福建省宁德市2017-2018学年高三理数第一次质量试卷及解析

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福建省宁德市2017-2018学年高三理数第一次质量试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

一、选择题

1.已知复数 z 1 对应复平面上的点 (?1,1) ，复数 z 2 满足 z 1z 2=?2 ，则 |z 2+2i|= （ ） A.√2 B.2 C.√10 D.10

2.若 tan(π

4

?α)=?1

3

，则 cos2α= （ ）

A.35

B.?3

5

C.?45

D.4

5

答案第2页，总22页

………○…………订…………○…………线…………○※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

………○…………订…………○…………线…………○3.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 a 的值为（ ）

A.10

B.lg99

C.2

D.lg101

4.设 x,y 满足约束条件 {2x ?y ?1≤0,

x +1≥0,y ?m ≤0 ，

若目标函数 z =x ?2y 的最小值大于 ?5 ，

则 m 的取值范围为（ ） A.(?1,113)

B.[?3,

113

)

C.[?3,2)

D.(?∞,2)

5.福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将 A,B,C,D,

E,F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求 A,B 必须在同一组，

且每组至少2人，则不同的分配方法有（ ）

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…○…………订…………○…………线……___班级：___________考号：___________

…○…………订…………○…………线…… A.15种 B.18种 C.20种 D.22种

6.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

A.4+√7+3π2

B.4+√7+5π2

C.2+√7+5π2

D.1+√7+

3π2

7.已知 a =log 0.62,b =log 20.6,c =0.62 ，则（ ） A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b

8.设抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，过 F 点且倾斜角为 π

4 的直线 l 与抛物线相交于A,B 两点，若以 AB 为直径的圆过点 (?p

2,2) ，则该抛物线的方程为（ ）

A.y 2=2x

B.y 2=4x

C.y 2=8x

D.y 2=16x

答案第4页，总22页

9.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A.58 B.59 C.60 D.61

10.函数 f(x)=asinωx +bcosωx ( a,b ∈R,ω>0 )，满足 f(?

2π3

+x)=?f(?x) 且对任意 x ∈R ，都有 f(x)≤f(?π6

) ，则以下结论正确的是（ ） A.f(x)max =?|a| B.f(?x)=f(x) C.a =√3b D.ω=3

11.设函数 f(x)=ae x?1?1?e x ln(x +1) 存在零点 x 0 ，且 x 0>1 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(?∞,?1+eln2) B.(?eln2,?+∞?) C.(?∞,??eln2) D.(?1+eln2,?+∞)

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题（题型注释）

12.已知向量 a →

， b →

的夹角为 60° ， |a →|=2 ， |a →

+2b →|=2√7 ，则 |b →

|= ．

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○…………装…………○…………学校:___________姓名：___________班级：_________○…………装…………○…………13.若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点 P 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率 e = ．

14.若正三棱台 ABC ?A ′B ′C ′ 的上、下底面边长分别为 √3 和 2√3 ，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为 ．

三、解答题（题型注释）

15.设函数 f(x)=|x 2?2x ?1| ，若 a >b ≥1 ， f(a)=f(b) ，则对任意的实数 c ，

(a ?c)2+(b +c)2 的最小值为 ．

16.已知数列 {a n } 的前 n 和为 S n ，若 a n >0 ， a n =2√S n ?1 ． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；

（Ⅱ）若 b n =a

n 3n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ．

17.如图，矩形 ABCD 中， AB =6 ， AD =2√3 ，点 F 是 AC 上的动点．现将矩形

ABCD 沿着对角线 AC 折成二面角 D ′?AC ?B ，使得 D ′B =√30 ．

（Ⅰ）求证：当 AF =√3 时， D ′F ⊥BC ；

（Ⅱ）试求 CF 的长，使得二面角 A ?D ′F ?B 的大小为 π

4 ．

18.如图，岛 A 、 C 相距 10√7 海里．上午9点整有一客轮在岛 C 的北偏西 400

且距岛 C 10 海里的 D 处，沿直线方向匀速开往岛 A ，在岛 A 停留 10 分钟后前往 B 市．上午 9:30 测得客轮位于岛 C 的北偏西 700

且距岛 C 10√3 海里的 E 处，此时小张从岛 C 乘坐速度为 V 海里/小时的小艇沿直线方向前往 A 岛换乘客轮去 B 市．

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…订…………○…………线…………○※※内※※答※※题※※

…订…………○…………线…………○

（Ⅰ）若 V ∈(0,30] ，问小张能否乘上这班客轮？ （Ⅱ）现测得 cos∠BAC =?4

5

， sin∠ACB =

√55

．已知速度为 V 海里/小时( V ∈

(0,30] )的小艇每小时的总费用为( 1

2V 2+V +50 )元，若小张由岛 C 直接乘小艇去 B

市，则至少需要多少费用？ 19.已知椭圆 C:

x 2a

2

+y 2b 2

=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ．过 P(0,

√32

b)

且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M , N ．当 k =0 时，四边形 MNF 1F 2 恰在以 MF 1 为直径，面积为 25

16π 的圆上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）若 |PM|?|PN|=3

7|MN| ，求直线 l 的方程．

20.已知函数 f(x)=ax 2+lnx (a ∈R) 有最大值 ?1

2

， g(x)=x 2?2x +f(x) ，且

g ′(x) 是 g(x) 的导数．

（Ⅰ）求 a 的值；

（Ⅱ）证明：当 x 11

2 ．

21.在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ ， M 为曲线 C 1 上异于极点的动点，点 P 在射线

OM 上，且 |OP|,?2√5,?|OM| 成等比数列．

（Ⅰ）求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；

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（Ⅱ）已知 A(0,3) , B 是曲线 C 2 上的一点且横坐标为 2 ，直线 AB 与 C 1 交于 D,E 两点，试求 ||AD|?|AE|| 的值． 22.选修4—5：不等式选讲

已知 f(x)=x 2+a?(a ∈R) ， g(x)=|x +1|+|x ?2| （Ⅰ）若 a =?4 ，求不等式 f(x)≥g(x) 的解集；

（Ⅱ）若 x ∈[0,3] 时， f(x)>g(x) 的解集为空集，求 a 的取值范围．

答案第8页，总22页

参数答案

1.C

【解析】1.复数 z 1 对应复平面上的点 (?1,1) ，所以 z 1=?1+i . 由 z 1z 2=?2 得： z 2=?2z 1

=2

?1+i =

2(?1?i)

2

=1+i .

z 2+2i =1+3i ，所以 |z 2+2i|=√10 .

故答案为：C.

根据题目中所给的条件的特点，由已知可得z 1 ， 代入题中条件，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 2 ， 再由复数模的计算公式求|z 2+2i|． 2.B

【解析】2.由 tan(π

4

?α)=?1

3

，得 1?tanα

1+tanα=?1

3 ，解得 tanα=2 .

cos2α=cos 2α?sin 2

α=

cos 2α?sin 2αcos 2α+sin 2α

=

1?tan 2α1+tan 2α

=?3

5

.

故答案为：B.

根据题目中所给的条件的特点，利用同角三角函数的两角差的正切公式，二倍角公式，即可求得cos2α的值． 3.D

【解析】3.执行程序：

n =1,a =0,1≤100,a =0+lg(1+1)=lg2,n =2 , 2≤100,a =lg2+lg(1+1

2

)=lg2+lg 3

2

,n =3 ,

……

100≤100,a =lg(1+

1100

)=lg2+lg 32

+lg 43+?+lg

101100

,n =101 .

101≤100 ，不成立，输出 a =lg2+lg 32

+lg 43

+?+lg 101100

=lg(2×3

2

×4

3×?×

lg

101100

)=lg101 .

故选D.

根据题目中所给的条件的特点，可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，根据对数的运算法则计算即可得解．考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论． 4.B

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………○…………订…………○…………线…………○…_________班级：___________考号：___________

………○…………订…………○…………线…………○…【解析】4.

作出不等式组的可行域如图所示，由图可知 m ≥?3 . 平移直线 y =1

2

x ?z

2

至点A 处得 z 的最小值，

{2x ?y ?1=0y ?m =0 得 {x =

m+1

2y =m

,即 A(m+12,m) ，代入z 得 z min =m+12?2m =1?3m 2 .

由题意知

1?3m

2

>?5 ，解得 m <

113

.

综上： ?3≤m <113

.

所以答案是：B. 5.D

【解析】5.先从两个不同的地方选出一地分配 A,B 两人，有 C 21

=2 种， 再将剩余4人分入两地有三种情况，4人都去A,B 外的另一地点，1种情况； 有三人去A,B 外的另一地点， C 43

=4 种； 有二人去A,B 外的另一地点， C 42=6 种. 综上：共有 2×(1+4+6)=22 种， 所以答案是：D. 6.A

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…装…………○…………订…………○…………线…………○不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

…装…………○…………订…………○…………线…………○【解析】6.

如图所示三视图的还原图：左侧为三棱锥，右侧为半个圆锥.

有： PO ⊥ 面PBC, PO =√3,BC =2, 所以PB=PC=2, PA =AC =2√2 ,取PC 中点D ，则 AD ⊥PC ，所以 AD =√7 .

得表面积为 12

×2×2+12

×2×2+12

×2×√7+12

×π×12

+12

π×2=4+√7+3π2

. 所以答案是：A.

【考点精析】关于本题考查的简单空间图形的三视图，需要了解画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等才能得出正确答案． 7.C

【解析】7. c =0.62>0 .

b =log 20.6<0 ，且 b =log 20.6>log 20.5=?1 ，即 b ∈(?1,0) . a =log 0.62=

1log 20.6

=

1a

∈(?∞,?1) .

所以 c >b >a .

所以答案是：C. 【考点精析】掌握对数函数的单调性与特殊点是解答本题的根本，需要知道过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数． 8.B

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【解析】8.根据题意得：以 AB 为直径的圆过点 P(?p

2

,2) ，设 AB 的中点为C ，则 PC =

12

AB .

由抛物线定义知： PC 与准线 x =?p 2

垂直.

设 AB:x =y +p

2 .与抛物线联立得： y 2?2py ?p 2=0 .

设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ，则 y 1+y 2=2p =4 ，解得 p =2 . 所以 y 2=4x .

所以答案是：B. 9.C

【解析】9.小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60． 故答案为：C.

根据题目中所给的条件的特点，先算出小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数，以及其中小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数，三个女儿同时回娘家的天数，最后由此能求出从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数．考查分类讨论、集合等基础知识，考查运算求解能力. 10.A

【解析】10. f(?

2π3

+x)=?f(?x) 可知，函数 f(x) 的对称中心为 (?π

3

,0) .

对任意 x ∈R ，都有 f(x)≤f(?π6

) ，知对称轴是 x =?π6

， 可知 f(0)=f(?π

3)=0 ，故b =0, f(x)=asinωx .

所以 f(x)max =?|a| .

故答案为：A.

根据题目中所给的条件的特点，知函数f （x ）关于某点对称，且关于某直线的对称，结合三角函数的图象与性质进行分析、判断各个选项的正误即可得到答案．考查了三角函数的图象与性质的应用问题. 11.D

【解析】11.令 ae x?1?1?e x ln(x +1)=0 ，得 1

e x +ln(x +1)=ae ?1 ， 设 ?(x)=1e

x

+ln(x +1) ，条件转化为 y =?(x) 与 y =ae ?1

的图象在 (1,+∞) 上有交点，

∵?′

(x)=?

1e +

1x+1

=

e x ?x?1e (x+1)

≥0 ，得 ?(x) 在 [0,+∞) 上为增函数，

答案第12页，总22页

∴?(1)?1+eln2 .

故答案为：D.

本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想和构造函数法，以及运用函数的单调性， 导数和函数的单调性的关系：

（1）若f′（x ）＞0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数，f′（x ）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

（2）若f′（x ）＜0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数，f′（x ）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 12.2

【解析】12.向量 a ， b 的夹角为 60° ， |a|=2 ，

所以 |a +2b|=√a 2+4a ?b +(2b)2=√4+4|b|+4|b|2=2√7 ， 解得 |b|=2 .

故答案为：2.

根据题目中所给的条件的特点，代入数量积公式，化为关于|b|的一元二次方程求解．考查平面向量的数量积运算. 13.2

【解析】13.设双曲线 C:

x 2a 2

?

y 2b 2

=1 ，左焦点为F (?c ,0)，

渐近线方程为 y =±b a

x ， 设F 关于 y =b

a x 的对称点为(m ,?

bm

a

)， 由题意可得 bm

a

?c?m =?a

b ,(?) 且 1

2(0?

bm a

)=12?b

a (m ?c) ，

可得m = 1

2 c ,代入(?)可得b 2=3a 2 ，

c 2=a 2+b 2=4a 2 ， 则离心率 e =

c a

=2 .

故答案为：2.

根据题目中所给的条件的特点，设出双曲线的左焦点的坐标，求出渐近线方程，求出F 关于渐近线的对称点，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得关系式，最后代入可得a ，b 的关系，由离心率公式，计算即可得到双曲线 C 的离心率． 14.20π

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……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…【解析】14.如图所示， O 1 ， O 2 分别为上下底面的外心，则外接球球心O 则在线 O 1O 2 上，连接 C ′

O 1 并延长交 A ′

B ′ 于D 1 ， 连接

C O 2 并延长交AB 于

D ，

∵等边三角形 A ′

B ′

C ′

的边长为 √3 cm ,∴ O 1C ′

=2

3C ′

D 1=2

3×3

2=1cm ， ∵等边三角形ABC 的边长为 2√3 cm ,∴ O 2 C = 2

3 CD = 2

3×3=2 cm ， 若点 O 在线段由 O 1O 2 上，则 O 1O +O 2O =O 1O 2=1 ， 得 √R 2?O 2C 2

+√R 2?O 1O 2

=1 ，无解.

若点 O 在线段由 O 1O 2 外，则 |O 1O ?O 2O|=O 1O 2=1 ， 得 |√R 2?O 2C 2?√R 2?O 1C ′2|=1 ，，解得 R 2=5 . 则该正三棱台的外接球的表面积为 4πR 2=20π . 故答案为： 20π .

考查正三棱台的外接球的表面积的求法，考查正三棱台及其外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题： （1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系； （3）球自身的对称性与多面体的对称性； （4）能否做出轴截面．

15.解：依题意可知： a 2?2a ?1=?(b 2

?2b ?1) ，整理得 (a ?1)+(b ?1)2=4 ，

∵a >b ≥1 ， ∴ 方程表示如图一段弧AB ，

答案第14页，总22页

………○…………线…………○※※题※※

………○…………线…………○

(a ?c)2+(b +c)2 可表示弧上一点到直线 y =?x 的距离的平方， ∴(a ?c)2+(b +c)2 的最小值是8

【解析】15.根据题目中所给的条件的特点，作出简图，分析可得a+b 的范围；且可将待求式子看成是以c 为自变量的二次函数，结合二次函数的性质分析可得答案．考查分段函数的应用，涉及函数的最值，关键是求出a+b 的范围． 16.解：（Ⅰ） ∵a n =2√S n ?1 ， ∴4S n =(a n +1)2 ． 当 n =1 时， 4S 1=(a 1+1)2 ，得 a 1=1 ． 当 n ≥2 时， 4S n?1=(a n?1+1)2 ，

∴4(S n ?S n?1)=(a n +1)2?(a n?1+1)2 ， ∴4a n =a n 2

+2a n ?a n?1

2

?2a n?1 ，即 (a n +a n?1)(a n ?a n?1)=2(a n +

a n?1) ，

∵a n >0, ∴a n ?a n?1=2 ．

∴ 数列 {a n } 是等差数列，且首项为 a 1=1 ，公差为2， ∴a n =1+2(n ?1)=2n ?1 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， b n =(2n ?1)?1

3n ，

∴T n =1×13

+3×

132

+5×13

3

+???+(2n ?1)?13n

，——①

13T n

=1×

13

2

+3×

1

33

+???+(2n ?3)?1

3n +(2n ?1)?

1

3

n+1 ，——②

①–②得 2

3T n =1

3+2(

13

2

+

13

3

+???+1

3n )?(2n ?1)?

1

3

n+1

=1

3

+2×

13

2?1

3n+11?13

?(2n ?1)?

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○…………外…………○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：○…………内…………○…………装…………○…13n+1

，

化简得 T n =1?

n+1

3n

． 解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， b n =(2n ?1)?1

3n ，

设 b n =(2n ?1)?1

3n =(An +B)?1

3n ?[A(n ?1)+B]?

13

n?1=(?2An +3A ?2B)?1

3n ，

∴{

?2A =2,3A ?2B =?1, 解得 {A =?1,

B =?1.

∴b n =(2n ?1)?

13=(?n ?1)?

13

?(?n)?13=n ?

13

?(n +1)?13 ，

∴ T n =b 1+b 2+???+b n =(1×13

?2×13

1)+(2×13

1

?3×13

2)+?+[n ?

13

n?1

?(n +

1)?1

3n ]=1?

n+1

3n

【解析】16.（Ⅰ）利用数列的递推关系式通过数列的第n 项与前n 项之间的关系a n =S n -S n-1求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）利用错位相减法求解数列的和即可．或利用拆项法求解数列的和即可．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和公式的求法． 17.解：（Ⅰ）连结 DF ， BF ．

在矩形 ABCD 中， AD =2√3,CD =6 ,

∴AC =4√3,∠CAB =300 , ∠DAC =600 ．

在 ΔADF 中，∵ AF =√3 ,

∴DF 2=DA 2+AF 2?2DA ?AF ?cos∠DAC =9 ，

∵ DF 2+AF 2=9+3=DA 2 ，

∴DF ⊥AC ，即 D ′F ⊥AC ．

又在 ΔABF 中，

答案第16页，总22页

…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○

BF 2=AB 2+AF 2?2AB ?AF ?cos∠CAB =21 ，

∴在 ΔD ′

FB 中， D ′F 2

+FB 2

=32

+(√21)2

=D ′B 2 ,

∴BF ⊥D ′F ,

又 ∵AC ∩FB =F , ∴ D ′F ⊥ 平面 ABC ． ∴ D ′F ⊥BC ．

（Ⅱ）解：在矩形 ABCD 中，过 D 作 DE ⊥AC 于 O ，并延长交 AB 于 E . 沿着对角线 AC 翻折后，

由（Ⅰ）可知， OE,OC,OD ′ 两两垂直，

以 O 为原点， OE ?

的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 O ?xyz ，则

O(0,0,0),E(1,0,0), D ′(0,0,3),B(3,2√3,0) , ∵EO ⊥ 平面 AD ′F ,

∴OE ?

=(1,0,0) 为平面 AD ′F 的一个法向量．

设平面 BD ′F 的法向量为 n =(x,y,z),

∵F(0,t,0) ， ∴

BD ′

?

=(?3,?2√3,3), BF ?

=(?3,t ?2√3,0) ,

由 {n ?BD ′?

=0,n ?BF ?

=0,

得 {?3x ?2√3y +3z =0 ， ?3x +(t ?2√3)y =0 ， 取 y =3, 则 x =t ?2√3,z =t , ∴n =(t ?2√3,3,t) ．

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∴cos π4

=

|n?OE ?

||n||OE ?

|

, 即

√3|

√(t?2√3)+9+t 2

=

√2

2

,

∴t =

√34

．

∴ 当 CF =

114

√3 时，二面角 A ?D ′F ?B 的大小是 π

4

【解析】17.（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，连结DF ，BF ．通过计算推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，然后证明D'F⊥平面ABC ．推出利用线面垂直的性质得到D'F⊥BC．

（Ⅱ）先说明OE ，OC ，OD'两两垂直，以O 为原点，建立适当的空间直角坐标系O-xyz ，求出平面AD'F 的一个法向量．以及平面BD'F 的法向量，通过用空间向量求平面间的夹角的方法，利用向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可． 18.解：（Ⅰ）根据题意得：

CD =10 ， CE =10√3 ， AC =10√7 ， ∠DCE =700?400=300 ．

在 ΔCDE 中，由余弦定理得，

DE =√CD 2+CE 2?2CD ?CE ?cos∠DCE =√102+(10√3)2?2×10×10√3×√32

=10 ,

所以客轮的航行速度 V 1=10×2=20 （海里/小时）． 因为 CD =DE ，所以 ∠DEC =∠DCE =300 ， 所以 ∠AEC =1800?300=1500 ．

在 ΔACE 中，由余弦定理得， AC 2=AE 2+CE 2?2AE ?CE ?cos∠AEC ， 整理得： AE 2+30AE ?400=0 ， 解得 AE =10 或 AE =?40 （不合舍去）．

所以客轮从 E 处到岛 A 所用的时间 t 1=10

20=1

2 小时， 小张到岛 A 所用的时间至少为 t 2=10√730

=

√7

3

小时．

由于 t 2>t 1+1

6 ，

所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮. （Ⅱ）在 ΔABC 中， cos∠BAC =?4

5 ， sin∠ACB =

√55

,

所以 ∠ACB 为锐角， sin∠BAC =35

， cos∠ACB =

2√55

．

答案第18页，总22页

所以 sinB =sin[1800?(∠BAC +∠ACB)]=sin(∠BAC +∠ACB)=

sin∠BACcos∠ACB +cos∠BACsin∠ACB =3

5×

2√55

?45

×

√55

=

2√525

.

由正弦定理得， BC

sin∠BAC =AC

sinB , 所以 BC =

10√7×

3

5

2√525

=15√35 ,

所以小张由岛 C 直接乘小艇去城市 B 的总费用为

f(V)=

15√35V (12

V 2+V +50)=15√35(12

V +1+

50V

)≥165√35 ( V ∈(0,30] )，

当且仅当 1

2V =

50

V

，即 V =10 时， f(V)min =165√35 （元）.

所以若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市，其费用至少需 165√35 元

【解析】18.（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，在△CDE 中，由余弦定理得DE ．在△ACE 中，由余弦定理得AE ，最后求出客轮从E 处到岛A 所用的时间，小张到岛A 所用的时间．即可推出正确的答案．

（Ⅱ）求出BC ，利用基本不等式求出最值即可．考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识.

19.解：（Ⅰ）当 k =0 时，直线 l//x 轴，

又四边形 MNF 1F 2 恰在以 MF 1 为直径，面积为 25

16π 的圆上， ∴四边形 MNF 1F 2 为矩形，且 |MF 1|=5

2 ．

∴点 M 的坐标为 (c,

b 2a

) ．

又 b 2a

=

√3

2b ，

∴ b

a =

√3

2

．

设 a =2k,b =√3k ，则 c =k ．

在 RtΔMF 1F 2 中， |MF 2|=3

2k ， |F 1F 2|=2k ，

∴ |MF 1|=52

k =5

2

，

∴ k =1 ．

第19页，总22页

外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…∴ a =2,b =√3 ， ∴椭圆 C 的方程为 x 2

4+

y 23

=1 ．

（Ⅱ）将 l:y =kx +3

2 与椭圆方程联立得 (3+4k 2)x 2+12kx ?3=0 ，

设 M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) ，得 x 1+x 2=?

12k

3+4k

2 ， x 1x 2=?

33+4k 2

．

故 |PM|?|PN|=√1+k 2?|x 1?0|?√1+k 2?|x 2?0|

=(1+k 2

)|x 1x 2|=

3+3k 23+4k 2

．

又 |MN|=√1+k 2|x 1

?x 2|=√1+

k 2

?√(x 1+x 2

)2

?4x 1x 2=√1+

k 2?

√192k 2+363+4k 2

，

∴

3+3k 23+4k

2

=

3

7

?√1+k 2

?

√192k 2+36

3+4k 2

，

即 7√1+k 2=√192k 2+36 ， 解得 k =±

√1111

，

∴直线 l 的方程为 y =±

√1111

x +3

2

【解析】19.本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆与直线的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、椭圆与直线的位置关系的合理运用．直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解． 【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x 轴：

，焦点在y 轴：

才能得出正确答案．

20.解：（Ⅰ） f(x) 的定义域为 (0,+∞) ， f ′

(x)=2ax +1

x ． 当 a ≥0 时， f ′

(x)>0 ，

f(x) 在 (0,∞) 上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；

答案第20页，总22页

当 a <0 时，令 f ′

(x)=0 ，得 x =√?

12a

，

当 x ∈(0,√?

12a

) 时， f ′

(x)>0 ，函数 f(x) 单调递增；

当 x ∈(√?

12a

,+∞) 时， f ′(x)<0 ，函数 f(x) 单调递减，

∴f(x)max =f(√?12a

)=?12

+ln√?

12a

,

∴?1

2+ln√?

12a

=?1

2

,

∴a =?1

2

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， g(x)=1

2

x 2?2x +lnx ,

∴g ′(x)=x +1

x

?2 ．

∵x +1

x

≥2 ， ∴g ′(x)≥0 ,

∴g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增．

又 ∵x 1

2 ,

∴0

(x)=1?

1x 2

=

x 2?1x 2

,

∴ 当 x >1 时， g ″(x)>0 ， g ′(x) 单调递增,

要证 g ′(x 1+x 2)>1

2 ，即 g ′(x 1+x 2)>g ′(2) ，只要证 x 1+x 2>2 ，即 x 2>2?x 1 ．

∵x 1<1 ， ∴2?x 1>1 ,

所以只要证 g(2?x 1)

设 G(x)=g(x)+g(2?x) =x 2?2x ?2+lnx +ln(2?x) （其中 0

∴G ′

(x)=2x ?2+1x

?

12?x

=2(1?x)[

1x(2?x)

?1]=

2(x?1)3x(x?2)

>0 ,