2021中考数学冲刺专题训练压轴题含解析

压轴题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''?，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ?'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】

连接B′C，作AH ⊥B′C′，垂足为H ， ∵AB=AC ，∠B=30°， ∴∠C=∠B=30°，

∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''?， ∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°， ∴AH=

1

2

AC′=1， 223AC AH '-=

3 ∵AB′=AC， ∴∠AB′C=∠ACB′， ∵∠AB′D=∠ACD=30°，

∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD ，

即∠DB′C=∠DCB′， ∴B′D=CD， ∵CD+DE=x ，

∴B′D+DE=x，即B′E=x， ∴C′E=B′C′-B′E=23-x ， ∴y=

12C E AH '=12

×(23-x)×1=1

32x -+， 观察只有B 选项的图象符合题意， 故选B.

2．如图，抛物线2

144

y x =

-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）

A ．3

B 41

C ．

72

D ．4

【答案】C 【解析】 ∵抛物线2

144

y x =

-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4. 在直角三角形COB 中

2222345+=+=OC OB

∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点 ∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=

12

BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，

∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大 此时BP=BC+CP=7 OQ=

12

BP=72.

3．如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''?．若反比例函数k

y x

=

的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．18

【答案】C 【解析】

作A H y '⊥轴于H ．

∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=?，

∴90ABO A BH ∠+∠'=?，90ABO BAO ∠+∠=?， ∴BAO A BH ∠=∠'， ∵BA BA ='，

∴()AOB BHA AAS '≌， ∴OA BH =，OB A H ='，

∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6， ∴2OA =，6OB =，

∴2BH OA ==，6A H OB '==， ∴4OH =， ∴()6,4A '， ∵BD A D ='， ∴()3,5D ， ∵反比例函数k

y x

=的图象经过点D ， ∴15k =． 故选：C ．

4．如图，在四边形ABCD 中，AB

DC ，90ADC ∠=，5AB =，3CD AD ==，点E 是线段CD 的

三等分点，且靠近点C ，FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、

K ．若3

2

BG =

，45FEG ∠=，则HK =( )

A ．

22

3

B ．

2

6

C ．

32

2

D ．

132

6

【答案】B 【解析】

∵90ADC ∠=，3CD AD ==，∴32AC = ∵5AB =，32BG =，∴72

AG =， ∵AB

DC ，∴CEK

AGK ??，∴

CE CK EK

AG AK KG

==，

∴1

7

2

CK EK

AK KG

==

，∴

2

7

CK EK

AK KG

==，

∵32

CK AK

+=，∴

22

CK=，

过E作EM AB

⊥于M，则四边形ADEM是矩形，

∴3

EM AD

==，2

AM DE

==，∴

3

2

MG=，

∴22

35

EG EM MG

=+=，

∵

2

7

EK

KG

=，∴5

3

EK=，

∵45

HEK KCE

∠=∠=，EHK CHE

∠=∠，

∴HEK HCE

??，∴55

HE EC

HK EK

===

，

∴设3

HE x

=，5

HK x

=，

∵HEK HCE

??，∴

EH HK

HC EH

=，

∴

5

3

22

5

3

x

x

x

=

+

，解得：

10

6

x=，∴

52

6

HK=，

故选：B．

5．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O 是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③2

BC

CG

=﹣1；④HOM

HOG

S

S＝22，其中正确的结论是（）

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．②③④

【答案】A 【解析】 如图，

∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形， ∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ， 在△BCE 和△DCG 中，

BC CD BCE DCG CE CG =??

∠=∠??=?

∴△BCE ≌△DCG （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BGH ，

∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ， ∴∠BEC+∠HDE ＝90°， ∴GH ⊥BE ． 故①正确；

∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点， ∴OH ＝OG ＝OE ，

∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上， ∵EF ＝FG ，

∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ， ∴△EHM ∽△GHF ， 故②正确； ∵△BGH ≌△EGH ， ∴BH ＝EH ，

又∵O 是EG 的中点， ∴HO ∥BG ， ∴△DHN ∽△DGC ，

DN HN

DC CG

∴

= 设EC 和OH 相交于点N ．

设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，

222b a a

a b

-∴

= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，

解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1）b （舍去），

2

12a

b ∴

=

1BC CG

∴= 故③正确； ∵△BGH ≌△EGH ， ∴EG ＝BG ，

∵HO 是△EBG 的中位线，

∴HO ＝

1

2BG ， ∴HO ＝1

2

EG ，

设正方形ECGF 的边长是2b ，

∴EG ＝b ，

∴HO b ， ∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，

∴OH ∥EF ， ∴△MHO △MFE ，

∴

OM OH EM EF ===

， ∴EM

OM ，

∴

1OM OE ===，

∴

1HOM

HOE

S S ??= ∵EO ＝GO ， ∴S △HOE ＝S △HOG ，

∴

1HOM

HOG

S S ??= 故④错误， 故选：A ．

6．抛物线2

y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断： ①0ab >且0c <； ②420a b c -+>； ③8>0+a c ； ④33c a b =-；

⑤直线22y x =+与抛物线2

y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++?=-.其中

正确的个数有( )

A ．5个

B ．4个

C ．3个

D ．2个

【答案】C 【解析】

∵对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴交于y 轴正半轴， ∴ab>0，c>0，故①错误，

∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（-3，0）， ∵抛物线的开口向下， ∴a<0，

∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确， ∵对称轴x=2b

a

-=-1， ∴b=2a ，

∵x=1时，a+b+c=0， ∴3a+c=0，

∴8a+c=5a<0，故③错误， ∵3a+c=0， ∴c=-3a ，

∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c ，故④正确， ax 2

+bx+c=2x+2，

整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0，

∵直线22y x =+与抛物线2

y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，

∴x1+x2+x1?x2=

2

b

a

-

-+

2

c

a

-

=

22(3)2

a a

a

-++--

=-5，故⑤正确，

综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.

故选C.

7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是

A．CE=3DE B．CE=2DE

C．CE=3DE D．CE=2DE

【答案】B

【解析】过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，根据勾股定理可得DH=AB=2222

DC CH

-=，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，

又∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴Rt△ADE∽Rt△BEC，∴AD AE DE

BE BC CE

==，设BE=x，

则AE22x

=-，即122x

x

-

=，解得x=2，∴

2

DE

CE

=，即CE=2DE，故选B．

8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连

按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，BE

EC

＝22，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得

NF＞DF，其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B

【解析】

①如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，

∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴AM MN BM EM

，

∵∠AMB＝∠EMN，

∴△AMB∽△NME，

∴∠AEN＝∠ABD＝45°

∴∠NAE＝∠AEN＝45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，

故①正确；

②在△ABE和△ADF中，

∵

AB AD

ABE ADF90

AE AF

?

=

?

?

∠=∠=

?

?=

?

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE＝DF，

∵BC＝CD，

∴CE＝CF，

假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，

如图2，连接AC，交EF于H，

∵AE＝AF，CE＝CF，

∴AC是EF的垂直平分线，

∴AC⊥EF，OE＝OF，

Rt△CEF中，OC＝

1

2

EF＝

2

2

x，

△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，

∵AE＝AE，

∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），

∴AO＝AB＝1，

∴AC2＝AO+OC，

∴1+

2

2

x2，

x＝22，

∴BE EC

＝

1(22)

22

--

-

＝

(21)(22)

2

-+

＝

2

2

；

故②不正确；

③如图3，

∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，

∵∠ABE＝∠ABH＝90°，

∴H、B、E三点共线，

在△AEF和△AEH中，

AE AE

FAE HAE

AF AH

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，

故③正确；

④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，

∠FDN＝45°，

∴DF＞FN，

故存在点E、F，使得NF＞DF，

故④不正确；

故选B．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）

9．若数a使关于x的不等式组

21

2 22

24

x

x

x a

-

?

≤-+

?

?

?+>-

?

有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程

2

a

y

+

-

2

2y

-

=2有非负数解，则满足条件的整数a的值是__________．

【答案】-2

【解析】解不等式组

21

2

22

24

x

x

x a

-

?

≤-+

?

?

?+>-

?

，可得

3

4

2

x

a

x

≤

?

?

?+

>-

??

，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴-1≤

4

2

a+

-<0，∴-4

2

22

a

y y

+

--

=2，可得y=

2

2

a+

，

又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即

2

2

a+

≥0，

2

2

a+

≠2，解得a≥-2且a≠2，∴-2≤a≤3，且a≠2，

∴满足条件的整数a的值为-2，故答案为：-2．

10．如图，过点C(3,4)的直线2

y x b

=+交x轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线0

k

y x

x

=>

（）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为________．

【答案】4

【解析】

分别过点B、点C作y轴和x轴的平行线，两条平行线相交于点M，与x轴的交点为N，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入2

y x b

=+，得4=6+b，解得：b=-2，

所以y=2x-2，

令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，

所以A(1，0)，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBM+∠ABN=90°， ∵∠ANB=90°， ∴∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠CBM=∠BAN ，

又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC ， ∴△ABN ≌△BCM ， ∴AN=BM ，BN=CM ，

∵C(3，4)，∴设AN=m ，CM=n ， 则有413m n m n +=??

+-=?，解得3

1

m n =??=?，

∴ON=3+1=4，BN=1， ∴B(4，1)，

∵曲线0k

y x x

=>（）过点B ， ∴k=4，

∴4y x

=， ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A 移动后对应点的坐标为(1，a)，

∴a=4， 故答案为：4.

11．如图，反比例函数()0k

y x x

=

>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．

【答案】4 【解析】

∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上， ∴12OCE S k ?=

，1

2

OAD S k ?=， 过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ， ∴四边形ONMG 是矩形， ∴ONMG S k =矩形，

∵M 为矩形ABCO 对角线的交点， ∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形， ∵函数图象在第一象限， ∴0k >，

∴ABCO S =矩形OCE S ?+OAD S ?+S 四边形ODBE =12422

k k

k ++=， 解得：4k =．

故答案为：4 12．如图，直线1

13

y x =

+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB AM ⊥，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条

边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1，

S 2，…，S n ，则S n 可表示为_____．

【答案】42

223

n n -．

【解析】

在直线1

13

y x =

+中，当0x =时，1y =；当0y =时，3x =-； ∴1OA =，3OM =，∴1

tan 3

AMO ∠=，

∵90OAB OAM ?∠+∠=，90AMO OAM ?∠+∠=， ∴OAB AMO ∠=∠， ∴1tan 3OB OAB OA ∠=

=，∴1

3

OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等， ∴第一个阴影正方形的边长为：12

133

-

=， ∴2

12439

S ??== ???，

同理：111

tan tan 3

B C CBB OAB BC ∠=

=∠=， ∴11

111

333B C BC AC AB ===， ∴114

3

A B AB =，

∴2

21141639S S S ??== ???

， 同理可得2321161699S S S ??== ???，3

431161699S S S ??== ???

，…，

1

1

116164999

n n n S S --????==?= ?

?

??

??

1

4244242

22222222222333

33n n n n n ----?????=?= ? ???

??．

故答案为：42

223

n n -．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．综合与探究

如图，抛物线2

6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，

设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的

3

4

时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)233

642

y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】

(1)抛物线2

y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，

∴4260

16460a b a b -+=??++=?

，

解得3432a b ?=-????=??

，

∴抛物线的函数表达式为233

642

y x x =-

++； (2)作直线DE ⊥

x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，

由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，

∴S △OAC =

11

26622OA OC ??=??=， ∵S △BCD =3

4S △AOC ，

∴S △BCD =39

642

?=，

设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，

由B ，C 两点的坐标得406k n n +=??=?，解得326

k n ?

=-

???=?，

∴直线BC 的函数表达式为3

62

y x =-+， ∴点G 的坐标为3

(,6)2

m m -

+， ∴22

33336(6)34224

DG m m m m m =-++--+=-+，

∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，

∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =

1111

()2222

DG CF DG BE DG CF BE DG BO ??+??=?+=??， ∴S △BCD =22133

346242m m m m -+?=-+（）

， ∴239622

m m -+=，

解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；

(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,

)4

，∴点N 点纵坐标为±154，

当点N 的纵坐标为15

4

时，如点N 2， 此时23315

6424x x -

++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215

(1,)4

N -，∴2(0,0)M ；

当点N 的纵坐标为15

4

-时，如点N 3，N 4，

此时23315

6424

x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+

∴315(114,)4N +-，415

(114,)4

N --，

∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；

以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,

)4

N -，D(3，15

4)，

∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，

综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.