判断充分与必要条件的方法

一、定义法

可以简单的记为箭头所指为必要，箭尾所指为充分.在解答此类题目时，利用定义直接推导，一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义.

例1 已知p：-2

分析条件p确定了m，n的范围，结论q则明确了方程的根的特点，且m，n作为系数，因此理应联想到根与系数的关系，然后再进一步化简.

解设x1，x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根，即0 而对于满足条件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并无实根，所以pq.

综上，可知p是q的必要但不充分条件.

点评解决条件判断问题时，务必分清谁是条件，谁是结论，然后既要尝试由条件能否推出结论，也要尝试由结论能否推出条件，这样才能明确做出充分性与必要性的判断.

二、集合法

如果将命题p，q分别看作两个集合A与B，用集合意识解释条件，则有：①若A?哿B，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B 是x∈A的必要条件;②若A?芴B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件;③若A=B，则x∈A

和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B，则x∈A和x∈B 互为既不充分也不必要条件.

例2 设x，y∈R，则x2+y22是|x|+|y|≤的条件，是|x|+|y|2的条件.

A. 充要条件

B. 既非充分也非必要条件

C. 必要不充分条件?摇

D. 充分不必要条件

解如右图所示，平面区域P={(x，y)|x2+y22}表示圆内部分(不含边界);平面区域Q={(x，y)||x|+|y|≤}表示小正方形内部分(含边界);平面区域M={(x，y)||x|+|y|2}表示大正方形内部分(不含边界).

由于(，0)?埸P，但(，0)∈Q，则P?芸Q.又P?芫Q，于是x2+y22是|x|+|y|≤的既非充分也非必要条件，故选B.

同理P?芴M，于是x2+y22是|x|+|y|2的充分不必要条件，故选D.

点评由数想形，以形辅数，这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现.数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路，而且也能够提高我们的解题能力.

三、逆否法

利用互为逆否命题的等价关系，应用“正难则反”的数学思想，将判断“p?圯q”转化为判断“非q?圯非p”的真假. 例3 (1)判断p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什么条件;

(2) 判断p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什么条件.