上海市杨浦区高考数学一模试卷及答案
上海市杨浦区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）计算的结果是．
2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=．3．（4分）已知，则=．
4．（4分）若行列式，则x=．
5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=．
6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．
7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．
8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则a n=．
9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．
11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g （x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为．
12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足?=0，?=0，?=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）
A．B．2 C．4 D．8
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B ?A．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．
20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；
（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；
（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．21．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意
+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．
的2≤k≤n﹣1，a k
+1
（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；
（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；
（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记
，其中max{x 1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s 个数中最大的数，求M的最小值．
2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）计算的结果是1．
【解答】解：当n→+∞，→0，∴=1，
故答案为：1．
2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=3．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，
∴实数m=3．
故答案为：3．
3．（4分）已知，则=﹣．
【解答】解：∵，
∴=．
故答案为：﹣．
4．（4分）若行列式，则x=2．
【解答】解：∵，
∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1
∴x=2
故答案为：2
5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6．
【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，
∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，
解得x=4，y=2，
∴x+y=6．
故答案为：6．
6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．
=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r
【解答】解：展开式的通项为T r
+1
令6﹣2r=0可得r=3
常数项为（﹣2）3=﹣160
故答案为：﹣160
7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．
【解答】解：基本事件共6×6个，
点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，
故P==．
故答案为：．
8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则a n=2n﹣1．
【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）?s n=2n﹣1．
n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；
故答案为：2n﹣1
9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【解答】解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，
利用正弦定理化简得：b2=ac，
由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c时取等号），
则B的范围为（0，]，即角B的最大值为．
故答案为：．
10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双
曲线的两条渐近线的夹角为．
【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点
重合，
∴a2+1=4，解得a=，
∴双曲线的渐近线方程为y=，
∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，
故答案为：．
11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g （x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为．
【解答】解：函数，
=，
=s，
函数g（x）=f（x+α）=为奇函数，
则：（k∈Z），
解得：，
故答案为：
12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．
【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y=kx+2，联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
设C（x1，y1），N（x2，y2），则△=（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥，
x1+x2=﹣，x1x2=，（*）
由，可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得==，
由k2≥，可得4≤≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，
当M和N点重合时，λ=1，
当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ=
或λ=3
∴实数λ的取值范围．
故答案为：．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵=，
∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．
故选：C．
14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；
②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．
③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．
④y=arcsinx是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，
故选：B．
15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解答】解：t≥0?△=t2+4t≥0?函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，
函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点?△=t2+4t≥0?t≥0或t≤﹣4．∴“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．
故选：A．
16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足?=0，
?=0，?=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）
A．B．2 C．4 D．8
【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，
因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4
所以S
△ABC +S
△ACD
+S
△ADB
=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2
即最大值为：2
故选：B．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，
它的面积y=x（l﹣3x）；
由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，l）；
（2）y=x（l﹣3x）=×3x（1﹣3x）≤×（）2=，
当x=时，这块长方形场地的面积最大，
这时的长为l﹣3x=l，最大面积为．
18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（7分），第2小题满分7分）解：（1）由题意，π?OA?SB=15π，
解得BS=5，…（2分）
故…（4分）
从而体积．…（7分）
（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．
由P是SB的中点知PH∥SO，
则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．…（10分）
∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．
在△OAH中，由OA⊥OB，得，…（11分）
在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…（12分）
则，
∴异面直线SO与PA所成角的大小．…（14分）
19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B ?A．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．
【解答】解：（1）令，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），
因为B?A，所以，
解得﹣1≤a≤0，
即实数a的取值范围是[﹣1，0]；
（2）证明：函数f（x）的定义域A=（﹣1，1），定义域关于原点对称，
f（﹣x）=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f（x），
而，，所以，
所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．
20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；
（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；
（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，
则p=2，
故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；
（2）设直线l：x=my+b
当m=0时，x=1和x=9符合题意；
当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，
所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．
△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，
所以，
所以线段AB的中点M（2m2+b，2m）
因为k AB?k CM=﹣1，，
所以，得b=3﹣2m2
所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3
因为，所以m2=3（舍去）
综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9
（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，
所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2
△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b
所以，得b=0或b=4
b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；
b=4时，直线AB过定点P（4，0）
设Q（x，y），因为OQ⊥AB，
所以（x≠0），
综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0
21．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k
+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．
+1
（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；
（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记
，其中max{x 1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s 个数中最大的数，求M的最小值．
【解答】解：（1）x=1时，，所以y=2或3；
x=2时，，所以y=4；
x≥3时，，无整数解；
所以所有可能的x，y为，或．
（2）n的最大值为65，理由如下：
一方面，注意到：a k
+a k﹣1＞2a k?a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．
+1
对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k ≥b k
+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）
﹣1
当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得
（2≤i≤n﹣1）
即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）
即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．
另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k ≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，
此时由（**）式得，
所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．
（3）M的最小值为，证明如下：
当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，
﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）一方面：由（*）式，b k
+1
﹣b k）≥m．此时有：
+…+（b k
+1
（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）
=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）
=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）
≥m+m+…+m=m（m﹣1）．
即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）
故
因为，所以，
另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1 +a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0
时，a k
+1
取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，
且
此时．
综上，M的最小值为．