2019年湖南长沙中考数学试题(解析版)

{来源}2019年湖南长沙中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年湖南省长沙市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，合计36分． {题目}1．(2019年长沙T1)下列各数中，比﹣3小的数是( )

A ．﹣5

B ．﹣1

C ．0

D ．1

{答案}A

{解析}本题考查了有理数的大小比较，正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，

由于135---＞＞，所以﹣5＜﹣3＜﹣1，因此本题选A ．

{分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:有理数的大小比较} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．(2019年长沙T2)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长

沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000确保安全供用电需求数据15 000 000 000科学记数法表示为( )

A ．15×109

B ．1.5×109

C ．1.5×1010

D ．0.15×1011

{答案}C

{解析}本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较大的数，科学记数法就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤a ＜10，n 为整数)，其具体步骤是：(1)确定a ，a 是整数位数只有一位的数；(2)确定n ；当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)．15 000 000 000＝1.5×1010，因此本题选C ． {分值}3

{章节: [1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．(2019年长沙T3)下列计算正确的是( )

A ．3a ＋2b ＝5ab

B ．(a 3)2＝a 6

C ．a 6÷a 3＝a 2

D ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2

{答案}B

{解析}本题考查了整式的运算，A 选项是整式的加法，其实质是合并同类项，3a 与2b 不是同类项，故不能相加；B 选项是幂的乘方，底数不变，指数相乘，故正确；C 选项是同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故正确结果为a 4；D 选项是和的完全平方公式，展开口诀为：“首平方，尾平方，积的2倍夹中间”故正确结果为a 2＋2ab ＋b 2．因此本题选B ． {分值}3

{章节: [1-14-2]乘法公式} {考点:整式加减} {考点:幂的乘方}

{考点:同底数幂的除法}

{考点:完全平方公式}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}4．(2019年长沙T4)下列事件中，是必然事件的是( )

A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心

C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°{答案}D

{解析}本题考查了事件的分类，A、B、C选项都是随机事件；D选项是必然事件；因此本题选D．{分值}3

{章节: [1-25-1-1]随机事件}

{考点:事件的类型}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}5．(2019年长沙T5)如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是( )

A．80°B．90°C．100°D．110°

{答案}C

{解析}本题考查了考查了对顶角的定义，平行线的性质，由对顶角的定义可得∠AED＝∠1＝80°，又因为AB∥CD，所以由两直线平行同旁内角互补可得：∠2＝180°－∠AED＝100°，因此本题

选C．

{分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:对顶角、邻补角}

{考点:两直线平行同旁内角互补}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}6．(2019年长沙T6)某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )

{答案}D

{解析}本题考查了由三视图判断几何体，从正面看和侧面看都是三角形的只要D 选项，因此本题选D ． {分值}3

{章节: [1-29-2]三视图} {考点:由三视图判断几何体} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}7．(2019年长沙T7)在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各

不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )

A ．平均数

B ．中位数

C ．众数

D ．方差

{答案}B

{解析}本题考查了中位数，中位数反映的是一组数据中等水平，要判断11名参赛同学中的小明是否进入前5名，只需比较自己的成绩与第6名的成绩即可．因此本题选B ． {分值}3

{章节: [1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}8．(2019年长沙T8)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )

A ．2π

B ．4π

C ．12π

D ．24π

{答案}C

{解析}本题考查了扇形的面积，由扇形的面积公式S ＝360

61202

?π＝π12，因此本题选C ．

{分值}3

{章节: [1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {{类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}9．(2019年长沙T9)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，

大于

2

1

AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则

∠CAD的度数是( )

A．20°B．30°C．45°D．60°

{答案}B

{解析}本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角，直角三角形两锐角互余，由垂直平分线的性质可知：AD＝BD即由等边对等角得：∠DAB＝∠B＝30°，再由三角形的外角性质得∠ADC＝∠DAB＋∠B＝60°，在Rt△ADC中，∠C＝90°所以∠CAD＝90°－∠ADC ＝90°－60°＝30°，因此本题选B．

{分值}3

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}

{考点:直角三角形两锐角互余}

{考点:三角形的外角}

{考点:垂直平分线的性质}

{考点:等边对等角}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}10．(2019年长沙T10)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60n mile 的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )

A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋303)n mile

{答案}D

{解析}本题考查了与方位角有关的解直角三角形，如图，在Rt△ACD中，由题意可知：AC＝60，

∠ACD ＝30°，∠ADC ＝90°，所以AD ＝

2

1

AC ＝30，CD ＝ACcos30°＝60×23＝303，在Rt

△BCD 中，由题意可知：∠BCD ＝45°，∠BDC ＝90°，所以BD ＝CD ＝303，所以AB ＝30＋30

3，因此本题选D ．

{分值}3

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形－方位角} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}11．(2019年长沙T11)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：

“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( )

A ．???-=+=15.05.4x y x y

B ．???-=+=125.4x y x y

C ．???+=-=15.05.4x y x y

D ．?

??-=-=125

.4x y x y

{答案}A

{解析}本题考查了从实际问题中抽象二元一次方程组模型，根据题意发现等量关系是解题的关键，由“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺”可列方程为y ＝x ＋4.5，由“将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可列方程为0.5y ＝x －1，因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:简单的列二元一次方程组应用题} {类别:数学文化}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}12．(2019年长沙T12)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线

段BE 上的一个动点，则CD ＋

5

5

BD 的最小值是( ) A ．25

B ．45

C ．53

D ．10

{答案}B

{解析}本题考查了垂线的性质、正切、勾股定理，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，由同角的余角相等得：∠BDF ＝∠A ，所以tan ∠BDF ＝tan ∠A ＝2即

2=DF

BF

，∴55=BD DF 即DF ＝55BD ，∴CD ＋55BD ＝CD ＋DF ，由“垂线段最短”可知：当C 、D 、F 三点共线且CF ⊥AB 时，CD ＋DF 值最小，最

小值即为CF 的长度．此时

2=AF

CF

，设AF ＝x ，则CF ＝2x ，又因为AC ＝10，所以由勾股定理得x 2＋4x 2＝100，解得x ＝25，所以CF ＝45．

{分值}3

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:垂线的性质} {考点:勾股定理} {考点:正切}

{考点:几何选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．

{题目}13．(2019年长沙T13)式子5-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． {答案}x≥5

{解析}本题考查了二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件可知：x －5≥0即x ≥5． {分值}3

{章节:[1-16-1]二次根式}

{考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}14．(2019年长沙T14)分解因式：am 2－9a ＝ ．

{答案}a (m －3)(m ＋3)

{解析}本题考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解，对一个多项式因式分解时，先观察式子特点，如果有公因式先提取公因式后利用公式进行因式分解，特别要注意：因式分解一定要彻底，分解到每一个多项式都不能再分解为止． {分值}3

{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}15．(2019年长沙T15)不等式组??

?≥+0

630

1＜－x x 的解集是 ．

{答案}﹣1≤x ＜2

{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解每一个不等式，再取每个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法：①借助数轴；②利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解集”．解不等式x ＋1≥0得x ≥﹣1，解不等式3x －6＜0得x ＜2，所以不等式组的解集为﹣1≤x ＜2． {分值}3

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}16．(2019年长沙T16)在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，

从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 ．{答案}0.4

{解析}本题考查了用频率估计概率，当大量重复做某一试验时，某一事件发生的频率就会在某一数值附近摆动，这个数值就是概率．大量重复试验时，可以用频率估计概率． {分值}3

{章节:[1-25-3]用频率估计概率} {考点:利用频率估计概率} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}17．(2019年长沙T17)如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选

一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50m ，则AB 的长是 m ．

{答案}100

{解析}本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以AB ＝2DE ＝100(m)． {分值}3

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:三角形中位线} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}18．(2019年长沙T18)如图，函数y ＝

x

k

(k 为常数，k>0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：

①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM ⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 是等边三角形，则k ＝2＋3；④若MF ＝5

2

MB ，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是

(只填序号)

{答案}①③④

{解析}本题考查了，，因此本题选． {分值}3

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:代数填空压轴} {类别:常考题} {难度:5-高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8个小题，合计66分．

{题目}19．(2019年长沙T19)计算：?-÷-??

?

??+--60cos 2362121

{解析}本题考查了绝对值的意义、负指数的定义、二次根式的除法、特殊角的三角函数值．

{答案}解： 原式＝2＋2－2－1＝1 {分值}6

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:绝对值的意义} {考点:负指数的定义}

{考点:二次根式的除法法则} {考点:特殊角的三角函数值}

{题目}20．(2019年长沙T20)先化简，再求值：a a a a a a a -++÷??

? ??---+2

2441113，其中a ＝3． {解析}本题考查了分式的混合运算，按照运算顺序依次计算，若有括号时，先算括号里的． {答案}解： 原式＝

()()22112+-?-+a a a a a ＝2+a a ，当a ＝3时，原式＝233+＝5

3

． {分值}6

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}

{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－完全平方式} {考点:约分} {考点:通分}

{考点:两个分式的加减} {考点:分式的混合运算}

{题目}21．(2019年长沙T21)某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活

动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次调查随机抽取了名学生，表中m＝，n＝；

(2)补全条形统计图；

(3)若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

{解析}本题考查了．

{答案}解： (1)50；20；12；

(2)

(3)2000×(42%＋40%)＝1640(人)，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．

{分值}8

{章节:[1-10-1]统计调查}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:频数与频率}

{考点:统计表}

{考点:条形统计图}

{考点:用样本估计总体}

{题目}22．(2019年长沙T22)如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．

(1)求证：BE＝AF；

(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．

{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定SAS 、勾股定理、相似三角形的判定(两角相等)、相似三角形的性质．证明两条线段相等的问题，通常考虑这两条线段所在的三角形全等；求线段长度的问题，通常考虑由“相似(或勾股定理、锐角三角函数)”建立方程解之，体现了方程思想．

{答案}解： (1)∵四边形ABCD 是正方形，DE ＝CF ， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°，AE ＝DF ，

在△ABE 和△DAF 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE ＝AF ．

(2)∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝3，

在Rt △BAE 中，由勾股定理得：BE ＝5， ∵△ABE ≌△DAF ，∴∠EAG ＝∠EBA ，

∵∠BAE ＝90°，∴∠EBA ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAG ＋∠AEB ＝90°，即∠AGE ＝90°， 在△ABE 和△GAE 中，∠BAE ＝∠AGE ＝90°，∠BEA ＝∠AEG ， ∴△ABE ∽△GAE ，

∴

BE AE AB AG =即5

3

4=AG ，

∴AG ＝5

12

．

{分值}

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {难度:3-中等难度} {类别:思想方法} {类别:常考题}

{考点:正方形的性质}

{考点:全等三角形的判定SAS} {考点:勾股定理}

{考点:相似三角形的判定(两角相等)} {考点:相似三角形的性质}

{题目}23．(2019年长沙T23)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意

见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2．42万人次． 1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； 2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率，增长率问题只要通过审题弄清楚基础量a ，最终量b ，变化次数，套公式a(1＋x)n ＝b 即可解决． {答案}解：(1)设增长率为x

由题意得：2(1＋x)2＝2.42

解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1(舍)

答：增长率为10%

(2)2.42×(1＋10%)＝2.662(万人)

答：按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次 {分值}

{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}}

{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}

{题目}24．(2019年长沙T24)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的

两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比．

(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；( 命题) ③两个大小不同的正方形相似．( 命题)

(2)如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，

1

11111D C CD

C B BC B A AB ==．求证：四边形ABC

D 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．

(3)如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求

1

2

s s 的值． {解析}本题考查了命题真假的判断、相似三角形的判定(两边夹角)、相似三角形的性质、平行线分线段成比例．判断两个四边形是否相似，紧扣定义，分别证明四个角都相等，四条边都成比例．

{答案}解：(1)假；假；真； (2)如图，分别连接BD 、B 1D 1， ∵∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，

1

111D C CD

C B BC =，∴△BC

D ∽△B 1C 1D 1，

∴∠CBD ＝∠C 1B 1D 1，∠CDB ＝∠C 1D 1B 1，

1111D B BD

C B BC =

，

又∵∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，

1111C B BC B A AB =∴∠AB D ＝∠A 1B 1D 1，1111D B BD

B A AB =，

∴1111D A AD

B A AB =，∠A D B ＝∠A 1D 1B 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1， ∴11111111D A AD

D C CD C B BC B A AB ===，

∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，∠A D C ＝∠A 1D 1C 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1，

∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．

(3)∵四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，

∴

AB

EF

AE DE =

， ∵EF ＝OE ＋OF ，∴AB

OF

OE AE DE +=

， ∵EF ∥AB ∥CD ，

∴

AB OE AD DE =，AB OF

AB OC AD DE =

=， ∴AB OF AB OE AD DE AD DE +=+， ∴AE

DF AD DE =2， ∵AD ＝DE ＋AE ， ∴

AE AE DE 1

2=

+， ∴2AE ＝DE ＋AE ，即AE ＝DE ， ∴

12

1

=S S {分值}

{章节:[1-27-3]图形的相似} {难度:4-较高难度} {类别:易错题} {类别:新定义}

{考点:平行线分线段成比例}

{考点:相似三角形的判定(两边夹角)} {考点:相似三角形的性质} {考点:相似三角形的应用} {考点:相似多边形的性质}

{题目}25．(2019年长沙T25)已知抛物线y ＝﹣2x 2＋(b －2)x ＋(c －2020)(b ，c 为常数)．

(1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；

(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； (3)在(1)的条件下，存在正实数m ，n(m

22112+≤+≤+n n

y m m ，求m ，n 的值．

{解析}本题考查了抛物线与一元二次方程的关系、解一元二次方程． {答案}解：(1)由题可设：y ＝﹣2(x －1)2＋1 去括号得：y ＝﹣2x 2＋4x －1 ∴??

?-=-=-1202042c b ，解得???==2019

6

c b

(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x 0，y 0)，(﹣x 0，﹣y 0)，

代入解析式可得：()()()()???-+---=--+-+-=20202220202202

00

0200c x b x y c x b x y ， ∴两式相加可得：﹣4x 02＋2(c －2020)＝0，

∴c ＝2x 02＋2020， ∴c ≥2020

(3) 由(1)可知抛物线y ＝﹣2x 2＋4x －1＝﹣2(x －1)2＋1， ∴y ≤1，

∵0＜m ＜n ，当m ≤x ≤n 时，恰好有

1

22112+≤+≤+n n

y m m ， ∴

m y n 11≤≤， ∴11

≤m

即m ≥1，∴1≤m ≤n ， ∵抛物线对称轴x ＝1，开口向下， ∴当m ≤x ≤n 时，y 随x 增大而减小，

∴当x ＝m 时，y max ＝﹣2m 2＋4m －1，当x ＝n 时，y max ＝﹣2n 2＋4n －1，

又∵

m

y n 11≤≤ ∴??

???=-+-=-+-②

①m m m n n n 114211422

2，

将①整理得：2n 3－4n 2＋n ＋1＝0，

∴变形得：(2n 3－2n 2)－(2n 2－n －1)＝0，即2n 2(n －1)－(2n ＋1)(n －1)＝0， ∴(n －1)(2n 2－2n －1)＝0， ∵n ＞1，

∴2n 2－2n －1＝0， ∴n 1＝

231-(舍去)，n 2＝2

3

1+， 同理整理②得：(m －1)(2m 2－2m －1)＝0，

∵1≤m ＜n ，∴m 1＝1，m 2＝

231-(舍去)，m 3＝23

1+(舍去)， ∴综上所述：m ＝1，n ＝2

3

1+．

{分值}

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:5-高难度}

{类别:高度原创}{类别:常考题} {考点:二次函数y ＝a(x ＋h)2的图象} {考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程} {考点:其他二次函数综合题}

{题目}26．(2019年长沙T26)如图，抛物线y ＝ax 2＋6ax (a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点

B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3

C ．

(1)求点A 的坐标；

(2)过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证CE ＝DE ，

②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当a ＝

33，∠CAE ＝∠OBE 时，求OE

OD 11-的值．

{解析}本题考查了一元二次方程的解法、切线的判定、切割线定理、等角对等边，是一道二次

函数与圆的综合性问题．

{答案}解： (1)令ax 2＋6ax ＝0，∴ax (x ＋6)＝0，所以A(﹣6，0)， (2)连接PC ，连接PB 延长交x 轴于点M ， ∵⊙P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点， ∴PM ⊥OA ，∠PBC ＋∠BOM ＝90°， 又∵PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠PBC ，

∴CE 为切线，∴∠PCB ＋∠ECD ＝90°，

又∵∠BDP ＝∠CDE ，∴∠ECD ＝∠CDE ，∴CE ＝DE (3)解：设OE ＝m ，即E(m ，0) 由切割定理：CE 2＝OE·AE

(m －t)2

＝m(m ＋6)推出m ＝t

t 262

+①

∵∠CAE ＝∠CBD ，

已知∠CAE ＝∠OBE ，∠CBO ＝∠EBO ，

由角平分线定理：OE

DO

BE BD =

即()()m

t m t -=++++27327322推出m ＝66--t t ②

由①②得t t 262+＝6

6--t t

推出t 2＋18t ＋36＝0，

∴t 2＝﹣18t ﹣36， ∴

6

16311112=+-=--=-t t m t OE OD {分值}

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:5-高难度}

{类别:高度原创}{类别:易错题}

{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程} {考点:切线的判定} {考点:切割线定理} {考点:等角对等边}

{考点:二次函数与圆的综合}