2011年天津市中考数学试题及答案
2011年天津市初中毕业生学业考试试卷
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共10题，共30分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
（1）sin45?的值等于（）
（A）1 2
（B）
2
2
（C）
3
（D）1
（2）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）
（3）根据第六次全国人口普查的统计，截止到2010年11月1日零时，我国总人口约为
1 370 000 000人，将1 370 000 000用科学记数法表示应为（）
（A）10
0.13710
?（B）9
1.3710
?（C）8
13.710
?（D）7
13710
?
（4）估计10的值在（）
（Ａ）1到2之间（Ｂ）2到3之间（Ｃ）3到4之间（Ｄ）4
到5之间
（5）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB CB
、均落在对角线BD上，得折痕BE BF
、，则EBF
∠的大小为（）
（Ａ）15?（Ｂ）30?（Ｃ）45?（Ｄ）60?
（6）已知
1
O
⊙与
2
O
⊙的半径分别为3cm和4cm，若
12
O O=7cm，则
1
O
⊙与
2
O
⊙的位置关系是（）
（A）相交（B）相离（C）内切（D）外切
（7）右图是一支架（一种小零件），支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，则它的三视图是（）
（A）（B）（C）（D）
（8）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）
（A ）甲比乙的成绩稳定 （B ）乙比甲的成绩稳定
（C ）甲、乙两人的成绩一样稳定 （D ）无法确定谁的成绩更稳定
（9）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B 除收月基费20元外，再以每分0.05元的价格按上网所用时间计费，若上网所用时间为x 分，计费为y 元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函
数的图象，有下列结论： ①图象甲描述的是方式A ； ②图象乙描述的是方式B ；
③当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱． 其中，正确结论的个数是（ ）
（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）０
（10）若实数x y z 、、满足()()()2
40x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ）
（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） （11）6-的相反数是 ．
（12）若分式21
1
x x -+的值为0，则x 的值等于 ．
（13）已知一次函数的图象经过点()01，，且满足y 随x 的增大而增大，则该一次函数的解析
式可以为 （写出一个即可）．
（14）如图，点D E F 、、分别是ABC △的边AB BC CA 、、的中点，连接DE EF FD 、、，则图中平行四边形的个数为 ．
（15）如图，AD AC 、分别是O ⊙的直径和弦，且30CAD OB AD ∠=?⊥，，交AC 于点B ，若5OB =，则BC 的长等于 ．
（16）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为 ．
（17）如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若132AB BC CD DE ====，，，则这个六边形的周长等于 ．
（18）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
（Ⅰ）该正方形的边长为 （结果保留根号）；
（Ⅱ）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：___________________________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） （19）（本小题6分）
解不等式组215432x x x x +>-??+?，
≤．
（20）（本小题8分）
已知一次函数1y x b =+（b 为常数）的图象与反比例函数2k
y x
=（k 为常数，且0k ≠）的图象相交于点()31P ，．
（Ⅰ）求这两个函数的解析式；
（Ⅱ）当3x >时，试判断1y 与2y 的大小，并说明理由．
（21）（本小题8分）
在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随
册数0 1 2 3 4
人数 3 13 16 17 1
（Ⅱ）根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．
（22）（本小题8分）
已知AB与O
⊙相切于点C，OA OB
=，OA OB
、与O
⊙分别交于点D E
、．
（Ⅰ）如图①，若O
⊙的直径为8，10
AB=，求OA的长（结果保留根号）；
（Ⅱ）如图②，连接CD DE
、，若四边形ODCE为菱形，求OD
OA
的值
___________________________．
（23）（本小题8分）
某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30?方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处
测得望海楼B位于C的北偏东60?方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC（3取1.73，
结果保留整数）．
注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可． 某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x 元、每天的销售额为y 元．
（Ⅱ）（由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解）
（25）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点()()3004A B ，，，．以点A 为旋转中心，把ABO △顺时针旋转，得ACD △．记旋转角为ABO α∠，为β．
（Ⅰ）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；
（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC x ∥轴时，求α与β之间的数量关系；
（Ⅲ）当旋转后满足AOD β∠=时，求直线CD 的解析式（直接写出结果即可）．
已知抛物线2111
12C y x x =-+∶，点()11F ，．
（Ⅰ）求抛物线1C 的顶点坐标；
（Ⅱ）①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证
112AF BF
+=； ②取抛物线1C 上任意一点()()01p p p P x y x <<，，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点
()Q Q Q x y ，，试判断
112PF QF
+=是否成立？请说明理由； （Ⅲ）将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线()2
2212
C y x h =-∶，若2x m <≤时，2y x ≤恒成立，求m 的最大值．
2011年天津市初中毕业生学业考试
数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） （1）B （2）A （3）B （4）C （5）C （6）D （7）A （8）B （9）A （10）D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） （11）6 （12）１
（13）1y x =+（答案不惟一，可以是形如10y kx k =+>，的一次函数） （14）3
（15）5 （16）1
6
（17）15
（18）（Ⅰ）
（Ⅱ）如图，①作出)4190BN BM MN MNB ===∠=?，，；
②画出两条裁剪线()
AK BE AK BE BE AK ==⊥，； ③平移ABE △和ADK △．此时，得到的四边形BEFG 即为所求． 三、解答题（本大题共8小题，共66分）
（19）（本小题6分）解：215432x x x x +>-??+?Q ，①
≤，②
解不等式①，得6x >-． 解不等式②，得2x ≤．
∴原不等式组的解集为62x -<≤． （20）（本小题8分）
解：（Ⅰ）()31P Q 点，在一次函数1y x b =+的图象上，
13b ∴=+，解得2b =-．
∴一次函数的解析式为12y x =-．
()31P Q 点，在反比例函数2k
y x
=
的图象上， 13
k
∴=
，解得3k =． ∴反比例函数的解析式为23y x
=
． （Ⅱ）12y y >，理由如下： 当3x =时，121y y ==．
又当3x >时，一次函数1y 随x 的增大而增大，反比例函数2y 随x 的增大而减小，
∴当3x >时，12y y >．
（21）（本小题8分）
解：（Ⅰ）观察表格，可知这组样本数据的平均数是
0311321631741250
x ?+?+?+?+?==，
∴这组样本数据的平均数为2．
Q 这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为3．
Q 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
有
22
22
+=， ∴这组数据的中位数为2．
（Ⅱ）Q 在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，有30018
10850
?
=． ∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名． （22）（本小题8分）
解：（Ⅰ）如图①，连接OC ，则4OC =．
AB Q 与O ⊙相切于点C ， ∴OC AB ⊥．
∴在OAB △中，由10OA OB AB ==，，
得1
52
AC AB ==．
在Rt AOC △中，由勾股定理，
得OA =． （Ⅱ）如图②，连接OC ，则OC OD =．
Q 四边形ODCE 是菱形， OD DC ∴=． ODC ∴△为等边三角形，有60AOC ∠=?．
由（Ⅰ）知，90OCA ∠=?，
∴1
302
A OC OA ∠=?∴=，．
1
2
OD OA ∴=． （23）（本小题8分）
解：根据题意，300AB =．
如图，过点B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于点D ．在Rt ADB △中， 30BAD ∠=?Q ，
11
30015022
BD AB ∴==?=．
在Rt CDB △中，
sin BD
DCB BC
∠=Q ， 150173
sin sin 60BD BC DCB ∴=
==∠?．
答：此时游轮与望海楼之间的距离约为173m ．
（24）（本小题8分）
解：（Ⅰ）35x -；502x +．
（Ⅱ）根据题意，每天的销售额()()()35502035y x x x =-+<<，
配方，得()2
251800y x =--+，
∴当5x =时，y 取得最大值1800．
答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为1800元． （25）（本小题10分）
解：（Ⅰ）Q 点()()3004A B ，，，，得34OA OB ==，，
∴在Rt ABO △中，由勾股定理，得5AB ==．
根据题意，有3DA OA ==．
如图①，过点D 作DM x ⊥轴于点M ， 则MD OB ∥，
ADM ABO ∴△∽△．有
AD AM DM
AB AO BO
==
， 得59335AD AM AO AB ==?=·，312
455
AD DM BO AB ==?=·．
又OM OA AM =-，得96
3
55
OM =-=．
∴点D 的坐标为612
55?? ???
，．
（Ⅱ）如图②，由已知，得CAB AC AB ∠=α=，．
ABC ACB ∴∠=∠．
∴在ABC △中，由180ABC ACB CAB ∠+∠+∠=?， 得2ABC α=180?-∠．
又BC x Q ∥轴，得90OBC ∠=?， 有9090ABC ABO ∠=?-∠=?-β，
αβ∴=2．
（Ⅲ）直线CD 的解析式为7424y x =-
+或7424
y x =-． （26）（本小题10分）
解：（Ⅰ）()2
2111111222
y x x x =-+=-+Q ，
∴抛物线1C 的顶点坐标为112??
???
，．
（Ⅱ）①根据题意，可得点()01A ，，
()11F Q ，，
112AF BF
∴
+=． ②
112PF QF
+=成立． 理由如下：
如图，过点()P P P x y ，作PM AB ⊥于点M ，
则()1101P P P FM x PM y x =-=-<<，，
Rt PMF ∴△中，由勾股定理，
得()()2
2
22211P P PF FM PM x y =+=-+-． 又点()P P P x y ，在抛物线1C 上， 得()211122
P P y x =
-+，即()2
121P P x y -=-． ()2
22211P P P PF y y y ∴=-+-=， 即P PF y =．
过点()Q Q Q x y ，作QN AB ⊥，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得Q QF y =．
90PMF QNF MFP NFQ ∠=∠=?∠=∠Q ，， PMF QNF ∴△∽△．
有
PF PM QF QN
=． 这里1111P Q PM y PF QN y QF =-=-=-=-，，
11PF PF
QF QF -∴
=-， 即
112PF QF
+=．
（Ⅲ）令3y x =，
设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为00x x '，，且00x x ' 1y x = 观察图象，随着抛物线2C 向右不断平移，00 x x '，的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，2y x ≤恒成立时，m 的最大值在0 x '处取得． 可得，将02x =代入()2 12 x h x -=， 有 ()2 1222 h -=， 解得4h =或0h =（舍去）， ()2 2142 y x ∴=-． 此时，由23y y =，得()2 142x x -=， 解得00 28x x '==，， m ∴的最大值为8．