空间体第一章
空 间 几 何 体
柱、锥、台、球的结构特征
结 构 特 征
图例
棱柱
（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等.
圆柱
（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱锥
（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；
（2）各侧面有一个公共顶点. 圆锥
（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.
圆台
（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.
球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
例题：有下列命题
（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； （2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是（ ）
【例】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 选D.
空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 （1）定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤：
①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450
（或1350
），注意它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘
轴，且长度保持不变；在已知图形平行于
Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘
轴，且长度变为原来的一半；
一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即2
2S S 原图直观＝
例题：室内有一面积为3平方米的玻璃窗，一个人站在离窗子4米的地方向外看，他能看到窗前面一幢楼的面积有多大？（楼间距为20米）
例题：已知正ABC △的边长为a ，那么ABC △的平面直观图AB
C △'''的面积为
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2
1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2
1
21h c c S +=
正棱台侧面积
V Sh =柱 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 1
3
V Sh =锥 2V Sh r h π==圆柱
h r V 231π=圆锥
()
22R Rl rl r S +++=π圆台表 ''1()3
V S S S S h =++台 ''2211
()()33
V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343
R π ； S 球面=24R
π
例题：由一个圆锥截得一个体积为3
52cm 的圆台，上、下底面面积之比为1:9，则该圆锥的体积为 ． 例题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF EF AB EF ,2/3,//=与面ABCD 的距离为2，则多面体的体积是
例题：如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，用截面截下一个棱锥C-A 1DD 1，求棱锥C-A 1DD 1的体积与剩余部分的体积比。
例题：如图，在四边形ABCD 中，，，，，AD=2，求四边形ABCD 绕AD
旋转一周所成几何体的表面积及体积.
例题：一个三棱锥，底面ABC 为正三角形，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝1，0
30=∠ASB ，M 、N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN
?的周长的最小值。
例题：圆台的上、下底面半径分别为5cm 、10cm ，母线长AB=20cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求(1)截得圆台的圆锥的高；(2)绳子的最短长度；(3)在绳子的最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离。 例题：有三个球和一个边长为１的正方体，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。
例题：在球面上有4个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，求这个球的半径。 例题：P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1求球的体积和表面积。 例题：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为a 的正方体，E 、F 分别为棱1AA 与1CC 中点，求四棱锥11A EBFD -的体积。 例题：正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为
例题：一个正三棱锥的高和底面边长都为a ，则体积为 ，侧棱与底面所成角的余弦值为 例题：正方体8个顶点中，有4个顶点构成一个侧面是等边三角形的正棱锥的顶点，求正三棱锥与正方体的全面积之比。 例题：有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管缠绕4圈，并使铁丝两个端点落在圆柱的同一母线上的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？
例题：已知三棱锥A BCD -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于１，且30BAC ∠=，,M N 分别在棱AC 和AD 上，求BM MN NB ++的最小值． A
B
C
D
A B
C
D
D
E C
B
A
F
例题：（山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
例题：（海、宁理文8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中
标出 的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（
）
例题：边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是______ 例题：已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是_____；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.
【例】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：297
l =
【例】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
【例】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .
【例】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜
让水流出，当容器中的水是原来的
5
6
时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 . 【例】表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.
【例】设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）. A ．86π B ．646π
C ．242π
D ．722π
空间几何体
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A. 3
B. 23
C. 33
D. 43
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A ．3:1
B ．3:2
C ．2:3
D ．3:3
5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A.
92π B. 72π C. 52π D. 32
π 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长
方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________.
2．将圆心角为0
120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积
2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
①正方形
②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 20
20
正视
20侧视
10 10
20俯视
A B
D C
E F
A．3
3
24
R
π B．3
3
8
R
π C．3
5
24
R
π D．3
5
8
R
π
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．3
5．棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )
A．1:7Ｂ．2:7Ｃ．7:19Ｄ．5:16
6．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，//
EF AB,
3
2
EF=,且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）
A．
9
2
Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．
15
2
2．已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线
长.
4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为
1
V和
2
V，则
12
:
V V=（）
A. 1:3
B. 1:1
C. 2:1
D. 3:1
3．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
4．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为____厘米. 2．如图，在四边形ABCD中，0
90
DAB
∠=，0
135
ADC
∠=，5
AB=，22
CD=，2
AD=，
求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
20
20
正视
20
侧视
10
10
20
俯视
2019届高三数学(理)复习题：模块四立体几何与空间向量第12讲 空间几何体、空间中的位置关系Word版含答案
第讲空间几何体、空间中的位置关系 .()[·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() 图图 ()[·全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(),(),(),(),画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到的正视图可以为() 图 [试做] 命题角度由直观图求三视图的问题 关键一:注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向; 关键二:注意看到的轮廓线和棱是实线,看不到的轮廓线和棱是虚线. .[·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为() 图 [试做]
命题角度与三视图有关的几何体的表面积和体积问题 ()关键一:由三视图想象几何体的结构特征,并画出该几何体的空间图形; 关键二:搞清楚几何体的尺寸与三视图尺寸的关系; 关键三:利用外部补形法,将几何体补成长方体或正方体等常见几何体. ()看三视图时,需注意图中的虚实线. ()求不规则几何体的表面积和体积时,通常将所给几何体分割为基本的柱、锥、台体. .()[·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为°.若△的面积为 ,则该圆锥的侧面积为. ()[·全国卷Ⅰ]在长方体中与平面所成的角为°,则该长方体的体积为() [试做] 命题角度空间几何体的面积与体积 ()求规则几何体的体积,只需确定底面与相应的高,而求一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形思想,转化求解. ()求组合体的表面积时,需注意组合体衔接部分的面积,分清侧面积和表面积. .()[·全国卷Ⅰ]如图,在下列四个正方体中为正方体的两个顶点为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面不平行的是() 图 ()[·全国卷Ⅱ]α,β是两个平面是两条直线,有下列四个命题: ①如果⊥⊥α∥β,那么α⊥β. ②如果⊥α∥α,那么⊥. ③如果α∥β?α,那么∥β. ④如果∥,α∥β,那么与α所成的角和与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) [试做] 命题角度空间中线面位置关系的判定 关键一:逐个寻找反例作出否定的判断,逐个进行逻辑证明作出肯定的判断; 关键二:结合长方体模型或实际空间位置作出判断,但要注意准确应用定理,考虑问题全面细致.
空间几何体 - 简单 - 讲义
空间几何体 知识讲解 一、构成空间几何体的基本元素 1.几何体的概念 概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等． 2.构成几何体的基本元素：点、线、面 （1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C ，，来命名； （2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l ，，或用直线上两个点AB PQ ，表示； 一条直线把平面分成两个部分． （3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）； 其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的； 平面一般用希腊字母αβγ ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字 母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分． 3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系 理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体． 二、多面体的结构特征 1.多面体 D C B A α
1）多面体的定义 由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类 按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体． 按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体 定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体； 欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体 定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等． 2.棱柱 1）棱柱的定义 由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高． 下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA ''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．
第一章 空间几何体测试卷
第一章 空间几何体测试卷 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )． 主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )． A ．2＋2 B ． 2 2 1＋ C ． 2 2 ＋2 D ．2＋1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 6．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )． A ． 2 9π B ． 2 7π C ． 2 5π D ． 2 3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝ 2 3 ，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )． A ． 2 9 B ．5 C ．6 D ． 2 15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． (第10题) 二、填空题 11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O － (第8题)
第一章空间几何体知识点归纳及基础练习
第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=
空间几何体(讲义及答案)(1)
空间几何体（讲义） ＞知识点睛 一、空间儿何体的结构特征 棱 特殊的多面体： 柱：斜棱柱、直棱柱、正棱柱、正方体 锥：正棱锥、正四面体 J正四棱柱：底面是正方形的直棱柱 1正方体（正六面体）：侧棱长与底边长相等的正四棱柱 j正三棱锥：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面中心 I正四面体：侧棱长与底边长相等的正三棱锥
正棱柱 A B 正方体 S B S 直棱柱 正四面体 正三棱锥 2.简单组合体
3.球 （1）球的截面性质： ①经过球心的截面截得的圆叫做球的大圆，不过球心的截面 截得的圆叫做球的小圆； ②球心和截得的小圆圆心的连线垂直于截面. （2）位置关系： ①外接球：多面体的各个顶点都在球面上； ②内切球：多面体的各个面都与球相 切.二、空间儿何体的表面积与体积 J 空间儿何体的表面积（也称全面积）（底面周长为C） S|畀柱= -------------- ；S閱锥= S惆台=7t(r'-+r+/-7 + rZ). 2空间儿何体的体积 DL 川/厂 T---- I ］少 1、■ I r --- A B C
心= -------------- ;%= ----------------- ; （底面积为S,高为/I） 八棱长为小 V =V =1（S'+ 辰+S）/7（上下底面积分别为S』，高为"）?梭台恻台3 3球的表面积与体积 S 球= ____________' V球= ______________ ?
有一个底面为多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三 角形，由这些 面所W 成的儿何体是棱锥 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 棱柱的侧 面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 3.下列命题： ① 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三 棱锥； ② 所有棱长都相等的直棱柱是正棱柱； ③ 若一个四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四 棱柱； ④ 所有棱长都相等的正三棱锥是正四面体； ⑤ 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂 直.其中正确的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ＞精讲精练 1.下列说法中，正确的是（ A B C. D 2.如图所示的儿何体中是棱柱的有（ C. 3个 D. ③ A ?1个 B ?2个 ? ④
空间几何体表面积与体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥
3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。
分析：圆柱体积： 圆柱侧面积： 因此：球体体积： 球体表面积： 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式： 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为，下底面积为 高为。 易知：∽，设， 则 由相似三角形的性质得：
即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得： 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得： 即： ∴ 4、球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……
第一章-空间几何体的表面积和体积练习题
空间几何体的表面积和体积练习题 题1 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面 半径之比为( ) A.49 B.94 C.427 D.274 题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长 为6，则此球的体积为________． 题3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．2π＋2 3 B ．4π＋2 3 C ．2π＋23 3 D ．4π＋23 3 题4 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中 点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积．( ) A ．与x ，y 都有关 B ．与x ，y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关 D ．与y 有关，与x 无关
题5 直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3 2 ，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所 成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积． 题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面 积为( ) A ．πa 2 B.7 3 πa 2 C.11 3 πa 2 D ．5πa 2 题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求 球的表面积． 题8 正四棱台的高为12cm ，两底面的边长分别为2cm 和12cm ．（Ⅰ）求正四棱台的全面 积；（Ⅱ）求正四棱台的体积． 题9 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 题10 如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，求棱锥 C A D D ''-的体积与剩余部分的体积之比．
高考数学第13讲空间几何体学生版(可复印)
第13讲空间几何体 一．选择题（共20小题） 1．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π 2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2B．4C．6D．8 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（） A．12πB．12πC．8πD．10π 5．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．12B．18C．24D．54 6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均为1，D为AA1的中点，则四面体A1BCD的体积是（）A．B．C．D． 7．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D．
8．正四棱锥的各棱长均为1，则它的体积是（） A．B．C．D． 9．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π 10．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（） A．4πB．C．6πD． 11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（） A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛 12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（） A．36πB．64πC．144πD．256π 13．已知三棱锥P﹣ABC的侧棱长相等，底面正三角形ABC的边长为，P A⊥平面PBC 时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（） A．B．πC．πD．3π 14．已知三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为128π，，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．B．C．D．
空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题
空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 长。 2．旋转体的面积和体积公式 12
下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2 ，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2 得：x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9－ 29=2 9，
(完整版)高一数学必修2_第一章空间几何体知识点
第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体： （1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. （2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 2. 棱柱： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. （2）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。 （3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分为直棱柱和斜棱柱。 （4）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。（5）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥： （1）有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。 （3）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等. （4）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. （5）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 ③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥：
2020高考数学大一轮复习第八章立体几何1第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图练习(理)(含解析)
第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图 [基础题组练] 1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的 中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB， AD，AC中( ) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD 解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB 解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚 线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C. 4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( ) 解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D. 5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( ) A. 5 B．2 2 C．3 D．2 3 解析：选C.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1-MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C. 历庄高级中学高一数学导学案 总编号：017 空间几何体的体积 教学目标：1.了解的体积公式的推导过程，掌握球体的体积公式并会利用其熟练解题；会解球体与柱、棱、台组合体的体积有关的问题； 2.通过实际动手操作，理解公式由来的过程，感知数学在实际中的应用通过数学活动，感受实际生活对数学的需要. 教学重点：灵活运用球体的体积公式，并能应用于实践. 教学难点：球体的体积公式的推导过程及其应用. 教学过程： 一、问题情境 如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好上升r ，问： R ：r 的值是多少？ 二、学生活动 （1）倒沙试验： 一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，用沙粒充满后，再将其所容纳的沙粒倒入一个半径为R 的半球内，结果刚好也能充满半球.说明两者体积相等. （2）计算上图中的等高截面的体积： 上图中，取相同的高度h ，试计算出等高截面的面积，并观察它们的关系.并阅读课本，问：可用什么知识解释此问题？ 三、建构数学 1、球体的公式：V =长方体 . 由上图可推出： 223112=233 V R R R R R πππ-= 球. 所以 V =球 亦可由“准椎体”推出：3124111= 3333 R V RS RS RS π=++???=球球面 2、球的表面积：=S 球面 . 即：球的表面积是球的大圆面积的 倍. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径. 思维点拨：公式的推导过程使用了“分割—求近似值—得准确值”的积分思想，让学生在探究的过程中体会并感受“无穷”、“极限”的思想. 四、数学运用 例1 如图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积.(精确到0.01 cm ） X#学习目标 1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 3.理解多面体的有关概念； 4.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 心学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~ P4,找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽 象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧！ 二、新课导学 探探索新知 探究1：多面体的相关概念 问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗？平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）. 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高） 试试1:你能指出探究3中的几何体它们各自的底、 侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探 究3中的棱柱分类吗？ 新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）. 试试2：探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢？ 新知5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图（1）中这个棱柱表示为棱柱ABCD —ABCD . 探究4：棱锥的结构特征 问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之 一，它具有什么样的几何特征呢？ 新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥（pyramid）.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S-ABCDE. 轴 问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗 有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ;相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示： 探究2：旋转体的相关概念 问题：仔细观察下列物体的相同点是什么? 第十一讲空间几何体 考点一、空间几何体的三视图 1.如图所示几何体,是由哪个平面图形旋转得到的(A) 2.(四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(D) 3.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(B) A.16+2π B.8+2π C.16+π D.8+π 解析:由题图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与 一个长方体拼接而成的,因此该几何体的体积V=1×2×4+π×12×2=8+2π. 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为(A) A.72 B.66 C.60 D.30 解析:根据题目所给的三视图可知该几何体为一个侧棱与底面 垂直的三棱柱,且底面是一直角三角形,两直角边长度分别为 3,4,斜边长为5,三棱柱的高为5,所以表面积为 3×4+3×5+4×5+5×5=72. 5.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的 表面积是4(π+1). 解析:这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱的上下两个 底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个表面积是 2××π×12 +×2π×1×2+2×2+4π× 考点二、空间几何体的直观图 6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形 是(A) 7. 如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形OABC 的面积为 24 . 解析:由题意知原图形OABC 是平行四边形,且OA=BC=6,设平行四边形OABC 的高为OE , 则OE×=O'C',∵O'C'=2,∴OE=4,∴S ?OABC =6×4=24. 8. 已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△A'B'C'的面积为(D) A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 2 解析:先画出正三角形ABC ,然后再画出它的水平放置的直观图, 如图所示,由斜二测画法规则知B'C'=a ,O'A'= a.过A'作A'M ⊥x'轴, 垂足为M ,则A'M=O'A'·sin45°=a× a.∴S △A'B'C'=B'C'·A'M=a×a=a 2. 考点三、几何体的表面积公式 一、选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的 A.31 B.41 C.91 D.161 2．正六棱锥底面边长为a ，体积为323a ，则侧棱与底面所成的角等于 A. 6π B.4π C.3 π D.125π 3．有棱长为6的正四面体S-ABC ，C B A ''',,分别在棱SA ，SB ，SC 上，且S A '=2，S B '=3，S C '=4，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.91 B.81 C.41 D.31 4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是 A ．32. B. 14 C. 5 D.6 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为α，则角α的取值范围是 A ．(]??90,0 B (]??270,180 C (]??180,90 D Φ 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A ．25与2 B.2与2 3 C.5与 4 D.2与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为T ，则S T 等于 A ．91 B.94 C. 41 D.31 8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是 A ．1，2，3 B ．2，4，6 C ．1，4，6 D ．3，6，9 9.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是 A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 12 9. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方 形，且BCF ADE ??、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该 多面体的体积为 A.3/2 B.33 C.34 D.23 10．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的 内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别交于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的 表面积分别是21S S 、，则必有 A.S 1 第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴， 且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； 一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝ 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()13V h S S S S =+?+下下台体上上 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。 O 2O 1h l r R 空间几何体的表面积与体积专题 一、选择题 1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )． B ．4 C ．4 3 D ．16 解析 每个面的面积为：12×2×2×3 2＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3. 2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( B )． A ．2倍 B ．22倍 倍 倍 解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝4 3πR 3，知体积扩大到原来的22倍． 3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )． 解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13 ×? ?? ??12×2×2×2＝ 284 3 . 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A) A ．8－ 2π3 B ．8－π 3 C ．8－2π 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半 径为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π 3 . 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( A)A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π 2 据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分 别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12 ×3＝24－3π2. 6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C ) cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、 下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－ π 4 ＝30－π4；中间部分的表面积为2π×1 2 ×1＝π，下面部分的表面 积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π 2. 7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)． A ．3 3 B ．2 3 D ．1 解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝ 3 3 x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以 3 3 x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝1 3S △ABD ×4＝ 3. 二、填空题 8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×3 4×22×3＝ 3. 9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______． 解析 设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3 ，球的体积是43πr 3 ，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 34 3 πr 3＝3∶2. 10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___2 6 _____． 高一数学必修2第一章测试题 班别 姓名 考号 得分 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ） A B C D 2．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（ ） A ．圆锥 B ．正四棱锥 C ．正三棱锥 D ．正三棱台 3.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 4.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D.1：3：9 5.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 32 C. 33 D. 34 6.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（ ） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：（ ） 俯视图 主视图 侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 8．下列几种说法正确的个数是（ ） ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等 ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A ． B ．2 C ．2: D ．3 10．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 二、填空题:（每小题6分，共30分） 11．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一 个棱台有 ________条侧棱。 12．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成; 图（2）中的三视图表示的实物为_____________。 13．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线 长是________；若长方体的共顶点的三个面的面积分别为3,5,15，则它的体积为________. 14．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成 60角,则 圆台的侧面积为____________。 15．(1)等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体； (2)一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米. 三、解答题:（共70分） 16．（12分）画出下列空间几何体的三视图（图②中棱锥的各个侧面都是等腰三角形）． ① ② 图（1） 图（2）空间几何体的体积
必修②第一章空间几何体
18.第十一讲 空间几何体(教师版)
8.空间几何体的表面积和体积练习题
S 2 C. S 1=S 2 D.21S 与S 的大小关系不能确定 D B A O E F第一章 空间几何体知识点归纳
空间几何体的表面积与体积练习题及答案
高中数学必修2第一章空间几何体试题(含答案)