120??????????+?-=-?==t t D t t D D t t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρ （1.1） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比 ,u k q ?-= （梯度? ?? ? ????????==?z u y u x u gradu u ,,） （1.2） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数.
热传导方程的求解
应用物理软件训练 前言 MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple 并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其
他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。 本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。
题目：热传导方程的求解 目录 一、参数说明 (1) 二、基本原理 (1) 三、MATLAB程序流程图 (3) 四、源程序 (3) 五、程序调试情况 (6) 六、仿真中遇到的问题 (9) 七、结束语 (9) 八、参考文献 (10)
一、参数说明 U=zeros(21,101) 返回一个21*101的零矩阵 x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量 meshz(u)绘制矩阵打的三维图 axis([0 21 0 1]);横坐标从0到21，纵坐标从0到1 eps是MATLAB默认的最小浮点数精度 [X,Y]=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同 waterfall(RR,TT,wn)瀑布图 二、基本原理 1、一维热传导问题 （1）无限长细杆的热传导定解问题 利用傅里叶变换求得问题的解是： 取得初始温度分布如下 这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得 （2）有限长细杆的热传导定解问题
热传导方程傅里解
热传导方程傅里解
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热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达： 其中： ?u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。 ?/是空间中一点的温度对时间的变化率。 ?, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。 ?k决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。 如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。 热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。 热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。 热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。 就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。 以傅里叶级数解热方程[编辑] 以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下： 其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。 ?x是空间变量，所以x∈[0,L]，其中L表示棍子长度。
3热传导方程的初边值问题
例4 周期初始温度分布 求解热传导方程t xx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布 (,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。 解 4(,)1cos2t u x t e x -=+. 初始高斯温度分布 例 5求解定解问题22 22 0,(,0) (,0),()kx u u a x t t x u x e x -???-=-∞<<+∞>?????=-∞<<+∞? ， 其中常数0k >. 解 22()4(,)()x s a t u x t s e ds ?-- +∞ -∞ = ? 22 2()4x s ks a t e e ds -- +∞ --∞ = ? 222 2(41)24ka t s xs x a t e ds +-+- +∞ -∞ = ? 222 22224(41)()41414x ka t ka t s x ka t ka t a t e ds +- +++- +∞ -∞ = ? 22 2 222(41)()41 441 k ka t x x s ka t a t ka t e e ds +---+∞ ++-∞ = ? 2241 k x ka t e - += 2241 k x ka t - += . §3初边值问题 设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布 ),(t x u 满足以下初边值问题 ?? ? ??≤<==≤≤=<<<<=-T t t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0), ()0,(0,0),,(212? 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解. 将边值齐次化
第八章 热传导和扩散问题的傅里叶解
第八章 热传导方程的傅里叶解 第一节 热传导方程和扩散方程的建立 8.1.1 热传导方程的建立 推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。 热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即 x u q k x ?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相 反，即热量由高温流向低温。 研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有 x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z ?=-? 或 q k u =-?r 即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。 下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。 第一步，定变量。研究介质x 位置处在t 时刻的温度(,)u x t 。 第二步，取局部。在介质内部隔离出从x 到x x +?一段微元长度，在t 到t t +?时间内温度的变化(,)(,)u u x t t u x t ?=+?-。 第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A ，质量密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 。
第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t 到t t +?时间内吸收的热量为： Q c m u c A x u ρ=????=???? （8-1.2） 在t 到t t +?时间内，同过x 位置处的横截面的热量为： 1x x x Q q A t k u A t =???=-?? （8-1.3） 在t 到t t +?时间内，同过x x +?位置处的横截面的热量为： 2x x x x x Q q A t k u A t +?+?=???=-?? （8-1.4） 如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为(,)F x t ，则该热源在微元内产生的热量为： (,)3Q F x t t A x =???? （8-1.5） 第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。 123Q Q Q Q =-+ 即 (,)x x x x x c A x u k u A t k u A t F x t t A x ρ+?????=-??+??+???? (,)x x x x x u u u c k F x t t x ρ+?-??? =+?? 得到： (,)t xx k F x t u u c c ρρ = + 令 a = (,)(,)F x t f x t c ρ= 则得到热传导方程为 (,)2t xx u a u f x t =+ （8-1.6） 当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为 2t xx u a u = （8-1.7） 8.1.2 扩散方程的建立