中国石油大学概率论与数理统计》复习题及答案

《概率论与数理统计》期末复习题

一、填空题

1.（公式见教材第10页P10） 设A,B 为随机事件，已知P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P （B-A ）= 。

2．(见教材P11-P12） 设有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，今从中任取3个，则至少有一个是一等品的概率是 .

3.(见教材P44-P45) 设()4 ,3~N X ，且c 满足()()c X P c X P ≤=>，则=c 。

4. （见教材P96) 设随机变量X 服从二项分布，即

===n p EX p n B X 则且,7/1,3),,(~ .

5.（见教材P126） 设总体X 服从正态分布)9,2(N ，921,X X X Λ是来自总体的样本，

∑==9

1

91i i X X 则=≥)2(X P 。

6. （见教材P6-7）设B A ,是随机事件，满足

===)(,)(),()(B P p A P B A P AB P 则 .

7. (见教材P7) B A ,事件，则=?B A AB 。

8. （见教材P100-P104） 设随机变量Y X ,相互独立，且)16,1(~),5,1(~N Y N X ，

12--=Y X Z 则的相关系数为与Z Y 9.(见教材P44-P45) 随机变量

=≤≤-=Φ=Φ}62{,9772.0)2(,8413.0)1(),4,2(~X P N X 则 .

10. （见教材

P96)设随机变量

X 服从二项分布，即

===n p EX p n B X 则且,5/1,3),,(~ .

11 (见教材P42) 连续型随机变量X 的概率密度为()???≤>=-00,

,3x x e x f x λ则

=λ ．

12.(见教材P11-P12） 盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品．现从盒中任取３

只，设３只中所含次品数为X ，则()==1X P ．

13. (见教材P73-P74) 已知二维随机变量22

1212(,)~(,;,;)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互

独立，则ρ= ______ .

二、选择题

1.(见教材P37-38) 设离散型随机变量X 的分布列为

F(3)= .

A. 0

B. 0.3

C. 1

D. 0.8

2.(见教材P39-40) 设随机变量X 的概率密度为

()??

?

??≤<-≤≤=其它,02

1,210,

x x x x x f

则X 落在区间()2.1 ,4.0内的概率为（ ）．

(A) 0.64;

(B) 0.6;

(C) 0.5;

(D) 0.42．

3. (见教材P133-136)矩估计是( )

A. 点估计

B. 极大似然估计

C. 区间估计

D. 无偏估计 4. (见教材P31)甲乙两人下棋，每局甲胜的概率为0.4，乙胜的概率为0.6，。比赛可采用三局两胜制和五局三胜制，则采用 时,乙获胜的可能性更大？ A. 三局两胜制 B. 五局三胜制

C. 五局三胜制和三局两胜制都一样

D. 无法判断

5. (见教材P69和P71和P100)下列结论正确的是（ ）

A. ξ与η相互独立，则ξ与η不相关

B. ξ与η不独立，则ξ与η相关

C. ξ与η不相关，则ξ与η相互独立

D. ξ与η相关，则ξ与η相互独立 6(见教材P33).每次试验的成功率为)10(<

A ． 2

)1(p - B. 2

1p - C.)1(3p - D. 以上都不对

7.（见教材44页）设随机变量X 具有对称的概率密度，即()()x f x f -=，又设()x F 为X 的分布函数，则对任意0>a ，()

=>a X P （ ）．

(A) ()[]a F -12； (B) ()12-a F ； (C) ()a F -2；

(D) ()a F 21-．

8. （见教材10页）对于任意两个事件A 与B,必有P(A-B)=( )

A ）、P(A)-P(B)

B ）、 P(A)-P(B)+P(AB)

C P(A)-P(AB)

D P(A)+P(B)

9.（见教材第17页）某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ ）。 A ）、 0.76 B ）、 0.4 C ）、 0.32 D ）、 0.5

10.（见教材第37到第39页）设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( )

A ）、f(x)单调不减

B ）、

()1F x dx +∞

-∞

=? C ）

、()0F -∞= D ）、()()F x f x dx +∞

-∞

=?

11.（见教材第95到第98页）设随机变量X 与Y 相互独立，且??

? ??

21,16~B X ，Y 服从于参数为9的泊松分布，则=+-)12(Y X D （ ）。 A ）、 –14 B ）、 –13 C ）、40 D ）、41

12．（见教材91页期望的性质）设随机变量X 的数学期望存在，则=)))(((X E E E （ ）。

A ）、0

B ）、)(X D

C ）、)(X E

D ）、[]2

)(X E

13. （见教材126页）设X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N(μ,2

σ)的样本，则样本均值X 的分布为（ ）。

A ）、 ),

(2

n

N σμ B ）、),(2σμN C ）、 )1,0(N D ）、),(2

σμn n N

14. （见教材125页）设总体X~N(0,0.25)，从总体中取一个容量为6的样本X 1,…,X 6，设

Y=

2

65432

21)X X X (X )X (X ++++，若CY 服从F(1,1)分布，则C 为( )

A ）、2

B ）、

2

1

C ）、2

D ）、

2

1

15.（见教材第7页）事件A B C 分别表示甲、乙、丙三人某项测试合格，试用ABC 表示下列事件。

A ）、3人均合格；

B ）、3人中至少有1人合格；

C ）、3人中恰有1人合格；

D ）、3人中至多有1人不合格；

三、（第一章18页，全概率公式和贝叶斯公式）设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别是

1%和2% ，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的产品中随机抽取一件，问

（1）抽到的这件产品为次品的概率是多少？

（2）如果抽到的产品为次品，则该次品属于 A 厂生产的概率为多少？

四、（第三章，56页二维连续随机变量，58页边缘分布）设随机变量),(Y X 的联合概率密度为

??

?∈=其他

),(),(G Y X Axy

y x f 其中}0,10),({2x y x Y X G ≤<≤≤= 求：(1)求常数A ； (2)X,Y 的边缘概率密度。 （3）求)2

1(≥X P

五、（第三章53页，离散二维随机变量和第四章88页二维随机变量函数的数学期望）已知离散型随机变量X 和Y 的联合分布律如下，

求：(1)概率}{P Y X >； (2)数学期望)(XY E .

六、（第八章假设检验165页，单个正态总体期望的检验）设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取36位考生的成绩, 算得平均成绩为66.5分, 样本标准差为15分, 问在显著性水平0.05下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 并给出检验过程. （0301.2)35(025.0=t ）。

七、（第七章参数估计133-143页点估计，两种方法）设总体X 的概率分布为

其中)2

1

0( <

<θθ是未知参数，利用总体X 的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求 θ的矩估计值和最大似然估计值。

八、（第二章39页连续型随机变量的概率密度）已知随机变量X 的分布密度函数为

?

?

?≤≤=其它,02

0,)(x Ax x ?

求：(1)常数A ； （2）概率}{

21≤≤X P ； 九、（第三章第三节独立性68页，第三章第五节77页卷积公式）设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：

1

010()()0

y

X Y x e y f x f y -≤≤?>?==?

?

??，其它

其它

求：(1) (,)X Y 的联合概率密度函数；

(2) Z X Y =+的概率密度。

十、 （见材P11-P12）设12,,,n X X X L 是取自总体X 的一个样本，总体

~X ,0

()0,

0x e x f x x λλ-?>=?≤? ，(0)λ>。

试求：(1) 未知参数λ的矩估计量λ)

；

(2) 未知参数λ的最大似然估计量L λ)

。

《概率论与数理统计》期末复习题参考答案

一、填空题答案

1． 0.1。 2．284/285 3. 3 4. 21 5. 1/2 6.1-p 7.A 8. -2/3 9.0.9544 10.15 11. 3 .12. 9/22 13. _0__.

二、选择题答案

1.C

2.B

3.A

4.B

5.A

6.D

7.A

8.C

9.D10.C11.C12.C13.A14.A 15.A

三、设B ：“任意抽取一件，抽到次品”。 1A ：“任取一件产品，抽到的是A 厂生产的”

2A ：“任取一件产品，抽到的是B 厂生产的”

02

.0)|(,01.0)|(,4.0)(,6.0)(2121====A B P A B P A P A P

7

/3014.0/006.0)

()|()()|(014

.002.04.001.06.0)|()()(1112

1

====?+?==∑=B P A B P A P B A P A B P A P B P i i i

四、

????+∞∞-+∞∞-==1

002

11),()1(x Axydy dx dxdy y x f 即Θ

12=∴A

)

2(?+∞

∞-=≤≤dy y x f x f x X ),()(10时，当

5

2

612x xydy x ?==…… ??

?≤≤=∴其他

106)(x x

x f X …….. ………

21

6612)(10y y xydx y f y y y -==≤≤

?时，当

???≤≤-=∴

其他0

1066)(2

y y y y f Y

（3）

64

63

12)2

1

(12102

==≥??x xydy

dx X P 五、（1）

0)(=>Y X p

（2）解法一： XY 分布列如下图：

所以：E(XY)=9

10

930942921-=

?+?-?

- 解法二：

9

10

94219309211)(-=

??-?+??-=XY E 六、解：

设该次考试的学生成绩为X ，05.0=α， 样本均值为：X ，样本标准差 ：S 提出假设： 因为 σ 未知，故采用 t 检验法 当0H 为真时，统计量 拒绝域： 由于

得到：

),

,(~ 2σμN X 则70

:,

70:10≠=μμH H ),

1(~/70/0--=

-=

n t n

S X n

S X t μ)

1(/702/-≥-=

n t n

S X t α,

0301.2)35(,15,5.66,36 025.0====t S X n 4.136

/15705.66/70=-=

-=

n

S X t ,

0301.2<

所以接受0H ，认为全体考生的平均成绩是70分。

七、θθθθθθ43)21(32)1(210)(2

2

-=-++-?+?=X E

2)32130313(8

1

=+++++++=

x 令：4

1

43?243,=-==-=x x EX θ

θ得即： 对于给定的样本值，似然函数为：4

2

6

)21()1(4)(θθθθ--=L )21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln θθθθ-+-++=L

0)

21)(1(24286218126)(ln 2

=--+-=----=θθθθθθθθθθd L d 解

得

12

137?2112137,121372,1-=>+±=

MLE θθ不合题意，所以因 八、解：； （1）由

?+∞

∞-=1)(dx x ?，则?=20

1Axdx 得21=A （2）43

21}21{21==≤≤?xdx X P

九、（20分）解：（1）01,0(,)()()0

y

X Y e x y f x y f x f y -?≤≤>==?

?其它

（2）010

000()()()01101(1)11z x z

z Z X Y z

x z z z f z f x f z x dx e dx z e z e e z e dx z ∞---∞

--?

<

-=≤<=-≤

??.

十、 （20分）

（1） 矩估计量 11

(),E X X X λλ=

=∴=) （2） 最大似然估计量 1

X

λ=

)