重庆中考数学理解阅读专题

重庆市中考阅读理解专题训练一

1、若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，，

x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．

（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

（1）不是，

解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．

|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．

∵3.5不是整数，

∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：

∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，

∴假设c=mb2+n，

当b=﹣6，c=﹣27时，

﹣27=36m+n．

∵x2=0是偶系二次方程，

∴n=0时，m=﹣，

∴c=﹣b2．

∵是偶系二次方程，

当b=3时，c=﹣×32．

∴可设c=﹣b2．

对于任意一个整数b，c=﹣b2时，

△=b2﹣4c，

=4b2．

x=，

∴x1=b，x2=b．

∴|x1|+|x2|=2b，

∵b是整数，

∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．

2、阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．

证明：∵（）2≥0，∴a ﹣+b≥0． ∴a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．解：y=2x+≥

=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．

当x=1时，函数取得最小值，y 最小=4．

问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（

）升．若该汽车以每小时x 公

里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．

（1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；

（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．解答：解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升． ∴y=x×（

+）=

（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当

时有最小值，

解得：x=90

∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x=90时百公里耗油量为100×（

）≈11.1升，

点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料．

3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），

（-2，-2），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

（1）若点P （2，m ）是反比例函数n

y x =

（n 为常数，n≠0）的图像上的“梦之点”，求这

个反比例函数的解析式；

（2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数2

1y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ，

B 22(,)

x x ,且满足-2＜

x ＜2，

x x -=2，令

2157

48t b b =-+

，试求t 的取值范围。

解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，

∴m=2，

∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上，

∴n=2×2=4，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），

则有x=3kx+s﹣1，

整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，

当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=；

当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；

当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解；

综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；

（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A （x1，x1），B（x2，x2），

∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，

∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，

∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，

∴x1+x2=，x1?x2=，

∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=（）2﹣4?==4，

∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，

∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．

∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，

∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，

∴﹣4＜x2＜4，

∴﹣8＜x1?x2＜8，

∴﹣8＜＜8，

∵a＞0，

∴a ＞ ∴（2a+1）2+＞

，

∴t ＞

．

4、对x ，y 定义一种新运算T ，规定T (x ，y )=y x by

ax ++2，（其中a ，b 均为非零常数），

这里等式右边是通常的四则运算，例如：T (0，1)=b

b a =+??+?1021

0．

（1）已知T (1，-1)= -2，T (4，2)=1．

①求a ，b 的值；

②若关于m 的不等式组(2,54)4(,32)T m m T m m p -≤??

->?

恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；

（2）若T (x ，y )= T (y ，x )对于任意实数x ，y 都成立，（这里T (x ，y )和T (y ，x )均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？

5、若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2﹣4mx+2m 2+1和y 2=ax 2+bx+5，其中y 1的图象经过点A （1，1），若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y 2的最大值．

6、已知点

00(,)

P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式

002

1kx y b d k -+=

例如：求点(2,1)P -到直线1y x =+的距离．

解：因为直线

y x

=+可变形为10

x y

-+=，其中1,1

k b

所以点

(2,1)

P-到直线1

y x

=+的距离为：

d====

根据以上材料，求：（1）点

(1,1)

P到直线32

y x

=-的距离，并说明点P与直线的位置关系；

（2）点

(2,1)

P-到直线21

y x

=-的距离；

（3）已知直线

y x

=-+与3

y x

=-+平行，求这两条直线的距离．

7、阅读：我们知道，在数轴上，1

x=表示一个点．而在平面直角坐标系中，1

x=表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程210

x y

-+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21

y x

=+的图象，它也是一条直线，如图2-4-10可以得出：直线1

x=与直线21

y x

=+的交点P的坐标（1，3）就是方程组

在直角坐标系中，1

x≤表示一个平面区域，即直线1

x=以及它左侧的部分，如图2-4-11；

y x

≤+也表示一个平面区域，即直线21

y x

=+以及它下方的部分，如图2-4-12．回答下列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中，

（1）用作图象的方法求出方程组

y x

=-+

的解．

（2）用阴影表示

y x

≥-

≤-+

?≥

，所围成的区域．

图2-4-12

图2-4-11

图2-4-10

y=2x+1

P(1,3)

O x

分析: 通过阅读本题所提供的材料，我们要明白两点：方程组的解与两直线交点坐标的关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法．

解: （1）如图2-4-13，在坐标中分别作出直线2x =-和直线22y x =-+，这两条直线的交点P （-2，6），则26x y =-??

=?是方程组2

22x y x =-??=-+?

的解．（2）不等式组2220x y x y ≥-??

≤-+??≥?

，在坐标系中的区域为2-4-13中的阴影部分．

8、九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程

05624=+-x x ”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2

x ＝y ，那么4

x ＝2

y ，于是原方程可变为0562

=+-y y ……①，解这个方程得：y 1＝1，y 2

＝5．当y ＝1时，2x ＝1，∴ x ＝土1；当 y ＝5时，2

x ＝5，∴ x ＝土5。所以原方程有

四个根：x 1＝1，x 2＝－1，x 3＝5，x 4＝－5。

⑴ 在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

⑵ 解方程()

()

012422

2=----x x x

x 时，若设y ＝x x -2，则原方程可化

为．

9、先阅读下列材料，再解答后面的问题

材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n

n a a a a 记为个

43421Λ?。如23=8，此时，3叫做以2为

底8的对数，记为()38log 8log 22=即。一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n

且，则n

叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4

==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的

对数，记为)481log (81log 33=即。

问题：（1）计算以下各对数的值 =

64log 16log 4log 222

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、

之间又满足怎样的关系式？

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

()0,0,10log log >>≠>=

+N M a a N M a a 且

根据幂的运算法则：m n m

a a

a +=?以及对数的含义证明上述结论。

10、先阅读理解下列例题，再按例题解一元二次不等式：62

20x x --> 解：把62

2x x --分解因式，得62

2x x --=（3x －2）(2x －1) 又62

20x x -->，所以（3x －2）(2x －1)＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有 (1) 320210x x ->??

->? 或（2）320

210

x x -

解不等式组（1）得x>

3 解不等式组（2）得x 〈12

所以（3x －2）(2x －1)＞0的解集为x>23或x 〈12

- 作业题：①求分式不等式

x x +-〈0的解集。 ②通过阅读例题和作业题①，你学会了什么知识和方法？

11、阅读材料，解答问题：

材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P 1(－3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线2

x y =上向右跳动，得到点P 2、P 3、P 4、P 5……(如图12所示)。过P 1、P 2、P 3分别作P 1H 1、P 2H 2、P 3H 3垂直于x 轴，垂足为H 1、H 2、H 3，

则1

1)14(2

14)9(212)19(21 3

32222113311321=?+-?+-?+=

--=?P H H P P H H P P H H P P P P S S S S 梯形梯形梯形

即△P 1P 2P 3的面积为1。” 问题：

⑴求四边形P 1P 2P 3P 4和P 2P 3P 4P 5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；

图12

⑵猜想四边形P n －1P n P n+1P n+2的面积，并说明理由(利用图13)

⑶若将抛物线2

x y =改为抛物线c bx x y ++=2

，其它条件不变，猜想四边形P n －1P n P n+1P n+2的面积(直接写出答案)

12、若12,x x 是关于x 的一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根12,x x 和系数,,a b c 有如下关系：1212,

b c

x x x x a

+=-?=

. 我们把它们称为根与系数关系定理.

如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：

12AB x x =- 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ?为等腰三角形.

（1）当ABC ?为等腰直角三角形时，求24;b ac -的值（2）当ABC ?为等边三角形时，24b ac -= .

（3）设抛物线21y x kx =++与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且90ACB ∠=?,试问如何平移此抛物线，才能使60ACB ∠=?？

【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与X 轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求24b ac -取何值时△ABC 为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将24b ac -作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的24b ac -值求出K,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。

图13

【解析】．⑴ 解：当ABC △为等腰直角三角形时，过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，则2AB CD =

∵抛物线与x 轴有两个交点，∴0>△，（不要忘记这一步的论证）

∴22

44b ac b ac -=-

∵24b ac

AB a

- 又∵244b ac

CD a

-=，

∵0a ≠，

442

b ac

b a

c -- (

)

22444

b ac

b a

c --

∴()

444

ac b ac --=

∴244b ac -=…

⑵当ABC △为等边三角形时，24b ac -12= ⑶∵90ACB ∠=?， ∴24b ac -4=．即244k -=， ∴22k =±

因为向左或向右平移时，ACB ∠的度数不变，

所有只需要将抛物线2221y x x =±+向上或向下平移使60ACB ∠=?，然后向左或向右平移任意个单位即可．

设向上或向下平移后的抛物线解析式为：221y x x m =±++， ∵平移后60ACB ∠=?，∴2412b ac -=，∴2m =-．

∴抛物线21y x kx =++向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单

位都能使ACB ∠的度数由90?变为60?

13、在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y -≥-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -；若1212||<||x x y y --，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．

例如：点1(1,2)P ，点2(3,5)P ，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|=3-，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1

PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）． 1）已知点1

(,0)2

A -，

B 为y 轴上的一个动点，

①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；

（2）已知C 是直线3

y x =+上的一个动点，

①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的

坐标；

②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．

【解析】⑴ ①()02-，或()

02，

②

1 ⑵ ①设C 坐标00334x x ??

+ ???， ∴当00324x x -=+

此时087x =-

∴距离为87 此时81577C ??

- ???

，.

②3455E ??

- ???， 0033435

45x x --=+- ∴085x =-

∴8955C ??

- ???，

最小值1.

25．在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若

则点P 1与点P 2的“非常距离”为

，若

,则点P 1与点P 2的“非常距离”为

，

例如：点P 1(1,2),点P 2(3,5),因为

,所以点P 1与点P 2的“非常距离”为

=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）（1）已知A (0,1),B 为x 轴上的一个动点.

① 若点A 与点B 的“非常距离”为3，写出满足条件的点B 的坐标 . ②直接写出点A 与点B 的 “非常距离”的最小值 . （2）已知M 是直线

上的一个动点，

① 如图2，点N 的坐标是（-2，0），求点M 与点N 的“非常距离”的最小值及

相应的点M 的坐标 ②若P 是坐标平面内的一个动点，且OP =，直接写出点M 与点P 的“非常距离”d 的最小值及相应的点P 和点M 的坐标.

14、如果方程2

0x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上

结论，解决下列问题：

（1）已知关于x 的方程2

0,(0),x mx n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a 、b 满足2

15a 50,1550a b b ---==-,求

a b

b a

+的值；（3）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。 ( 4 ) 已知实数p 、q 满足p 2=3p+2, 2q 2=3q+1 且p 与q 不等，求p 2+4q 2的值

【答案】解：（1）设关于x 的方程2

0,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，则有：

1212,.x x m x x n +=-=，且由已知所求方程的两根为

11,x x ∴

12121211x x m x x x x n +-+==，12121111x x x x n

?==。 ∴所求方程为2

0m x x n n

+=，即210(0)nx mx n ++=≠。（2）∵a 、b 满足2

1550,1550a a b b --=--=，

∴a 、b 是方程2

1550x x --=的两根。∴15,5a b ab +==- 。

∴()()22

222

21522475

a b ab a b a b a b b a ab ab ab +-+++===-=-=--。（3）∵0,16a b c abc ++==且0c > ∴16

,a b c ab c

+=-=。 ∴a 、b 是一元二次方程()()2

00x c x c c

--+

=>的两个根，代简，得 ()2

1600cx c x c ++=> 。

又∵此方程必有实数根，∴此方程的0?≥，即()

24160c

c -??≥，()3340c c -≥。

又∵0c > ∴3

40c -≥。 ∴4c ≥。∴正数c 的最小值为4。．【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。【分析】（1）设方程2

0,(0)x mx n n ++=≠的两根为12,x x ，得出

1211m x x n

-+=，

12111

x x n

?=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。

（2）根据a 、b 满足2

1550,1550a a b b --=--=，得出a 、b 是一元二次方程

21550x x --=的两个根，由15,5a b ab +==-，即可求出a b

b a +的值。

（3）根据0,16a b c abc ++==，得出16

,a b c ab c +=-=，a 、b 是一元二次方程

22160cx c x ++=的两个根，再根据0?≥，即可求出c 的最小值。

点a 、b 、c 在数轴上分别表示有理数x,-2,1,那么A 到B 的距离与A 到C 的距离之

和可表示为？认真阅读下面的材料，完成有关问题.材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的认真阅读下面的材料，完成有关问题.

材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5－(－3)|，所以|5+3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离;|5|＝|5－0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为|a －b|.

问题（1）：点A 、B 、C 在数轴上分别表示有理数x 、－2、1，那么A 到B 的距离与A 到C 的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．

问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x －3|+|x+1|＝6的x 的所有值是，②设|x －3|+|x+1|＝p ，当x 的值取在不小于－1且不大于3的范围时，p 的值是不变的，而且是p 的最小值，这个最小值是；当x 的值取在的范围时，|x|+|x －2|的最小值是. 材料2：求|x-3|+|x －2|+|x+1|的最小值. 分析：|x-3|+|x －2|+|x+1|＝(|x-3|+|x+1|）+|x －2|

根据问题（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x 的值只要取－1到3之间（包括－1、3）的任意一个数，要使|x －2|的值最小，x 应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可.

问题（3）：利用材料2的方法求出|x-3|+|x －2|+|x|+|x+1|的最小值.

15．认真阅读下面的材料，完成有关问题．

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为|a ﹣b|．问题（1）：点A 、B 、C 在数轴上分别表示有理数x 、﹣2、1，那么A 到B 的距离与A 到C 的距离之和可表示为 __________________（用含绝对值的式子表示）．问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x ﹣3|+|x+1|=6的x 的所有值是 ___________ ，②设|x ﹣3|+|x+1|=p ，当x 的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p 的值是不变的，而且是p 的最小值，这个最小值是 _____ ；当x 的取值范围是___________时，|x|+|x ﹣2|取得最小值，最小值是 _____________ 问题（3）：求|x ﹣3|+|x ﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x 的值；问题（4）：若|x ﹣3|+|x ﹣2|+|x|+|x+1|≥a 对任意的实数x 都成立，求a 的取值范围

16、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平

移1个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1．

若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，

平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，．

解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．

（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量”

{1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形.

（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，5），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

（第21

图1

17．阅读材料：

如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对于任意两点A (1x ，1y )，()22y x B ，，由

勾股定理可得：()()2

212

y y x x AB -+-=，我们把

()()2

21221y y x x -+-

叫做A 、B 两点之间的距离，记作()()221221y y x x AB -+-=．

例题:在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P(x ，0)． ①A(0，2)，B (3，-2)，则AB= ．；PA = ．；解：由定义有()()[]522302

2=--+-=AB ；()()420322

2+=-+-=

x x PA ．

②

()412+-x 表示的几何意义是．；

()92122+-+

+x x 表示的几何意义

是．．解：因为

()()()2

2220141-+-=+-x x ，所以

()412+-x 表示的几何意义是点

()0，x P 到点()21，的距离；同理可得，()92122+-+

+x x 表示的几何意义是点()0，

x P 分别到点(0，1)和点(2，3)的距离和．根据以上阅读材料，解决下列问题：

(1)如图，已知直线82+-=x y 与反比例函数x

y 6

(x ＞0)的图像交于()()2211y x B y x A ，、，两点，则点A 、B 的坐标分别为A( ， )，

B( ， )，AB= ．

(2)在(1)的条件下，设点()0，

x P ，则()()22222121y x x y x x +-++-表示的几何意义

是；试求()()22222121y x x y x x +-++-的最小值，以及取得

最小值时点P 的坐标．

18．先阅读下列材料，然后回答后面问题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.

如“2+2”分法：

)

)(()()()

()(b a y x y x b y x a by bx ay ax by

bx ay ax ++=+++=+++=+++

如“3+1”分法：

)

1)(1(1

)(12122

2222-+++=-+=-++=+-+y x y x y x y xy x x y xy

请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：y x y x ---22；

（2）分解因式：2225202045ay axy ax am -+-；（3）分解因式：144442

2+---+ab b b a a a . 19、阅读理解

对某一个函数给出如下定义，若存在实数M ﹥0，对于任意的函数值y ，都满足

-M≤y≤M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1. ⑴ 判断函数x

y 1

=（x ﹥0）和1+=x y （-4﹤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求出其边界值。

⑵ 若函数1+-=x y （a≤x≤b ，b ﹥a ）边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围。

⑶ 将函数2

x y =（-1≤x≤m ，m≥0)的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界是t ，当

m 在什么范围时满足

≤t≤1

20．阅读材料：

已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求

pq q

+的值. 解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0

又∵pq ≠1,∴1p q

≠

∴1-q-q 2=0可变形为2

1110q q ????

--= ? ?????

的特征

所以p 与

是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p q q

=∴= 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答. 已知：2m 2-5m -1=0,215

20n n

+-=,且m ≠n 求：

m n

+的值. 25．解法一：由2m 2-5m -1=0知m ≠0，∵m ≠n ，∴

11m n

≠ 得

20m m

+-=……………………………………………………（3分）

根据

2215152020m m n n +-=+-=与的特征 ∴11

m n 与是方程x 2+5 x -2=0的两个不相等的实数根……………（6分） ∴11

5m n +=-………………………………………………………（8分）解法二：由215

20n n

+-=得2n 2-5n -1=0……………………………………（3分）

根据2m 2-5m -1=0与2n 2-5n -1=0的特征.且m ≠n

∴m 与n 是方程2 x 2-5 x -1=0的两个不相等的实数根……………（6分） ∴51

,22

m n mn +=

=- ∴5

112512

m n m n mn ++===--……………………

21、对于实数a 、b ，定义一种新运算“?”为：a ?b=ab

a +22

，这里等式右边是通常的四

则运算．例如：1?3=

31122

=?+． (1) 解方程x x ?=?-1)2(；

(2) 若x ,y 均为自然数，且满足等式x

y ?-=-)1(1

5，求满足条件的所有数对(x ,y )．

重庆中考数学24题专题

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I， ∵G为CH的中点， ∴HG=GC， ∵EF⊥DC， HI⊥EF， ∴∠HIG=∠GFC=90°， ∠FGC=∠HGI， ∴△GIH≌△GFC， ∵△EBH≌△EIH（AAS）， ∴FC=HI=BH=1， ∴AD=4-1=3． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

重庆中考数学材料阅读24题练习题

2017年重庆中考材料阅读练习题 1、2017届南开（融侨）中学九上入学 24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。数字111经过三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。 2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一 23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。

3、2017届南开（融侨）中学九上期末 25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”) （2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x =上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程；（3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。 4、2017届一中九上月考三 24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得 a n b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7 a n =，即7a n =．（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被 7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-?=，因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．

中考数学专题(十九)阅读理解题专题

中考数学专题9 阅读理解题专题【前言】新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。不同以往的单纯“给条件”to “求结果”式的题目，阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键，让我们先看以下的例题。【例1】请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP 就成了BP`,PC 成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图图3 图1 图2

形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC 旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC 挪了出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。【解析】（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC ≌△BP′A． ∴AP′=PC=1，BP=BP′=2．连结P P′，在Rt△BP′P 中， ∵ BP=BP′=2，∠PBP′=90°， ∴ P P′=2，∠BP′P=45°．在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，AP=5， ∵ 22212(5)+=，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2． ∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°． ∴ ∠AP′B=135°． ∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． … （2）过点B 作BE ⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E ． ∴ ∠E P′ B =45°.∴ E P′=B E=1.∴ AE=2. ∴ 在Rt△AB E 中，由勾股定理，得AB=5． ∴ ∠BPC=135°，正方形边长为5．【例2】

2017年重庆中考数学24题特殊数字类——阅读理解专题

重庆中考数学——阅读理解专题 1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818?=，∴1|8；Θ155?-=-，∴5|5--；Θ5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为；（2）若7|21k +，且k 为整数，满足??? ??≤≥-53134k k ，求k 的值. 2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n b a =，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得 n a =3 ，即n a 3=。（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 1011031132332222222=+→=+→=+→， 1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．． 5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.

中考数学阅读理解题专题

中考百分百——备战2008中考专题 (阅读理解题) 一、知识网络梳理阅读理解题是近几年新出现的一种新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。阅读理解题一般由两部分组成:一是阅读材料;?二是考查内容.它要求学生根据阅读获取的信息回答问题.提供的阅读材料主要包括:?一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新数学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内容既有考查基础的,又有考查自学能力和探索能力等综合素质的. 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。涉及到的数学知识很多，几乎涉及所有中考内容。阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势。题型考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高数学素质的前提。数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测解题者理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的。题型考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解基本概念不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握概念的内涵或实质，理解概念间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识。这类试题意在检测解题者对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力。题型考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提练和运用，对规律的归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。这类试题意在检测解题者的数学化能力以及驾驭数学的创新意识和才能。题型考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。解阅读新知识，应用新知识的阅读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错。第一课时代数阅读题［目标导学］此类阅读理解题一般以数式的运算、方程（不等式）的计算以及函数知识为背景，考查相关的知识；内容可以包括定义新思路、新方法，这主要是考查学生的理解应变能力，也可以是提供全新的的阅读材料，介绍新知识，用来考查学生的学以致用的能力。［例题精析］

2020年重庆市中考数学第18题专题突破

—————————————————————————————— 2020年重庆市中考数学第18题专题突破 1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060 x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+ 移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=- 合并得：()()1002400b a x b a -=- 所以：24x = 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是。解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ， = ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=6 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重 40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．

2017重庆中考数学试题(A卷)Word版

重庆市2017年初中毕业生学业水平暨普通高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答。 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。 3.考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回。参考公式:抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴为a b x 2-=. 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.在实数－3，2，0，－4，最大的数是（） A.－3 B.2 C.0 D.－4 2.下列图形中是轴对称图形的是（） A B C D 3.计算26x x ÷正确的结果是（） A.3 B.3x C.4x D.8x 4.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（） A.对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C.对某批次手机的防水功能的调查 D.对某校九年级3班学生肺活量情况的调查 5.估计110+的值应在（） A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 6.若4,3 1=-=y x ，则代数式33-+y x 的值为（） A.－6 B.0 C.2 D.6 7.要使分式 3 4-x 有意义，x 应满足的条件是（） A.3>x B.3=x C.3

2017年数学中考专题《阅读理解题》

2017年数学中考专题《阅读理解题》题型概述【题型特征】阅读理解题一般篇幅比较长，由“阅读”和“问题”两部分构成，其阅读部分往往为学生提供一个自学材料，其内容多以定义一个新概念(法则)，或展示一个解题过程，或给出一种新颖的解题方法，或介绍某种图案的设计流程等.学生必须通过自学，理解其内容、过程、方法和思想，把握其本质，才可能会解答试题中的问题. 阅读理解题呈现的方式多种多样，有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程一般要改正).考查内容可以是学过知识的深入探索，也可以是新知识的理解运用. 阅读理解题按解题方法不同常见的类型有:(1)定义概念与定义法则型;(2)解题示范(改错)与新知模仿型;(3)迁移探究与拓展应用型等. 【解题策略】解答阅读理解型问题的基本模式:阅读—理解—应用.重点是阅读，难点是理解，关键是应用.阅读时要理解材料的脉络，要对提供的文字、符号、图形等进行分析，在理解的基础上迅速整理信息，及时归纳要点，挖掘其中隐含的数学思想方法，运用类比、转化、迁移等方法，构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常规问题. 可根据其类型，采用不同的思路一般地: (1)定义概念、法则型阅读理解题以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等.解答时要在阅读理解的基础上解答问题.解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，要能够用旧知识对新定义进行合理解释，进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答. (2)解题示范、新知模仿型阅读理解题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧，再以思路技巧为载体设置类似的问题.解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化;正误辨析型阅读理解题抓住学生学习中的薄弱环节和思维漏洞，“刻意”地制造迷惑，使得解答过程似是而非.解答时主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握，运用其进行是非辨别. (3)迁移探究与拓展应用型，即阅读新问题，并运用新知识探究问题或解决问题，解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决. 真题精讲类型一定义概念与定义法则型典例1 (2016·湖北咸宁)阅读理解: 我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图(1)，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形.设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 1 sin α 的值叫做这个平行四边形的变形度. (1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是 ; 猜想证明: (2)若矩形的面积为1S ，其变形后的平行四边形面积为1S ，试猜想121 ,,sin S S α 之间的数量关系，并说明理由; 拓展探究:

重庆中考数学第18题专题1几何部分

重庆中考数学第18题专题1（几何部分） 1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是. 2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________. 3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________． 4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.

5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________. 6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。 7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是. 8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD 上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为. 9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知 AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．

(完整版)重庆中考数学阅读专题[含详细答案解析]

1. （2017?重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值． 2. （2016?重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值． 3. （2015?重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式． 4．（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．

重庆中考数学专题复习

重庆中考数学专题复习一、不等式与分式方程： 1.（重庆巴蜀中学初2016届三下三诊）若a为整数，关于a的不等式组a有且只有3个非正整数解，且关于x的分式方 a有负整数解，则整数a的个数为（）个. 程 A．4 B．3 C．2 D 1 2.（重庆初2016届六校发展共同体适应性考试）如果关于a的不等式组a的解集为a，且关于a的分式方程a有非负 a的个数是（）整数解，所有符合条件的 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.（重庆八中初2016届九下强化训练三）已知关于a的分式方程a有增根，且关于a的不等式组a只有4个整数解，那a的取值范围是（）么 A. a B. a C. a D. a 5. （重庆八中初2016届九下强化训练二）已知a为实数，关于a、a的方程组组a的解的积小于零，且关于x的分式方 a有非负解，则下列a的值全都符合条件的是（）程 A．-2、-1、1 B．-1、1、2 C．-1、a、1 D．-1、0、2 6. （重庆市初2016级毕业暨高中招生适应性考试）如果关于a的不等式组的解集为，且关于a的分式方程有非负整 a的值是（）数解，则符合条件的 A．， B．， C．，， D．，，， 7.（重庆实验外国语学校2015-2016学年度下期第一次诊断性考试）关于a的方程a的解为正数，且关于a的不等式组a有解，则符合题意的整数a有（）个A．4 B．5 C．6 D．7 a有正整数解，关于x的不等式组 8. (重庆巴蜀中学初2016级初三下保送生考试)若关于x的分式方程有解，则a的 a 值可以是（） A、0 B、1 C、2 D、3 12.（2016重庆中考B卷）如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是（）A.-3 B.0 C.3 D.9 15.（2016?重庆一中三模）使得关于a的不等式组a有解，且使分式方程a有非负整数解的所有的a的和是（）A.-1 B. 2 C. -7 D. 0

2018重庆中考数学材料阅读题分类讲练(含答案)

重庆中考材料阅读题分类讲练（含答案）类型1 代数型新定义问题例1【2017·重庆A 】对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以，F(123)＝6. (1)计算：F(243)，F(617)； (2)若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x ，y 都是正整数)，规定：k ＝F ()s F ()t .当F(s)＋F(t)＝18时，求k 的最大值．针对训练 1．对于一个两位正整数xy(0≤y≤x≤9，且x 、y 为正整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t 的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t 的“平方差数”．例如：对数62来说，62＋22＝40，62－22＝32，所以40和32就分别是62的“平方和数”与“平方差数”． (1)75的“平方和数”是________，5可以是________的“平方差数”；若一个数的“平方和数”为10，它的“平方差数”为8，则这个数是________． (2)求证：当x≤9，y≤8时，t 的2倍减去t 的“平方差数”再减去99所得结果也是另一个数的“平方差数”． (3)将数t 的十位上的数与个位上的数交换得到数t′，若t 与t 的“平方和数”之和等于t′与t′的“平方差数”之和，求t. 2．将一个三位正整数n 各数位上的数字重新排列后(含n 本身)．得到新三位数abc(a ＜c)，

初三数学中考阅读理解题专题

1、（10一模崇文）正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE b =（a b 2<），且边AD 和AE 在同一直线上．小明发现：当b a =时，如图①，在BA 上选取中点G ，连结FG 和CG ,裁掉FAG ?和CHD ?的位置构成正方形FGCH ．（1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．（2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足 =AE BG ． 2．（10一模朝阳）请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C =150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图 3

3、(10一模房山)阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．小明的做法是：先取n=2，如图2，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是 1 5 ；然后取n=3，如图3，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是 410，即2 5 ；…… 请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究n=4时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）． M’N’ E B A Q P N G H F E D C B A M M’ N’ A B E H C P G D Q H M N F B E A 图图1 图3 图4 图5

重庆中考数学阅读专题.

重庆中考数学阅读专题 1. 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m． 2. （2017?重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字

对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值． 3. （2016?重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

中考数学重点知识《阅读理解题专题》

中考数学总复习阅读理解题第一部分真题精讲【例1】请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．【分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后BP就成了BP`,PC成了P`A,借助等量关系BP`=PP`,于是△APP`就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将△BPC旋转90度看看行不行。旋转90度之后，成功将PC挪了出来，于是很自然做AP`延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。【解析】（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=2．连结P P′，在Rt△BP′P中， ∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，∴P P′=2，∠BP′P=45°．在△AP′P中，AP′=1，P P′=2，AP=5， ∵222 12(5) +=，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2． ∴△AP′P是直角三角形，即∠A P′P=90°．图3 图1 图2

2020年重庆中考数学专题训练(含答案)

2020 年重庆中考数学第11 题专题训练类型一：一次函数与分式方程结合 1 、重庆九龙坡区初2020 级八下期末从﹣ 3 、﹣ 2 、﹣ 1 、 1 、 2 、 3 这六个数中, 随机抽取一个数记作a, 使关于x 的分式方程有整数解, 且使直线不经过第二象限, 则符合条件的所有 a 的是( ) 解：解分式方程＝得：x ＝﹣， ∵ x 是整数，∴ a ＝﹣ 3 ，﹣ 2 ， 1 ， 3 ； ∵分式方程＝有意义，∴ x ≠ 0 或 2 ，∴ a ≠﹣ 3 ，∴ a ＝﹣ 2 ， 1 ， 3 ， ∵直线y ＝ 3 x +8 a ﹣17 不经过第二象限，∴ 8 a ﹣17 ≤ 0 ∴ a ≤ ，∴ a 的值为：﹣ 3 、﹣ 2 、﹣ 1 、 1 、 2 ，综上， a ＝﹣ 2 ， 1 ，和为﹣2+1 ＝﹣ 1 ，故选： B ． 2 ．（2018 春? 梁平区期末）如果关于x 的一次函数y ＝（ a +1 ） x + （ a ﹣ 4 ）的图象不经过第二象限，且关于x 的分式方程+2 ＝有整数解，那么所有整数 a 值的和是（） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ．7 解：∵关于x 的一次函数y ＝（ a +1 ）x + （ a ﹣ 4 ）的图象不经过第二象限，∴，解得﹣ 1 ＜ a ≤ 4 ． ∵+2 ＝，

∴ x ＝， ∵关于x 的分式方程+2 ＝有整数解， ∴整数 a ＝0 ， 1 ， 3 ， 4 ， ∵ a ＝ 1 时，x ＝ 2 是增根， ∴ a ＝0 ， 3 ， 4 综上，可得，满足题意的 a 的值有 2 个：0 ， 3 ， 4 ， ∴整数 a 值不可能是 1 ．故选： B ． 3 、能使分式方程+2 ＝有非负实数解且使一次函数y ＝（k +2 ）x ﹣ 1 的图象不经过第一象限的所有整数k 的积为（） A ．20 B ．﹣20 C ．60 D ．﹣60 4 、（2018 春? 巫山县期末）已知整数，使得关于x 的分式方程有整数解，且关于x 的一次函数的图象不经过第二象限，则满足条件的整数 a 的值有（）个． A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 解：∵关于x 的一次函数y ＝（ a ﹣ 1 ）x + a ﹣10 的图象不经过第二象限， ∴ a ﹣ 1 ＞0 ， a ﹣10 ≤ 0 ， ∴ 1 ＜ a ≤ 10 ， ∵， ∴ 3 ﹣ax +3 （x ﹣ 3 ）＝﹣x ，解得：x ＝， ∵ x ≠ 3 ， ∴ a ≠ 2 ， ∴ 1 ＜ a ≤ 10 且 a ≠ 2 ，

2019年重庆中考数学材料阅读题专题

2019年重庆中考数学材料阅读题专题一．方程类 1．阅读下面的内容用换元法求解方程组的解题目：已知方程组①的解是，求方程组②的解．解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即所以方程组②的解为参考上述方法，解决下列问题：（1）若方程组的解是，则方程组的解为；（2）若方程组①的解是，求方程组②的解．

2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．

3．阅读材料：材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝根据上述材料解决下面问题；（1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．