相似三角形专题复习学生版

相似三角形知识点复习题纲

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的 相等， 比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是

=b

a

，或写成=b a : ．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：

a

d

c b =．②()a c

a b c d b d

==在比例式：：中，

a 、d 叫 ，

b 、

c 叫比例 ,

d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的 ， 此时有2b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中=AC AB ≈

0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长

注：黄金三角形：顶角是 0

的等腰三角形。黄金矩形： 与 的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：

①bc ad d c b a =?=::；②2

::a b b c b a c =?=?．

（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：

（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：．

（4）合、分比性质：

a c a

b

c d

b d b d ±±=?=

． （5）等比性质：如果)0(≠++++===

=n f d b n

m f e d c b a ，那么b a

n f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“ 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例

计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为 ．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

b

a f d

b e

c a f e

d c b a f

e d c b a =+-+-?=--=?==32323322；其中032≠+-

f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成

比例.

由DE ∥BC 可得： , , , 注：三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

已知AD ∥BE ∥CF, 可得 等

注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果 ，那么 等。知识点5 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“ ”表示，读作“相似于”

．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形 相等， 成比例．

注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在 位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：

相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为 的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边 ，而相似要求对应边 知识点6 三角形相似的判定定理

1. 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(

或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形：

用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ?∽ABC ?．

2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为： ． 3、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：

4、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为： ．

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、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的 和一条 与另一个直角三角形的 和一条 对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，

则AD 2

=

，AB 2

= ，AC 2

= 。 知识点8 相似三角形常见的图形

1

、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(3)(2)

A

D E 1

2

A

A

D

D E E

141

B C

(3)

B

B

E

A

C D

1

2

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反

A

共角型”、

“反

A

共角共边型”、“蝶型”）

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

知识点9 相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于．

(3)相似三角形周长的比等于．

(4)相似三角形面积的比等于．

知识点10 相似多边形的性质

(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于．

(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的．

(3)相似多边形面积比等于的平方．

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法

1.如果两个图形不仅是，而且每组的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.

2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

注：

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且的连线相交于一点.

（2）位似图形一定是，但相似图形不一定是 .

（3）位似图形的对应边互相或 .

3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 .

4. 画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤

（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为( , ), 反向位似图形对应点的坐标为( , ),

课后练习

相似三角形的概念

1．判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？

2.下列能够相似的一组三角形为( )

A.所有的直角三角形

B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形

D.所有的一边和这边上的高相等的三角形类型二、相似三角形的判定

3．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交

于F，请找出图中三对相似三角形，并求出相应的相似比.

4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.

【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：.

【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE

∽△ABC．

类型三、相似三角形的性质

5.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

类型四、相似三角形的应用

【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

类型五、相似三角形的周长与面积

8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

类型六、综合探究

9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.

10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；

(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.