高考数学专题训练解析几何

解析几何(4)

23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）

已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段

l 的距离，记作(,)d P l

（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；

（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积；

（3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中

12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组.

对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D .

23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则

||5)

PQ x ==≤≤，当

3

x =时

，

min (,)||d P l PQ ==

⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，

则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成

12:1(||1),:1(||1)

l y x l y x =≤=-≤，

222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥

其面积为4S π=+。

⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=>

③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

{(,)|0,0}{(,)|,01}

x y x y x y y x x

Ω=≤≤=<≤

2

{(,)|21,12}{(,)|4230,2} x y x y x x y x y x

=-<≤--=>

上海文

5．若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l得方程为2110

x y

+-= 22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知椭圆

2

2

2

:1

x

C y

m

+=（常数1

m>），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为(2,0)

（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；

（2）若3

m=，求PA的最大值与最小值；

（3）若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围.

22、解：⑴2

m=，椭圆方程为

2

21

4

x

y

+=，c==

∴左、右焦点坐标为(。

⑵3m =，椭圆方程为2

219

x y +=，设(,)P x y ，则 22

2

2

2

2891

||(2)(2)1()(33)9942

x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤

∴9

4

x =

时min 2||2PA =； 3x =-时max ||5PA =。

⑶ 设动点(,)P x y ，则

2222

2

2

2

2

22

22124||(2)(2)1()5()11

x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤-- ∵ 当x m =时，||PA 取最小值，且

2210m m ->，∴2

221

m m m ≥-且1m > 解得112m <≤+。

四川理

10.在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-、22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为

（A ）(2,9)--（B ）(0,5)-（C ）(2,9)-（D ）(1,6)- 答案：A

解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则

2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为

(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则2

66

5(2)1d a =

=-+，解得4a =或0a =（舍去）

，则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．

14．双曲线22

16436

x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是

_____． 答案：16

解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d =，则16

5d =，则P 到左准线的

距离等于26416

16105

?+=．

21．（本小题共l2分）

椭圆有两顶点A (－1，0)、B (1，0)，过其焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．

（Ⅰ）当3

||22

CD =时，求直线l 的方程；

（Ⅱ）当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ?为定值．

本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面

解析几何的思想方法及推理运算能力．

解：（Ⅰ）因椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为 22

221(0)y x a b a b

+=>>， 由已知得1b =，1c =，所以22a =，则椭圆方程为22

12

y x +=．

直线l 垂直于x 轴时与题意不符．

设直线l 的方程为1y kx =+，联立2

21,2

1,y x y kx ?+

=???=+?

得22(2)210k x kx ++-=， 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则22244(2)8(1)k k k ?=++=+，12222

k

x x k +=-

+，

1221

2

x x k =-

+，

||CD =．

=

，解得k =

所以直线l

的方程为1y =+

或1y =+． （Ⅱ）直线l 垂直于x 轴时与题意不符．

设直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠且1k ≠±），所以P 点的坐标为1

(,0)k

-．

设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222k x x k +=-+，1221

2

x x k =-+，

直线AC 的方程为：11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为：22(1)1

y

y x x =--，

方法一：

联立方程1122(1),1(1),1y y x x y y x x ?=+?+?

??=-?+?设00(,)Q x y ，解得12212112012211221(1)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)y x y x y x y x x y x y x y x y x -++++-==

-+---

+， 不妨设12x x >，则211202112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)kx x kx x x kx x kx x ++++-=

++-+-12122112122()()

()()2

kx x x x k x x k x x x x +++-=

++-+

2222k k

--

=k -，

因此Q 点的坐标为0(,)k y -，又1(,0)P k -，∴1

()()01OP OQ k k

?=-?-+=．

故OP OQ ?为定值． 方法二：

联立方程1122(1),1(1),1y y x x y y x x ?=+?+?

??=-?+?

消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--，

因为121,1x x -<<，所以

11

x x +-与2

1y y 异号． 22

2

2

221211222221

21

212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)y x x x x x x x y x x x x x +-++++==?=------22

22

21

12221122k k k k k k --+

+++=

---+++21()1k k -=+ 又2

212121222

2(1)(1)2(1)1

()1221

k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-?+++， ∴11k k +-与12y y 异号，11x x +-与11k k +-同号，∴11x x +-11

k k +=-，解得x k =-． 因此Q 点的坐标为0(,)k y -，又1(,0)P k -，∴1

()()01OP OQ k k

?=-?-+=．

故OP OQ ?为定值． 四川文

3．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是

（A ）(2，3) （B ）(－2，3) （C ）(－2，－3)（D ）(2，－3) 答案：D

解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ． 21．（本小题共l2分）

过点C (0，1)的椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为3，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、

(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．

（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； （Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ?为定值．

本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

解：（Ⅰ）由已知得3

1,

c b a ==

，解得2a =，所以椭圆方程为2

214

x y +=． 椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l 的方程为 3

1y x =-+，代入椭圆方程得 27830x x -=，解得12830,x x ==

，代入直线l 的方程得 121

1,7

y y ==-，所以831

(

,)7

D -， 故2283116

||(

0)(1)777

CD =-+--=． （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．

设直线l 的方程为1

1(0)2

y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．

解得12280,41

k

x x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，

所以D 点的坐标为2

22814(,)4141

k k k k --++．

又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24k

y x k +=+-，

联立得4,2 1.

x k y k =-??=+? 因此(4,21)Q k k -+，又1

(,0)P k

-．

所以1

(,0)(4,21)4OP OQ k k k

?=--+=．

故OP OQ ?为定值． 天津理

5．已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>

的一条渐近线方程是y =，它的一个焦

点在抛物线2

24y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）．

Ａ．

22136108x y -= Ｂ．221927x y -= Ｃ．

22110836x y -= Ｄ．22

1279

x y -= 【解】解法1．由题设可得双曲线方程满足2

2

3x y λ-=，即

2

2

13

x y λ

λ

-

=．

于是2

43

3

c λ

λ

λ=

+=

． 又抛物线2

24y x =的准线方程为6x =-，因为双曲线的一个焦点在抛物线2

24y x =的准线上，则

24363

c λ

=

=，于是27λ=． 所以双曲线的方程

22

1927

x y -=．故选Ｂ． 解法2．因为抛物线2

24y x =的准线方程为6x =-，双曲线的一个焦点在抛物线

224y x =的准线上，则236c =．由此排除Ａ，Ｃ．

又双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>

的一条渐近线方程是b

y x a

==，则b a >，由

此又排除Ｄ，故选Ｂ．

13．已知圆C 的圆心是直线,

1x t y t

=??

=+?（t 为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线30

x y ++=相切，则圆C 的方程为． 【解】()2

2

12x y ++=．

把直线,1x t y t

=??=+?（t 为参数）化为普通方程为1y x =+，与x 轴的交点为()1,0-．

于是圆心的坐标为()1,0-；

因为圆C 与直线30x y ++=相切，所以圆心到直线30x y ++=的距离即为半径r ，

因此r =

=

所以圆C 的方程为()2

2

12x y ++=．

20．（本小题满分12分）已知椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>

的离心率2e =．连接椭圆的四

个顶点得到的菱形的面积为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -，点()

00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ?=．求0y 的值．

【解】

（Ⅰ）由c e a =

=2234a c =，再由222

a b c =+得2a b =． 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4， 所以

1

2242

a b ??=，则2ab =， 解方程组2,2,

a b ab =??=?得2,1a b ==．所以椭圆的方程2

214x y +=． （Ⅱ）解法1．由（Ⅰ）得()2,0A -.设点B 的坐标为()11,x y ，

由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+。

于是,A B 两点的坐标满足方程组()22

2,

1,4

y k x x y =+??

?+=??

由方程组消去y 并整理得 ()()

222214161640k x k x k +++-=，

因为2x =-是方程的一个根，则由韦达定理有：212164

214k x k --=+，

所以2122814k x k -=+，从而()112

4214k

y k x k

=+=+。 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为22282,1414k k k k ??

- ?

++??

． 下面分情况讨论：

(1) 当0k =时，点B 的坐标为()2,0，线段AB 的垂直平分线为y 轴． 于是()02,QA y =--，()02,QB y =-，由4QA QB ?=

得0y =±． (2) 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为

2222181414k k y x k k k ??-=-+ ?++??

．

令0x =得02

614k

y k =-

+，由()02,QA y =--，()110,QB x y y =-，

()()210102

222228646214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --??

?=---=+

+ ?++++??

()

()

422

2416151414k k k +-=

=+．整理得272k =

．k =

026145

k y k =-

=±+

综上，0y =±

或05

y =±

． 解法2．若AB x ⊥轴，则(2,0)B

,2

0000(2,)(2,)44,QA QB y y y y ?=-=-+==±若直线AB 的中垂线斜率存在,设11(,)B x y ， 则直线AB 中垂线方程：11112222y x x y x y +-??

-

=-- ???

． 令0x =，则22

11111011

224222x x y x y y y y +--+=?+=

，

因为11(,)B x y 在椭圆22

14

x y +=上，则221144x y -=，

因此222211*********

222

x y y y y y y y -+-+===-．

()()2

210101111415152,,224444

x QA QB y x y y x y x -?=--=-+=-+?=．

整理得2

11153240x x ++=，解得12

15

x =-

，12x =-（舍）． 2

221

12

2441614154415x y ??-- ?-???===

，所以1

15y =±．

于是01325y y =-=±

．综上，0y =±

05

y =±． 天津文

13．已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>

的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与

抛物线2

16y x =的焦点相同，则双曲线的方程为．

【解】

221412

x y -=． 由题设可得双曲线方程满足2

2

3x y λ-=，即

2

2

13

x y λ

λ

-

=．

于是2

43

3

c λ

λλ=

+=

．又抛物线2

16y x =的焦点为()4,0，则4c =．与 2

4163

c λ

==，于是12λ=．所以双曲线的方程221412x y -

=． 14．．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，

则圆C 的方程为． 【解】()2

2

12x y ++=．

直线10x y -+=与x 轴的交点为()1,0-． 于是圆心的坐标为()1,0-；

因为圆C 与直线30x y ++=相切，所以圆心到直线30x y ++=的距离即为半径r ，

因此r =

=

所以圆C 的方程为()2

212x y ++=． 21．（本小题满分14分）

已知椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>

的离心率2e =．连接椭圆的四个顶点得到的菱形

的面积为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．

(ⅰ)

若5

AB =

,求直线l 的倾斜角; (ⅱ)点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ?=．求0y 的值． 【解】

（Ⅰ）由2

c e a =

=得2234a c =，再由222

a b c =+得2a b =． 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4， 所以

1

2242

a b ??=，则2ab =， 解方程组2,2,

a b ab =??=?得2,1a b ==．所以椭圆的方程2

214x y +=． （Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ）得()2,0A -.设点B 的坐标为()11,x y ，

由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+。

于是,A B 两点的坐标满足方程组()22

2,

1,4

y k x x y =+??

?+=??由方程组消去y 并整理得

()()2

2

2214161640k x

k x k +++-=，因为2x =-是方程的一个根，则由韦达定理有

212164214k x k --=+，所以2122814k x k -=+，从而()112

4214k y k x k

=+=+．

214AB k ==+，

由

5

AB =

，

得

2

514k

=+ 整理得 4

2

329230k k --=，()()

22

132230k k -+=，所以1k =±．

所以直线l 的倾斜角为

4

π或34π．

(ⅱ)线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为22282,1414k k k k ??

- ?++??

． 下面分情况讨论：

(1) 当0k =时，点B 的坐标为()2,0，线段AB 的垂直平分线为y 轴． 于是()02,QA y =--，()02,QB y =-，由4QA QB ?=

得0y =±． (2) 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为

2222181414k k y x k k k ??-=-+ ?++??

．令0x =得0

2614k

y k =-+ 由()02,QA y =--，()110,QB x y y =-，

()()210102

222228646214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --??

?=---=+

+ ?++++??

()

()

422

2416151414k k k +-=

=+．整理得272k =

．7

k =±

．所以

026145

k y k =-

=±+．

综上，0y =±

或05

y =±

． 浙江理8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线22

1:14

y C x -

=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则

A ．2132

a =

B ．2

13a =C ．212

b =

D ．2

2b =

C

17．设12,F F 分别为椭圆2

213

x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是．(0,1)± 21．（本题满分15分）

已知抛物线1C :3

x ＝y ，圆2C :2

2

(4)1x y +-=的圆心为点M

（Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线， 交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的

方程

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查

解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 （I ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1

,4

y =-

所以圆心M （0，4）到准线的距离是

17.4

（II ）解：设2

2

2

001122(,),(,),(,)P x x A x x B x x ，则题意得00120,1,x x x x ≠≠±≠，

设过点P 的圆C 2的切线方程为200()y x k x x -=-，即2

00y kx kx x =-+①

则

2

002

1,1k =+即2222

20

000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=， 设PA ，PB 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以

22

2000121222002(4)(4)1,.11

x x x k k k k x x ---+==--，将①代入222

00

0,y x x kx kx x =-+-=得 由于0x 是此方程的根，故110220,x k x x k x =-=-，所以

2222

00012

1212002

1200

2(4)422,.1AB

MP x x x x x k x x k k x x k x x x x ---==+=+-=-=-- 由MP AB ⊥，得22

00002

00

2(4)4(2)(1)1AB MP

x x x k k x x x --?=-?=--，

解得2

023

,5

x =

即点P 的坐标为2323(,)55±，所以直线l 的方程为3115 4.115y x =±+ 浙江文（9）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线22

2:14

y C x -

=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则

A ．a 2 =13

2

B ．a 2=13

C ．b 2=

1

2

D ．b 2=2 C

（12）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数

m =_____________________1

（22）（本小题满分15分）如图，设P 是抛物线1C ：2

x y =上的动点。过点P

做圆2C 1)3(:2

2=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。 （Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离。

（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处得切线平分，若存

在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析

几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为抛物线C 1的准线方程为：14

y =-

所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：111|(3)|.44

-

--= （Ⅱ）解：设点P 的坐标为2

00(,)x x ，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D 。 再设A ，B ，D 的横坐标分别为,,A B C x x x

过点2

00(,)P x x 的抛物线C 1的切线方程为：

2

0002()y x x x x -=-

（1）

当01x =时，过点P （1，1）与圆C 2的切线PA 为：15

1(1)8

y x -=- 可得17

,1,1,215

A B D A B D x x x x x x =-

==-+≠

当10-=x 时，过点P （—1，1）与圆C 2的切线PA 为：15

1(1)8

y x -=

-

可得D B A D B A x x x x x x 2,1,15

17

,1≠+==

-= 17,1,1,215

A B D A B D x x x x x x =-

==-+≠，所以2

10x -≠

设切线PA ，PB 的斜率为12,k k ，则

2

010:()PA y x k x x -=- （2）

2020:()PB y x k x x -=- （3）

将3y =-分别代入（1），（2），（3）得

222

00000012011

333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=--≠

从而2

0012

11

2(3)(

).A B x x x x k k +=-++

21=，即222220

10010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-= 同理，22222

020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=

所以12,k k 是方程22222

0000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，从

而222

000121222

002(3)(3)1

,.11

x x x k k k k x x ++-+=?=--

因为02x x x B A =+，所以2

2000

120120

311111

2(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即

从而2

0022

02(3)1(3)1x x x x +=+-

，进而得4

008,x x ==

综上所述，存在点P 满足题意，点P

的坐标为(

重庆理（8）在圆2

2

260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，

则四边形ABCD 的面积为 B （A

） （B

）

(C)

(D) （15）设圆C 位于抛物线2

2y x =与直线x =3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C

的半径能取到的最大值为

1

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，(Ⅱ)小问8分.） 如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率e 2

=2

，一条准线的方程为x =22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 设动点P 满足：OP OM ON =+2，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON

的斜率之积为1

-

2

，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由.

20．（本题12分）

解：（I ）由2

2,22,c a e a c

==

= 解得2222,2,2a c b a c ==

=-=，故椭圆的

标准方程为22 1.42

x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+得

112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.

x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即

因为点M ，N 在椭圆22

24x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=， 故222222

121212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++

2222

112212121212(2)4(2)4(2)

204(2).

x y x y x x y y x x y y =+++++=++

设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知

12121

,2

OM ON y y k k x x ?=

=-因此121220,x x y y +=所以22220.x y += 所以P 点是椭圆

222

2

1(25)

(10)

+

=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由

椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|为定值，又因22(25)(10)10c =-=，因此两焦点的坐

标为

12(10,0),(10,0).F F -

重庆文9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，

则该双曲线的离心率的取值范围为 B

A ．(0,2)

B ．(1,2)

C ． 2

(

,1)2

D ．(2，)+∞

13．过原点的直线与圆2

2

2440x y x y +--+=相交所得弦的长为2，则该直线的方程为

20x y -=

21.如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=

2

2

，一 条准线的方程是22x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中M 、N 是

椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1

2

-

，问：是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：210x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。

题（21）图

解：（I ）由2

2,22,2c a e a c

==

= 解得2222,2,2a c b a c ==

=-=，故椭圆的标准方程为

22

1.42

x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由

2OP OM ON =+得

112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.

x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即

因为点M ，N 在椭圆22

24x y +=上，所以

2222112224,24x y x y +=+=，

故222222

121212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++

2222

112212121212(2)4(2)4(2)

204(2).

x y x y x x y y x x y y =+++++=++

设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知

12121

,2

OM ON y y k k x x ?=

=-因此121220,x x y y +=所以22220.x y += 所以P

221+

=

上的点，该椭圆的右焦点为F

，离心率

:2

e l x =

=直线

是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F ，使得|PF|与P 点到直线l 的距离之比为定值。