《概率统计》公式符号汇总表及复习策略2版

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略 （共4页）

第一章

均独立。

与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )

()()( (1)?=?=

)

()

()()( )()()()()( )3()

(1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=

?++?=-=-?-=-?=?=-+=ΛY

第二、三章

一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：如：∑=

j

ij i p P ，?+∞

∞

-=dy y x f x f X ),()(

（2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =，

),,(11n X X Λ与),,(21n Y Y Λ独立),,(11n X X f Λ?与),,(21n Y Y g Λ独立

（3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布

二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- ?

?

+∞

∞

-+∞

∞

--=-=

dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()(

M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章

（1）期望定义：离散：∑=

i

i

i p

x X E )(

连续：?

?

?

+∞∞-+∞

∞

-+∞

∞

-==

dxdy y x xf dx x xf X E ),()()(

方差定义：)()(]))([()(2

2

2

X E X E X E X E X D -=-=

离散：∑-=

i

i i

p X E x

X D 2))(()(

连续：?+∞

∞

--=dx x f X E x X D X )())(()(2

协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 相关系数定义：)

()(),(Y D X D Y X COV XY =

ρ

K 阶原点矩定义：)( K k X E ?μ K 阶中心矩定义：]))([( K k X E X E -?σ （2）性质：

C C E =)( ；)()(X CE CX E = ；)()()(Y E X E Y X E ±=±；)()( )(Y E X E Y X XY E 独立与 0)(=C

D ；)()(2X D C CX D = ；

)()( 2)(Y D X D Y X Y X COV Y D X D Y X D +±+=±独立与），（）（）（

)(),()()(,Y bdD Y X COV bc ad X acD dY cX bY aX COV +++=++）（

1≤XY ρ ； {}11=+=?=b aX Y p XY ρ

X 与Y 独立 0=?XY ρ 即X 与Y 线性无关，但反之不然 。

?∑+∞

∞

-==dx

x f x g X g E p x g X g E i

i i )()())(( ; )())((

?

?

∑∑+∞∞-+∞

∞

-==dxdy y x f y x g Y X g E p y x g Y X g E j

i

ij j i ),(),()),(( ; ),()),((

第五章

（1）设μ=)(X E ，2

)(σ=X D ，则：{}221ε

σεμ-≥≤-X p ，亦即：{}22εσεμ≤≥-X p

（2）设n X X ,,1Λ独立同分布则)(n X ?→?

P

)()()(i n X E X E = ； n

n A ?→?P

)(A p （3）若X ~),(p n B 则：当n 足够大时

npq

np X - 近似服从 )1,0(N ；

（4） 设n X X ,,1Λ独立同分布，并设μ=)(i X E ，2

)(σ=i X D

则：当n 足够大时 n

X n σ

μ

-)( 近似服从 )1,0(N

第六章

（1）设n X X ,,1Λ是来自总体X 的样本，μ=)(X E ，2

)(σ=X D 样本均值：∑==n

i i n X n X 1)

(1 ，μ=)()(n X E ，n

X D n 2)()(σ= 样本方差：][11)(111

2)(212

)(2

∑∑==--=--=n i n i n i n i X n X n X X n S ，22)(σ=S E

)(n X ?→?

P μ ，2B ?→?P 2σ ，2S ?→?P 2σ 样本K 阶原点矩∑==n i k i k X n A 1

1?→?P

总体K 阶原点矩)( k k X E =μ

（2）2

212n X X ++=Λχ （i X 是来自)1,0(N 的简单样本）

n

Y X t =

（X ~)1,0(N ，Y ~)(2

n χ，X 与Y 独立）

2

1//n Y n X F =

（X ~)(12n χ，Y ~)(22

n χ，X 与Y 独立） （3）设n X X ,,1Λ是来自),(2

σμN 的简单样本

则 ：n X n σμ

-)( ~ )1,0(N ，n

S X n μ-)(~ )1(-n t ，2

2)1(σS n -~)1(2-n χ，)(n X 与2

S 独立 第七章

参数估计的问题：),(θx F X 的形式为已知，θ未知待估 参数θ的置信度为1—α的置信区间概念

参数估计方法：（1）矩估计

（2）最大似然估计

似然函数：离散：{}{}n x X P x X P L ===Λ1)(θ

连续：)()()(1n X X x f x f L Λ=θ

（3）单正态总体μ、2

σ的区间估计（见课本P 137页表7—1）

点估计评选标准：无偏性，有效性，相合性 。 （ )(n X 、2S 分别是μ、2

σ的无偏、相合估计量 ） 第八章

参数假设检验的问题：),(θx F X 的形式为已知，θ未知待检 假设检验的 I 类（弃真）错误 、∏类（取伪）错误的概念 显著性水平为α的显著性检验概念

单正态总体μ、2

σ显著性检验方法：（见课本P 151页表8—2，P 154页表8—3） *七个常用分布（见课本P 82页表4—1 补充超几何分布） 正态分布),(2

σμN 的性质： （1）

σ

μ

-X ~ )1,0(N ， b aX +~),(2

2σμa b a N + ，3σ原则

（2）i X ~ ),(2

i i N σμ，i X 之间相互独立， 则：i

n

i i X

c ∑=1

~ ),(

21

21

i

n

i i

i

n i i

c c N σ

μ∑∑==

第一章~ 第八章题型总结

(一)计算或应用题

1.概率计算题(如：练习册P3—二2,期中练习一)

概率应用题(如：练习册P8—三1、2,期中练习二、三)

2. 一、二维联合、边缘分布，独立性

一维分布(如：练习册P18—三2、3、4、5、6 )

已知联合求边缘(如：练习册P26—二2、3, 期中练习四,六,十)

已知边缘求联合(如：练习册P25—二1，期中练习九)

3. 期望、方差、协方差、相关系数

(如：练习册P31—二1，练习册P34—三2、3, 期中练习五)

4.中心极限定理(如：练习册第五章练习二, 期中练习八)

5.统计学三大分布(如：练习册第五章练习一、二，P46—三1、2)

6.矩估计、似然估计、区间估计

(如：练习册P54—二1、2、3, P45—二1、3、4, )

7.点估计评选标准(如：练习册第七章练习三,P54—4)

8.参数假设检验(如：练习册P57—二1、2、3,P55—二1、2、3 )

(二)证明题

(如：练习册P10—五, P35—四，P40—三，P44—二3 ，P46—四，P47—二1，期中练习十一，综合练习中的证明题)

(三)概念题

认真复习《概率统计》公式、符号汇总表

多做练习册的选择题、填空题

《概率统计》期中练习 （共5页）

))

/((),(),(:,3.0)(2.0)(B A A p B A p B A p B A B p A p ??-==相互独立。试求、事件，一。设

。

。求该产品的不合格率序的不合格率为，第三道工率为，第二道工序的不合格道工序的不合格率为才是合格品，如果第一道工序都合格的产品情形相互独立，而且三三道工序，它们的工作二。某产品生产要经过%2 %1%5.0

恰有一只新球的概率。

是新球，第一次取出的）已知第二次取出的全（球的概率。

）第二次取出的全是新试求：（只球。机取出处。第二次比赛时再随只球，用后放回原随机取出个新球。第一次比赛时个乒乓球，其中有三。一个盒子装有2 1 2 246

）的分布律如下：，四。设随机变量（Y X

的分布）的独立性；（、）判断的值；（）（试求：已知：),min(32,1 3

2

)1/1( Y X Z Y X b a Y X p ==

==

)

(,)

2( , 0

,02),(

Y X X XY y x y x e y x f Y X ++-??

?>>=ρρ求：其余

）的概率密度为：，五。设（

{}Y X p Y X N Y N X 32),3,1(~),2,1(~22>-独立。求：与六。设

的密度函数

，求，（），（相互独立，，七。设Y X Z a U Y e X Y X +=)0~~θ

万台的概率是多少？

使用的电话台数不超过）在单位时间内，同时（台数是多少？

使用的最大可能的电话）在单位时间内，同时问：（。内使用电话的概率为万人，每人在单位时间八。某城市有18.362 1 12.0300

？

至少应预备多少根钻头的把握使钻头够用，问进行，要求有思考：为保证工程顺利需用两根钻头的概率。只需一根钻头的概率；米的井。求：现要打一口深度为以米为单位）服从止所钻透的地层厚度，（钻头直到磨损报废为九。设钻头的寿命%99*)2()1(2000 )1000(e X

不相关却不独立，

与试验证：其它

）的密度为：，十。设（Y X 0

1

0 ,1

),(??

?><≤=x x y y x f Y X

时成立。

等号当且仅当证明：均存在。

，是常数，是随机变量，十一。设)(},){()( )()(2

2X E c c X E X D X E X E c X =-≤

十二。第23页第21题

十三。 第90页第4题 , 问题改为：求进货量m ，使平均利润E （Q ）最大。

*十四。 第102页第6题